Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 30
Текст из файла (страница 30)
4. Если один из аргументов обращается в +, функ- ция распределения и (х, у) становится раввой функ- ции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу: и" (х, + оо) = 7г, (х), у (+ , у) - у Ы (7.2.5) где г',(х), г,(у) — фупкцпи распределения случайных ве- личии Х и У' соответственно: у,(х) = Р(Х<х); Г,(у) Р() <у). Действительно, г'(х, + оо) Р(Х<х, )'<+ оо). Но (г" с + ) — событие достовервое; а лгобое событие, р ф О Рис. 7.2.3 Рис. 7.2.2 будучи умномсеиным ва достовериое событие Ас, ие мепяется (см. и. 2.3); отсюда й(х, + оо) =Р(Х<х) -Г2(х).
Точно так же доказывается, что й'(+-,у)=Р(у<у)-ус(у). Последнее свойство фувкции распределения г"(х, у) наглядно можно проиллюстрировать, смещая ту вли иную границу квадранта, изображеипого на рис. 7.2Л, на + (рис. 7.2.2 и 7.2.3). В этом случае квадравт пре- 182 гл. 7. системы случАЙных Величин в ращается в полуплоскость, вероятность попадания в которую есть ф. р. с.
в., соответствующей тому аргументу, который не равен + 5. Из определения (7.2.1) следует, что функция распределения г'(л, у) (как и функция распределения любой случайной величины) непрерывна слева по любому аргументу. Из этого видно, что з геометрической интерпретации г'(х, у) как у вероятности попадания в <АА) квадрант с вершиной (х, у) правая и верхняя границы ;Я~"фУ квадранта в него не зключа- В геометрической интер- претации функция распредеРнс.
7.2.4 ления г"(л,у) есть некоторая поверхность, обладающая указанными свойствами. Впд этой поверхности аависит от того, дискретны, непрерывны или смешапны входящие в систему с. в. (Х, у). Зная функцию распределения г'(х, у), можно пайти вероятность попадапия случайной точка (Х, у) в пределы прямоугольника Н со сторонами, параллельными осям координат, ограниченного абсциссамп (сг, (~) и ординатами (7, б) (левая и нижняя границы включаются в гг, а правая и верхняя — не включаются; см. рис. 7.2.4, где жирными линиями обозначены включаемые з й границы).
Докажем, что Р((Х, Ъ') ~ Л) = г'(р, б) — г'(а, б) — г'(р, 7) + г'(сс,у). (7.2.6) Действительно, вероятность попадания в прямоугольник В равна вероятности попадания в квадрант с вершиной в точке (р, б), минус вероятность попадания в квадрант с вергпиной в точке (а, б), минус вероятность попадания в квадрант с вершиной в точке (р, 7), плюс вероятность попадания в квадрант с вершиной в точке (и, 7), которую мы вычли дважды.
Функция распределения г'(л, у) — наиболее упиверсальная форма закона распределепия, пригодная для системы любых двух случайных величин — двскретпых н педискретпых. ез система дВух дисБРетных случапных Величин 183 7.3. Система двух дискретных случайных велпчнн. Матрица распределения ° ! Р1т "! Рзт ( иу) (7.3.2) Рп "! Рп Рте Рют Сумма всех вероятностей ро, стоящих в матрице (7.3.2), равна единице как сумма вероятностей полной группы несовместных событий: ХХРС вЂ”. 1-1/ =1 Рассмотрим случай двух дискретных случайных величин (Х, У). Для простоты будем считать, что множество возможных значенпй каждой пз пнх конечно; для с.в. Х зто Я=(хо х„..., х.), а для с.в.
У вЂ” Н =(у„у„..., у ). Обозначим р11 вероятность того, что с.в. Х прпмет значение хп а с.в. У вЂ” аначенпе у,: Рп-Р!Х- 'У=У,! (7.3.() Событее (Х = х,; У у,) есть пропзведенпе событнй (Х=х|) п (У у,). Аналогом ряда распределения одной дискретной случайной величины Х для двух дискретных случайных велпчпп (Х, У) является матрица распределения — прямоугольная таблвца, в которой заппсаны все вероятности ре (( 1, ..., и; 7=(, ..., п1). Матрицу распределения системы двух дпскретных с.в. (Х, У) будем записывать в виде: «84 ГЛ.
