Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Рассмотрим элемент вероятности /(х, у)г(х!(у, приближенно (с точностью до бесконечно малых высших порлдков) равный вероятности попадания Рис. 7.5.6 случайной точки (Х, У) в элементарный прямоугольник Н/7„„ со сторонами пх и пу, прил!ыкающнй к точке (х, у) (рпс. 7.5.6). Попадание точки (Х, У) в него представим как произведение двух событий: А, (Ха(х, х+Ых)); А,=(г'!и(у, у+!/у)), откуда, по правилу умножения, элемент вероятности равен: /(х, у) дх !/у = Р (А,) Р (А, ~ А,) = = Р (Х ~ (х, х + дх)) Р (1' я (у + Ыу) ( Х я (х + Нх)).
(7,5,18) Гл. ь системы случхвных величин 20$ / со 1,(у)х) 1(х, у))1 ) 1(х, у)Ыу; СО )а 1,(х)у) = 1(х, у)/ ( 1(х, у) Их. Х (7.5.20) Формулы (7.5Л9), (7.5.20) выражают условные плотности череа совместную плотность 1(х, у). Условные плотности распределения 1,(у ~ т), 1, (х ~ у) обладают свойствами обычных плотностей: ~Ю !з(у(х)))0; ) 1а(у(х) Иу = 1; С 1,(х(у)~)0; ~ 1,(х(у)Их 1. 00 (7.5,21) Из формул (7.5.20) для условных плотностей распределения вытекает их полезная геометрическая интерпретация, а именно: кривая условной плотности 1,(х ~ у) подобна сечению поверхности распределения плоскостью, параллельной координатной плоскости 10х, отсекающей на оси Оу отрезок у (рис.
7.5.7), и получается из пее Теперь устремим к нулю г1х и ду; в пределе условие Хю(х, х+дх) в формуле (75Л8) превратится к Х=х; формула (7.5Л8) примет вид: ! (х~ у) г)х г) у — 1 (х) г/х 12 (у ~ х) ()у, откуда, деля обе части па НхдуФО, получим формулу (7.5.16) (формула (7.5.17) выводится аналогично). Из (7.5Л6) и (7.5.17) вытекают формулы, вырал~ающпе условные плотности распределения: 1,(у ~ х) = !(х, у)/1,(х); 1,(х ~ у) = 1(х, у)/1,(у), (7.5.19) т. е. чтобы получить условную плотность распределения одной из с.в., входящих в систему, надо разделить совместную плотность па плотность распределения другой с.
в. Учитывая формулы (7.4ЛО), выразкагощие плотности распределения одной пз с. в., входящих в систему, через совместную плотность, можно записать формулы (7.5.19) в виде: тл, зАвисимые и незАвисимые случАпные велпчины 2О5 делением всех ординат на площадь данного сечения. (На рис. 7.5.7 величина а, — коэффициент пропорциональности.) Пример 4. Время безотказной работы Т, электронного устройства (ЭУ) распределено по показательному закону с параметром Х ) ) 0; время восстановле- Гг,т, у1 ния ЭУ после его отказа Т, также подчинено показательному закону, но его параметр р пропорционален времени безотказной работы ЭУ: р=аг, (а)0).
Найти совместную и. р. системы с. в. (Ть Те), У а также п.р. с.в. Т, и Т, и их характеристики. е га)уна1 Решение. По условиго у,(г,)-х "' (г,- о); 7'(7„1,) = Хе ~Ре " ' = Хе ~а71е 1'( 1) 1 '1(1 0; Рис. 7.5.7 71 ) 0)' По формуле (7.4.40) находпм: Ю С 1з(г,) = ~ 7(г„ге) а„= 1 )аг„е-~""'ер а, = (Х+ а11)' (1 ) 0). Монсно убедиться в том, что и. р. с. в. Т, обладает всеми необходимыми свойствами: 71(11)~0; ~ 7,(11)йз 1.
