Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Если оно выполняется, с. в. Х и У независимы, если не выполняется — зависимы. Вернемся к примеру 1 и. 7.3 и посмотрим, зависимы пли независимы приведенные там случайные величины (Х, У). Рассматрнвая матрицу распределения системы дискретных с. в. (Х, У) в примере ( и. 7.3 и ряды распределения (7.3.7), убеждаемся, что р р р 0,09 0,36 = 0,0324; 11 «1 Ю1 р„= р„р„= 0,09 0,48 = 0,0432 «1 «1 р„= р„р„= 0,49 0,(6 = 0,0784, т. е. условие (7.5.2) выполнено, а с.в. Х, У независимы. Составить заключение о независимости можно было бы и не строя матрицы распределения системы и рядов распределения отдельных величин, входящих в спстему: ведь стрелкй стреляют пезавпснмо друг от друга, и число попаданий первого никак не влияет на число попаданий второго; т. е.
множества причин, обусловливающих значения, принятые в опыте случайной величиной Х и случайной величиной У, не пересека1отся. Теперь обратимся к примеру 2 п. 7.3. Рассматривая матрицу распределения (7.3.9) системы случайных ве- тл. ВАВисимые и незАВисимые случАЙные Величины 197 личип (П, У) — сумма и разность чисел попадания 1-го н 2-го стрелков, убеждаемся в том, что вероятности р„ в матрице (7.3.9) не равны произведениям вероятностей р„и р„, стоящих в рядах (7.3.10), и поэтому случайные величины П и У за вис и мы.
Так провернется зависимость и независимость дискретных с. в. Рассмотрим теперь более важный для инженерной практики случай двух непрерывных с. в. (Х, У). Пусть этн величины независимы. Дважды дифференцируя формулу (7.5.1) (спачала по х, потом по у), получим совместную плотность Дх, у): дзд' (т д) дл (э) дд' (З) Пх,у)- дз дд дз да или (7.5.3) 1(х Р) = 1 (х) Л. (Р) т. е. совместная плотность двух независимых непрерывных с.в. равна пропаведению плотностей распределения отдельных вел и чин, в ходя щи х з спсте и у. Выполнение равенства (7.5.3) — необходимое и достаточное условие независимости двух непрерывных с.
в. Хну. Пример 1. Система двух непрерывных с.в. (Х, У) распределена с постоянной плотностью 7'(х, у) = с в пределах прямоугольника тт, ограниченного абсцнссами г г т, у) (а, р) и ордипатами (7, б) (рис. 7.4.6). Найти константу с. Определить, зависимы или независимы с.в. Х и У. с Найти ф.р. Р(х, р) системы и У д (Х, У). и Р е ш е н и е. Поверхность,Г распределения системы з ~~' (Х, У) вне прямоугольника В совпадает с плоскостью Рас. 7,5.1 ЕОу (1(х, р)=0), а для его внутренних точек параллельна плоскости хОд п отстоит от нее на с (рас. 7.5.1). Объем, ограниченный этой поверхностью и плоскостью лбу, должен быть равен единице: (р — а) (б — 7) с=1, гл т системы слу'! !и!!ык вк;!и'[ип откуда с = 1/(6 — сг)(6 — 7); 1/(8 — с!) (6 — т) при (х, у) ~ //,( О при (х, у) ф /г) Применяя форт!ул!! (7.4.10) для отдсльиык величии, влодягцил в систему, получим: /, (х) = ) / (х, у) г/у = ~ (1/((1 — а) (6 — 7)) г/у = т )1/(~) — с!) при х с;: (с!.
(1), О при х ф (а, (1) и, аналогично, 1/(6 — 7) прп у~(г;6), 1 О при уф(7, 6). ( Из (7.5.4), (7.5.5) и (7.5,6) видно, что /(х, у) = /,(х)/,(у) и случайные величины Х, У независимы. Теперь найдем функци!о распределения системы Г(х, у). Так как Х и У независимы, то, согласно Формуле (7.5.1), Найдем г',(х) и /г!(у). В и. 6.1 мы нашли !(!. р. (см.