7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Если известна матрица распределения (7.3.2) системы двух дискретных случайных величин (Х, У), то ее функция распределения находится суммированием всех вероятностей ро, для которых х, ( х, у, ( у: р(х,у)= Х Х п~(п «»(» (См. выделенный «левый верхний угол» матрицы 7.3.2'). Множество возможных значений дискретных случайных величин Х и У может быть не только конечным, но и бесконечным (счетным). Р11 Р12 Р«М Р»2 ~ Ры (7.3.2') (Х,у) .' хп ~ Рп« ~ Рп» Рп~п Рп» р„= Р(Х х,); р„.=Р(У=у,) В атом случае матрица распределения имеет бесконечные размеры, но ее свойства сохраняются теми же, что при конечных и и т.
Ниже мы для простоты будем считать и и т конечными; в случае, когда множество возможных значений одной пз с. в. (Х, У) (илп обеих) бесконечно (счетно), соответствующие пределы и и т в суммах нужно заменить на бесконечные. Зная матрицу распределения системы двух дискретных случайных величин (Х, У), легко можно найти законы (ряды) распределения отдельных случайных величин Х и У, входящих в систему, Обозначим 7.3.
СИСТЕМА ДВУХ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАННЫХ ВЕЛИЧИН |35 Найдем Р(Х = х|); для этого события (Х=х,) представим как сумму несовместных вариантов: (Х=х) =(Х=х,; У=у,)+ + (Х =х,; 1'= у,) +...+(Х=х,; У=у ). По правилу сложения вероятностей р„= Р (Х = х|) = ~ рк (7.З.З) и, аналогично, и р„, = Р (У = уг) = Х рн, (7.3.4) х,=О; х|=1; х|=2; у|=0; у|=1; у|=2. Возможные пары значений системы случайных величин (Х, У): (О, 0), (О, 1), (О, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2); (2, 0), (2, 1), (2, 2), Соответствующие зтнм парам вероятности вычисляем, пользуясь правилами сложения и умножения вероятностей, т. е. для того, чтобы найти вероятн'ость того, что отдельная случайная величина, входящая в систему, примет определенное значение, надо просуммировать вероятности ро, стоящие в соответствующей этому значению строке (столбце) матрицы р а определенияя.
П р имер 1. Два стрелка, незазиспмо друг от друга, делают по два одиночных (независимых) выстрела каждый по своей мишени. Случайная величина Х вЂ” число попаданий первого стрелка, У вЂ” число попаданий второго стрелка. Вероятность попадания при одном выстреле для первого стрелка р,=0,7, для второго р| 0,4. Построить матрицу распределения (р„~! системы случайных величин (Х, У) и законы (ряды) распределения отдельных случайных величин Х и У. Найти функцию распределения г"(х, у).
Решение. Воз|южные значенпя случайных величин Хи У: гл. 7. системы случзпных величин (86 Матрица распределеппя системы случайпых величин (Х, У) имеет вид: (Х, У): 0,0(44 0,0672 0,0784 (7.3.5) 0,043 0,20$6 0,2362 0,0324 О,(Ь(2 О,(7Ы На основапии матрицы (7.3.5) функции распределепия Г(х, у) (сы. находим значения (7.3.6) ). и>2 в<ест в~в<1 ~(в, у): (7.3,6) Имеем: рм Р (Х О, У 0) Р (первый стрелок ооа раза промахпулся и второй стрелок оба раза промахнулся) (1 — р,)'(1 — р,)' =0 0324.
р„= Р(Х = 0; )' =1) -0,3в 2 0,4 0,6 0,0132; р„,-Р(Х = О, )' 2) 0 0144; р„Р(Х = 1; У вЂ” 0) 0,1512; р„Р (Х 1, У = 1) = 0,2016; р в Р(Х 1; У-2) =0,0672; р„Р(Х 2; )' 0) = 0,1761; Рвв = Р(Х 2; У-1) = 0,2352; Рвв = Р (Х = 2' У вЂ” 2) = 0,0784. т.з. системА дВух дискРетных случАйных Величин 1З7 Законы распределения отдельных случайных величин Х и У получим, суммируя вероятности, стоящие соответствепио в строках (столбцах) матрицы (7.3.5): (Эти значения мы могли бы получить иепосредственно из условий задачи, не пользуясь матрицей (7,3.5).) Ряды распределения случайных величин Х и У име~ ют вид: х: —;у — .>, (7.3.7) Пример 2.
