Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Высказанное выше положение, которое мы пока никак но обосновываем, представляет собой, в грубых чертах, зодер>капка центральной предельной теоремы твори в вероятностей, с различными формами которой мы позвавомимся в гл. 10. Огранпченяе, налагаемое на складываемые случайные величины (эчтобы они были сравнимы по порядку своего влияния па рассеивание суммыэ) становится попятным, если представить себе, что, скажем, одна из случайных величин Хн Х„..., Х обладает очень большим рассеиванием, резко превалирующим над рассеиванием всех остальных; ясно, что закон распределения именно этой случайной величины на>ожит свой отпечаток па закон распределения суммы, > никакой в~ормалпзацииэ ве произойдет.
Это условие >римерпой вравпоправпостиэ слагаемых будет выражено з математической форме для различных форм центральной предельной теоремы в гл. 10. 166 Гл. а. непРБРывные случляные величины Очерь часто встречающиеся на практике случайные величины образуются именно в результате суммирования многих случайных слагаемых, сравнимых по степени своего влияния на рассеивание суммы.
В частности, в очень многих случаях практики о ш и б к и и з м е р ен и я распределяются по закону, близкому к нормальному. Действительно, пусть, например, мы взвешиваем тело на точных (аналитических) весах. Обозначим Х ошибку взвешивания и представим ее в виде суммы большого числа малых погрешностей, каждая пз которых вызвана действием одной, отдельной, не зависимой от других причины: где, например, Х, — ошибка, возникающая из-за положения тела на чашке весов; Х, — ошибка от неточности зрительного совмещения стрелки весов с определенной отметкой шкалы; Х, — ошибка, связанная с вибрацией стола, на котором установлены весы, и т.
д. Ясно, что число и таких «элементарных» опшбок весьма велико; мы вправе ожидать, что с. в. Х будет иметь нормальное (нли близкое к нормальному) распре- 1 О( у) деление. Это и подтверждается опытом: У 1 как правило, ошибки «точных измерений» имеют распределение, близкое к нормальиомуа). Ошибки стрельбы (координаты точки попадания Х, У в системе координат, связанных с точкой прицеливаРис. 6.3.4 ния О (рис. 6.3.4)) по тем же причп- наы имеют нормальное (или близкое к нему) распределение: каждая из величаи Х, г' представляет собой сумму большого числа слагаемых (элементарных ошибок), связанных с отдельными прпчпнаыи, вызывающими отклонение снарядов от точки прпцелнванпя. Ошибки выполнения команд автоматизированным устройством; ошибки вывода космического корабля в за- «) Ранее мы показали, что ошг«бка «груоого измерения> имеет равномерное распределение.
«Грубое пюп реипе» отличается от «точного> тем, что его повторение дает всегда одно и то «ке значение измеряемой величины; при «точном» жс измерении результат от раза к разу меняется. 169 «.З. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНПЕ данную точку пространства; ошибки параметров элементов вычислительной техники, а также множество других «ошибок», сопровождающих целенаправленную деятельность человека, в очень большой доле случаев имеют нормальное или близкое к нормальному распределение.
В дальнейшем (пп. 9.5, 9.8) мы встретимся с примерами случайных величин, образованных суммированием большого числа случайных слагаемых п поэтому распределенных практически нормально. Заметим, что при увеличении числа слагаемых закон распределения их суммы довольно быстро «нормализуется». Продемонстрпруе»г это Рас. 6.3.6 (пока без доказательства) на примере суммирования неаавпсимых случайных величин, пмеющпх равномерное распределение на участке (О,т).
Кривая распределения ~, (х) одной такой случайной величины показана на рис. 6.3.5, а. На рис. 6.3,5, б показана плотность распределения ~,(х) суммы двух таких случайных величин; на рис. 6.3.5, в — плотность распределения ~,(х) суммы трех таких величин (кривая составлена из трех отрезков параболы и по виду уже напоминает нормальную, подробнее см.
пример 2 п. 9.5) Если же сложить шесть та- 176 гл. с. пепгггывпые слу'1Анвые вгли'1ивы кпх случайных величии, то получится случайная величина с плотностью распределения, практически ие отличимой от нормальной*). Решим несколько примеров, связанных с нормальным распределением. П р и м е р 1. Найти абсциссы точек перегиба кривой распределения 1(л) нормального закона (рис. 6.3.6). Ре ш е и и е. Точки переги- П(ю) ба — ато такие точки, в которых вторая производная функции ) (л) обращается в нуль.