(0.1.9)) для равномерного распределения па участке. Подучим: О при х(а, Р! (х) (х — с!)/ф — а) ири а х ( р, (7,5.7) 1 при т':(1. Аналогично О ири у,-)!, г"', (у) (у — 7)/(6 — 7) при 7 ~ у 6, (7,5,8) 1 при у) 6. Перемножая (7.5.7) и (7.5.8) при (х, у)~ Н и учитывал, что /г(х, + ) Р',(х), г (+, у) г;(у), получим та злвпснмыв н нвзлвпснмыв сльчлпные вс:щчнны (вв таблицу значений функцнп распределения для различных значений аргументов (х, у): о ((и — а))( — и) ( .< Х ((и — т),'(6 — 7) ( (у — т] (5 — т) О (и — а))( — а) и<а ! х(л(В и- В Рис.
7.5.2 Рис. 7.5.3 входящих в снстему. Определить, заввспмы плн незавнсимы с. в. (Х, У), входящие в систему. Р е ш е п и е. Поверхность распредолепня впе квадрата Н совпадает с плоскостью хОу, а внутри его — параллельна ей п проходят па высоте с. Нз того, что объем тела, показанного на рпс. 7.5.4, равен единице, следует, что а' с 1, откуда с Уа' н (1/аз прн (х, у) ~ г7,) Поверхность, пзображающая 4~ункцию распределения Г(г, у), дана на рнс.
7.5.2. ~ Нр ямер 2. Спстема с. в, (Х, У) распределена с постоянной плотностью )(х, у)=-с внутри квадрата гг со стороной а, стороны которого составляют углы 45' с осямп координат (рпс. 7.5.3). Найти константу с. Найтп нлотностн 1,(х) н 1,(у) отдельных величии Х и Г, 2ОО ГЛ, Х СНСТГМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИ"7НН Плотность распределения !,(х) найдем по формуле (7.4.10): са 1,(х)= ~!(»,у)из= — » о прп ) х) » а!)/2, а7Ф «-~-» — ду = 2(а!1/2 + х)!а прп — а!)/2 ( х( О, а — (а)г««») а)Ь'«-» — Ну = 2(аГ)/7 — х)(а прп 0<х(аГ)/7, (7.5.10) Аналогично О~ !«(у)= ~ !(х,у)"х= 0 при )у)'-» а/'у'2, 2 (а/'У' 2 + у)/а' прп — а/ у 2 ( у < О, (7.5.11) 2(а/у'2 — у)/а' прп 0(у(а/У 2.
Кривая распределения !,(х) имеет вид, показанный на рис. 7.5.5 (совергпенно такой же вид имеет и кривая распределения /,(у)). Такой закон распределения называется законого Симпсона (плп «законом равнобедренного треугольника»). Так как !(х, у)Ф!,(х)!,(у), то случайные величины Х, г з а в иснмы. «в -а 0 )'7 Рпс. 7.5.5 Рпс. 7.5.4 Если случайные величины, образующие систему, зависимы, то для нахождения закона распределения системы недостаточно знать законы распределения отдельных величин, входящих в систему: требуется еще знать так т». Злвисимыв и пвзлвисимыз слу'1линыз вгличипы 2о! называемый условный закон распределения одной из них.