о Следовательно, ~,(11(71) = ~(81, '11'г)1 (11) = а11е "1" (8„7,) О), 7, (г, ! 7,) = у (г„, г,)77, (г,)- - (Х+ а71)з Гге ('+" )'1 (Г„Г,) О). Отметим, что условная и.р. с. в. Т, при фиксированном значении Т, г, является законом Эрланга 2-го порядка с параметром (Х+агз). Гл 7 спствма слу'гвйных Ввлпчнп Найдем числовые характеристики с. в. Т, и Т,: 00 л М(Т,) — ~) Хг,а-",)г= —,', П(Т,) — 17).т; 0 о(Т,) = М(Т,) = У 0(Т,) = 1/7.; м.о. п дисперсия с. в. Т, не существуют, так как соответствующие интегралы расходятся. й На практике нам далеко яе всегда бывает известна совместная плотность распределения 7(х, у) системы двух с.
в.; может возникну ть необходимость непосредственнного определення условной плотности по результатам опытов. Сразу же оговоримся, что для этого экспериментальный материал должен быть достаточно обширным (порядка уже не сотен, а тысяч опытов). Покаигем на конкретном примере, как это можно выполнить. Пусть случайная величина Х вЂ” рост наугад взятого человека, У вЂ” его вес.
Лспо, что случайные величины Х и У аависимы; в среднем более высокие люди имеют и больший вес, хотя в конкретных случаях от этого правила могут быть и отетупления. Предположим, что мы хотим приближенно найти по опытным данным условную плотность распределения 7,(у ~ 180), т. е. плотность распределения веса человека, имеющего рост 180 (см). Как это сделатьу Надо из всего массива опытных данных отобрать те, для которых рост приблиясепно равен х = 180 (см), и для этой группы данных приближенно построить плотность распредег(х у) х ления веса (о том, как зто делау у~э ется, подробнее мы будем гово- 'Я 'у', х рить в гл.
11). а и а 1 11р имер 5, Пользуясь гео(гт ~ ~) (У2 ' метрической интерпретацией ус- ловной п. р., найти /,(у! х) и Ркс. 7.5.8 7, (х ~ у) для пары случайных ве- личин (Х, У), рассмотренных в примере 2 данного пункта, и сравнить с теми результатами, которые получаются по формулам (7.5.20). Решение. Поверхность распределения 7(х, у) имеет вид, показанный на рис. 7.5А. Сечение этой поверхности плоскостью, параллельной плоскости 70х и отстоягцей от пее на расстоянии у, имеет вид прямоугольника, показанного на рнс, 7,5.8; подобная сй фигура представ- тл злпис1151ыг и пгзлвпсимыэ слу'!лппые Вга!и'пшы 797 лает собой кривую равномерного распределения. Следовательно, условная и.
р. /,(х,'у) является постоянной на участке ( — (а/У2 — (у); +(а/У2 — !у!)) (условное распределение равномерно). Исходя пз условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения, получим вырансение для условной плотности распределения: /! (х(у) )!о при )х))а/У2 — (у! = )1/[2(а/УБ — (у!)[ Ирп — (а/У2 — )у))( ~ * < М У1 — ! 5 О. Аналогичное выражение поясно записать и для другой условной и. р.: /з(у! х) = 0 пря )у()а/У2 — (х); 1/[2(а/У2 — !х()[ прп — (а/У2 — (х()( (у((а/У2 — ) х!).
Пример 6. Точка (Х, У), пзобра!кающая объект на круглом экране радиолокатора, распределена с постоянной плотностью в пределах круга К радиуса г с центром Рзс. !.5,Ю Рвс, 7.5.9 в начале коордипат (рпс. 7.5.9). Записать выражение совместной плотности )(х, у). Найти плотности /,(х), !с(у) отдельных величин, входящих в систему (Х, У), а также условные плотности /,(х ~ у), /„(у ~ х), построить ях графики. Определить, зависимы нли независимы случайные величины Х и У. Найти вероятность того, что расстояние от точки (Х, У) до центра вкрана будет меньше г,.