Дифференцируя функцию Дх) = 1 ) .(е — и) ехр ~ —, два о ~Г2л ~ 2о раза, имееы л ) ) ( л ) ( 1 ( т т )» ~ о с ) Рлс. 6ХХ6 (6.3.20) Выражение (6.3.20) обращается в нуль в точках тш шп; таким образом, точки перегиба кривой распределения нормального аакопа отстоят па расстояние и в ту и другую сторону от центра рассеивания т, как п показано на рпс. 6.3.6. й» Пример 2. Имеется с. в. Х, распределенная нормально с параметрами т, о. Найти вероятность того, что с.
в. Х отклонится от своего математического онсиданпя т больше, чем иа Зо. Р е ш е в и е. Р ( ( Х вЂ” т () Зо) 1 — Р ( ) Х вЂ” т 1<; За); по формуле (6.3.17), полагая 1= Зо, находим: Р()Х вЂ” т(» Зо) 2Ф( — ) 2Ф(3). По таблицам функции Лапласа (приложение 2) находим Ф(З) = 0,49865; 2Ф(3) = 0,9973; Р (! Х вЂ” т) ) Зо) т 0,0027.
Это — действительно малая серонтность. ~ ») Прн иоделнроеапнл случайных нелепей на ЭВЫ часто польеуютсн вместо нормального распределеннл суммой шести, в крайнем случае дсснтн нееазнснмых с. е., писющнх равномерное распределение на участке (6,1) (см. п. 6.1). «.».ногмьльков РАсп»кдклвпив Заметим, что само «правило трех сигма» ведет свое начало именно от кормальпого распределения, которое очень часто встречается в случайных явлениях природы. Для нормального закона это правило выполпяется с очень высокой точностью; применяя его, мы будем ошибаться приблизительно в трех случаях из 1000. Если такая точпость пас не устраивает, можво увеличить диапазон возможных зпачепий с.
в., распределенной пормальпо, до т ~ 4а: РЦХ вЂ” т()4а) 1 — 2Ф(4)ж1 — 2 0,499968 0,000064, т. е. с.в. с вормальпым распределением будет отходить от своего математвческого ожидания т больше, чем ка 4а, только примерка в 6 случаях па 100000 опытов. Пример 3. Откладывая от математвческого ожидания и последовательно, одвп за другим, отрезки длиной а, найти (с точностью до 0,001) вероятности попадания с. в. Х, распределенной нормально, па вти отрезки. Решение. По формуле (6.3.16): Р (и < Х < т + а) Ф~ — ) — Ф (О) = Ф (1) ж 0,341; Р(и+а<Х<т+ 2а) Ф( — ) — Ф~ с )ж0136; Р(и+ 2а<Х<т + За)= Ф~ — ) — Ф( — ) ж 0,021. Суммируя этв вероятпости, вычислеппые с погрешпостью пе более 0,01, пайдем вероятность попадания с.
в. Х правее точки гл: опа равна 0,5. Числа 0,34, 0,14 и 0,02 полезло запомнить для ориентировочной «прикидки» вероятпостей попадапил пормальпо распределепиой с. в. па какие-то участки.й» Пример 4. Завод изготовляет шарики для подшиппиков, помипальвый диаметр которых равен 10 (мм), а фактический диаметр случаен в распределеп по нормальному закону с м.о. т =10 (мм) и с.к,о. а ° 0,4 (мм).
Прп контроле бракуются все шарвки, пе проходящие через круглое отверствие с диаметром И, 10,7 (мм) и все, проходящие череа круглое отверстие с диаметром 4-9,3 (мм). Найти процепт шариков, которые будут браковаться, 172 Гл. о. непгеРывные случайные величины Решение. Вероятность того, что шарик будет забракован: Р() Х вЂ” т!) 0,7) 1 — Р((Х вЂ” т) <0,7). По формуле (6,3,17) Р (! Х вЂ” т) < 0,7) = 2Ф ~ — — '4) ж 2 0,459 0,918, Р () Х вЂ” т ) > 0,7) 0,082.