Условным! законом распределения одной из величин (Х, У), входящих в систему, называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение (пли попала в какой-то интервал). В случае произвольного типа случайных величин (дискретных, непрерывных или смешанных) функция распределения В(х, у) системы зависимых случайных величин (Х, У) может быть ааписана в виде: г" (х, у) = Р (Х < х; У < у) = Р (Х < х) Р (У < у ~ Х <х) = с ! (х) Р (У < у ~ Х < х), Условная вероятность Р (У < у ~ Х < х) — вероятность события (У< у) при условии, что величина Х приняла значение меньшее, чем х, может быть названа условной функцией распределения с.в. У при условии (Х < х); обозначим ее Р(У<у!Х<х) г»(у)Х<х). Тогда Г(х, у) = Р,(х) Р,(у! Х < х). (7 5 12)' Аналогично, беря в качестве «нервов» случайную величину У, получим: г" (х, у) = г"»(у)г", (х ~ У < у).
(7.5ЛЗ) На практике чаще всего применяют другой впд условного закона: закон распределения одной пз случайных величин при условии, что другая приняла в п о л н е о пределенное значение. Вычпслпм такие условные законы распределения для случая системы двух дискретных случайных величин, Онп образованы условными вероятностями, представляющцми собой вероятность того, что с. в. Х примет значение х, прп условии, что У=у! (или, наоборот, вероятность того, что с.в. У примет значение у! при условии, что Х=х,).
Найдем эти условные вероятности. Вспомним, как в п. 2.3 мы определяли условную вероятность события В прн наличии А: Р (В (А) Р (АВ)/Р (А). Гл. 7. спсткь>ы слу'!левых вг:шчпп 202 Применяя эту формулу, найдем условную вероятность того, что случайная величина У прпмет значение у, при условии, что Х = х,: р»,)«> = р»>'р«> (1= 1, 2, ..., и; 1 1, 2...,, в>) (7.5Л4) я, аналогпчно, р«>,-р»(рц (>=1,2, ...,п; ! 1,2,...,т). (7.5.15) Совокупность вероятностей (7.5.14) для 1 = 1, 2, ...
..., т представляет собой условный ряд распределения с.в. У при условии Х=х,; этот ряд распределенпя обладает свойством обычного ряда распределения: сумма образующих его вероятностей равна едннице. Действительно, >ее >=1 «> >=> Аналогично и х.> Р«>~и; — 1. >=1 П р н и е р 3. Найти условные ряды распределения р«)«п ри>>«(1= 1, 2, 3, 4, 5; >' 1, 2, 3, 4, 5) для завн снмых дискретных случайных величпн 5>, У, приведенных в прлмере 2 п. 7.3.
Решение. Применяя формулы (7.5Л4) и (7.5Л5), а также учатывая ряды распределения (7.3ЛО), получим для всех клеток табл. (7.3.9), где стоят нулп, условные вероятности равнымп нулю; отличными от нуля оказываются только: р«)„— — р>з/р« = 0,0324(0,0324 = 1; р„д„- рм>р 0 2222 р«)« = р„(р„ж 0,7778; р, )„ж 0,0367; р„)«ж 0,5138; р ~ 0,4495 р ~ ж0,2222 о ( 0,7778 Предлагаем читателю самостоятельно найти все отличные от нуля условные вероятности р,;),, и сравнить та злспспт!ые п нкззвисимып слу'!Аипые вели'!ш!ы 203 с нижеперечисленными; р, р 1; р„,р,,ж 0,39!3; р„ р ж0,6087; рц р -0,1037; р (, ж 0,6453; р„ („ ж 0,2510; р„(, ж 0,3913; р„р, -0,6087; р„(„= 1.
Теорема умножения плотностей. Рассмотрим систему двух аависимых непрерывных с. в. (Х, У) и докажем, что их совместная плотность равна произведению плотности одной из них на условную плотность другой при заданном значении первой: /(х, у)=/,(х)/,(у(х) или, что равносильно, /(х у) /2(у)/! (х ! у)~ (7.5Л7) где /,(у ! х) — условная плотность случайной величины У при условии, что с. в, Х приняла значение х; /,(х! у)— аналогично. Это правило называется т е о р е и о й у м н о ж е н и я плотностей; в схеме непрерывных случайных величин она аналогична правилу умножения вероятностей в схеме событий и может быть па него выведена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