208 Гл. т. системы случАйных Величин Решение. (С при (х, у)ен К, 0 р (, )ФК. Поверхность распределения показана па рис. 7.5.10; она имеет вид прямого кругового цилиндра радиуса г, стоящего на плоскости хОу, центр основания которого совпадает с началом координат, Так как объем цилиндра должен быть равен единице, то его высота Ь = 1/(лг'). Следовательно, (1/(лг') при х' + у' ( г', У(х у) (О при х'+ у') г'. Найдем плотность /,(х) по Формуле: СЮ У ( )- ) /(х у) !у- прп !х(( г, График плотности /,(х) показан па рис.
7.5.11. Анало- гично получим выражение для алотт;гх) ности /,(у): Уа(у) 2Уг~ у2/(лг~) при !у! < г, у Г Условную плотность У,(х!у) находим по Формуле (7.5 19), имея в виду, что /,(у)чьО: /, (х!у)' /(х, у)/),(у) ='1!(2 Уг' — у') при !х! < Уг'"' — у*. Аналогично: У,(у!х)-1/(2Уг' — х') при !у! < У "— х', Условная плотность распределения /,(х!у) при определенном значении у(у'<г') будет представлять собой плотность равномерного распределения па участке (-УгА — х', Уг' — х'). График условной плотности /,(х!у) при у = г/2 показан на рис.
7.5.12. Так как /,(х)~ /,(х!у), то случайные величины Х и у зависимы, ьь злвисимыа и незлвнснмие случьвнын ввлпчнпы 299 Вероятность того, что точка (Х, У) па экране радиолокатора будет находиться пе более чем на расстоянии г, от центра экрана, равна вероятности того, что произойдет событие (Х» + У» ( г~~), т. е. случайная точка (Х, У) будет припадлея«ать области Р, — кругу радиуса г„ центр которого совпадает с центром экрана (рис.
7.5.13), Эту вероятность проще всего подсчитать, пользуясь понятием «геометрической вероятности», введенной в п, 2.2: искомая вероятность Р ((Х, )') «= ~Ц = Р (Х» + У» < г») = пг»/(иг«) = г',/г'. П р и м е р 7. Рассматривается совместная работа двух ЭВМ. Случайные величины Т„Т, представляют собой, соответственно, время безотказной работы первой ЭВМ г,гт~у=ггг> Г 1 »Уг »ег г Рис.
7.5Л2 Рис. 7.5.13 и время безотказной работы второй; обе ЭВМ выходят нз строя независимо друг от друга. Каждая из случайных величин Ть Т, имеет показательное распределение с параметрами ).„).» соответственно. Написать выражение совместной плотности /(го 1»). В начальный момент 1= 0 обе ЭВМ работают. Найти вероятности следующих событий: А (в течение времени т после начала работы обе ЭВМ будут продолжать работу); В= (в течение времени т после начала работы первая ЭВМ будет продолжать работу, а вторая выйдет из строя); С (вторая ЭВМ выйдет из строя раньше, чем первая).
Р е ш е н н е. Так как величины Ть Т, независимы, их совместная плотность /(1„1,) =! (1 )/»(1 ) гце / (1») = ),»е ь»~» (1» 0); / (1) ) е ь»»«(1 )О). 210 Гл 7 система счтч !опыт ве)ш'п1п Это выражение обращается в пуль в области, где хотя бы одни нз аргументов 1„1, отрицателен, т. е. вне первого квадранта К плоскости 1)01, плотность !(го 1,) равна нулю, а внутри его выражается 1))ормулой) 3(1„11) = Х,Х,е )') о* (1,>0, го) О). Находим Р (А) = Р (Т, ) т; То > т). Так как события (Т, > т), (Т, > т) независимы, то Р(А) Р(7, ) Р(Т > ) -х)! -х,! -(х).~-!.,~~ ! 2 1 Р(С) = Р((Т„То) ен С)— = ) ) У (1„ го) (1, 71, Г) Рвс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