Для условий примера 1 построить матрицу распределения двух других случайных величии: (7 Х+У; У Х вЂ” У (сумма и разпость чисел попадания первого и второго стрелков). По этой матрице найти законы (ряды) распределеппя случайных величин (7 и У по отдельпости. Ре тле и ив. Возможные значенвя случайной вели- чипы г7: и, Ои, 1и, 2и~ 3 и 4. Возможные значепня с. в.
У (в порядке возрастапия): Р, -2 и,--1;и, 0 Р, 1;и, 2. Найдем все вероятности р, Р(У ин У-и,) (1 1,2...„5; ) 1,2...„5), р„= Р (Х = р -Р(Х р„-Р(Х = р -Р(У У1 р Р(У р -Р(У 0) = 0,0324 + 0,0432 + 0,0144 = 0,09; Ц = 0,42; 2) = 0,49; О) = 0,36; Ц 0,48; 2) = 0,16. 188 ГЛ. 1, СИСТЕМЫ СЛУЧАИПЫХ ВЕЛИЧИН Для этого составим таблицу аначений случайных величин 47 и г' при ваданных аначеннях Х и У (см. (7.3.8)); эначение величины (7 эаписано в верхней левой половине клетки, величины )1 — в нижней правой: (7.3.8) Польауясь этой таблицей и матрпцей распределениа (7.3.5), найдем: р„=Р(бг 0; У вЂ” 2)=0 парой аначоний в таблице Матрица распределения системы случайных величии (так как клетки с такой (7.3.8) нет); аналогично р Р(и=о', Г= — 1)=0 16 р Р(и=о; У=О) =0,0324 р =Р(и=о; У=1)=0 14 р =Р(и=о; У= — 2)=0 р„=а(и=(; У=-2) =о р Р(и=1; Г= — 1) =0,0432 р Р(и=1; У=О)=0 р 4 Р(и=1; 1=1)=0,1512 р =Р(и=1; Г=г)=О р„=а(и=г; У= — )=0,0144 р =Р(и=24 у= — 1)=о 66 р Р(и 2; У=О)=0,2010 ,„=Р(и=г; р =Р(и 2; 36 р =Р(и=З; 41 р =Р(и=З; р„=а(и=З; , =Р(и=з; р =Р(и=З; р =Р(и=4; Ы =Р(и=4; р =Р(и=А; 66 р =Р(и=4; 64 р„=а(и=4; 16 = 1 ) =0 р = 2) =0,1704 у=-2)=0 У= — 1) =О,ОС72 16=0)=0 У=1) =0,2352 1'=2) =О Г= — 2)=0 У= — 1)=0 У =0) =0,0781 У=П=О У=2)=0 7.3, системА дВух дискРетных случАйных Величин 189 (17, у') имеет внд э, 1 и„-! (и, У): и! = 2 ~ 0,0144 0,2010 ~ 0 0,1704 0,0672 0,2352 и,=з, 0 и,-4 ~ 0 0,0784 0,0324 0,0144 0,0784 2 0,3924 0,3024 0 0,3124 0,3884 0,1944 — 1 (7.3.10) 0,1784 0,1104 (7.3.9) Суммируя вероятности, стоящие в строках и столбцах матрицы (7.3.9), получим: р„Р (О 0) 0,0324; р„- Р ((7 Ц 0,1512 + 0,0432 0,1944; р Р ((7 2) 0,2016 + 0,0144 + 0,1764 = 0 3924; р„ Р (У 3) 0,0672 + 0,2352 0,3024; р„ Р ((7 4) 0,0784~ р Р (й' — 2) 0,0144; и! р -Р(У- — Ц-0,1104; Р! р, Р (У вЂ” О) 0,3124; р, Р (У Ц 0,3864; р„Р (Г 2) 0,1764.
Ряды распределения случайных величин У и у'! 190 гл. 7. системы случхиссых велссчин Зная матрицу распределения ((ро(( системы двух дискретных случайных величин ((с', У), можно найти ее функцию распределения Р(и, о)с Р(сс, у) =' 2", ~ч'„рс нс(х хс(ю (7.3.1 1) где первая сумма распространяется на все значения р,с, для которых ис(и; вторая — ва все значения ре, для которых ус( ш й 7.4. Система двух непрерывных случайных величин. Совместная плотность распределения Лх О Ьу.+О (7.4 1) Система двух с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