Таким образом, браковаться будет около 8,27о шариков. ~ Пример 5. Номинальное напряжение в схеме равно и;, фактическое напряжение (7 случайно и имеет нормальное распределение с параметрами Ии) и, и о„. В схему включается радиолам- 7 па. Вероятность д(и) того, что лаоша ! перегорит в момент включения, зависит от напряжения (7 и возрастает О ио и, и линейно от 0 при (7=по до 1 прп В= и, (рис.
6.3.7). Найти полную веРис 637 роятность того, что радиолампа перв- горит в момент включения. Решение. Функция д(и) имеет вид: 0 прн и<по 9(и) (и — иойио — ио) при ио~ и<и„ 1 при и и,. По интегральной формуле полной вероятности (п. 3.4) находим: Оо 9- ~ 9(и)~(и)( ОО где д(и) — вероятность отказа радиолампы прп (7 и; )(и) — плотность распределения напряжения (7, нормальная с параметрамн и, н о„: ел.
ГАммА-РАспгедвлкнии Следовательно, ОО д = ) д (и) 1(и) Ни ° О И ( — .и, — .) ~ ( — .)* о ~ о ь ), +р((у о ~/хл 2ай и, Последняя вероятность Р(У) иД Р(и, (У(оо) = ~>( ) ф "ь ае 1 ф "~ "о Вычислим интеграл: е1 М и, "ю Функция под анаком интеграла есть не что иное, как (" — в)' 1 пропаводпая от функции ехр —,,' ) по и, следой вательно, 'и ( ехр "~ "о .( + 0,5 — Ф вЂ” '' 3» 6А.
Гамма-распределение' н распределение Эрлапга Неотрицательная с. в. Х имеет гамма-распределение, если ее и. р. выражается формулой: л~х~ ~в ы)-'*„„'., 174 гл. а. ПепреРывные случавпые величияы й (й+ 1) )„а с Рх 0 [Х! сси [Х) — пс„~~ —. (6.4.7) 'Р' При й 1 гамма-распределение превращается в показательное с параметром )с, рассмотренное в и. 6.2, так как Г(1) О! 1: 1,(е) йе ' (е ) О).
в) Например, прп й 4 вмааы: (2й — 1)П .(2 4 — 1)П = 7П 1 Э 5.7 105, где Л) О и й > О, Г(й) — гамма-функция: Г(й) ) е с Й, (6.4.2) а Гамма-распределение довольно часто встречается в приложениях теории вероятностей, особенно в математической статистике. Гамма-функция обладает свойствами: Г(й+ 1) йГ(й), Г(1) 1, (6.4.3), откуда следует, что если й целое неотрицательное число, то Г(й+1) й[=1 2 °... й. (6.4.4)' Кроме того, нам в последующем потребуется еще одно свойство гамма-функции: Г~й+-) ° " „; (2й — 1)П=1 3 ° 5 ...
° (2й — 1)е). 2" (6.4.5) Найдем числовые характерпствки с. в. Х, подчиненной гамма-распределению: вв вв ('Ьйхав-' [~х ' 1 1 Р -С ° Г(й+!) пс ° сЬ Ес — е '1" с(( ,) г(й) йг(л) 3 йр(й) '= )с~ В соответствии с равенством (6.4.3) получим: пс„М [Х) й/)(. (6.4.6) Второи начальный момент найдем по формуле вв вв аз [Х! ,[! 1 1 й"ха+св хлх [ си+се сж Г(й+2] г(й) ) й'г(й) аг(й) откуда СА.
ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 175 При целом й ) 1 гамма-распределение превращается в распределение Эрланга й-го порядка: Х(хх)х 1х [А — 1) ) Подробнее об инженерных условиях возникновения закона Эрланга й-го порядка говорится в п. 9.5. Здесь достаточно лишь указать, что аакону Эрланга й-го порядка подчинена сумма независимых с. в. Х, +Хх+...
+Х„ кая<дая на которых распределена по покааательному аакону с параметром А. Закон Эрланга й-го порядка тесно Тт тх Тд Рхс. 6.4Л свяаан со стационарным пуассоновским (простейшим) потоком с интенсивностью А. Действительно, пусть имеется такой поток событий во времени (рис. 6.41).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
