Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Йх1 Ахы,... Ых„. (9.6.15) Если случайные величины Х„..., Х„независимы, то С (у) = П Р;(у); у (у) - ~~)', †,' П Р,(у), (9.6.16) l1 Ы а=1 у ь), где Р,(х1) — ф. р. с.в. Х,; 1,(х,) — ее плотность. Если с.в. Х„..., Х„независимы н распределены одппаново (Р~(у) г'(у);!<(у)=1(у) (1=1, ..., я)), то С(у) = (Р(у)!"; у(у) = л!(у) (Г(у)!" '. ~ (9.6,17) Пример 4. Работа ТУ не ма>нет быть начата раньше того, как будет окончена сборва всех и его блоков: Б„Б„..., Б„. Времена сборки блоков Б„..., Б„представляют собой систему и независимых с.в. (Х„..., Х„), распределенных по показательным законам с парамезрамнХо...,й,.
Требуется найти плотность с.в. à — времени окончания сборки всех и блоков ТУ. Решение. Очевидно, что У шах(Х„..., Х„). По формуле (9.6 16)' имеем И ь -ге а(у) = П (1 — е '*") '„~ ~1 — е и ~А ' —,'~",(Х.+Х)е ' ') + 1-Г нее 9.В. ми~>п>ум <макс>зх>уы> случявпых Вплнчпп 379 Задача 5. Закон распределения порядк о в ы х с т а т и с т и к, Рассмотрим непрерывную систему одинаково распределенных, независимых с. в, (Х„ Х„..., Х„) с ф.р.
Р(х) и п.р. /(х). Располо>ким значения, припнтые случайными величинами Х„Х„..., Х„, в порядке их возрастания и обозначим: Х,о — случайная величина, принявшая наименьшее из значений: (Х<о — — ш(п(Х„Х,, ..., Х„)); Х<» — вторая по величине принятого значения из случайпых величин Хи Хи ..., Х„; Х,„, — ш-я по величине принятого значения нз случайных величин Х„Х„..., Х„; Х<„, — наибольшая по принятому значению из случайных величин Хь Хи ..., Х„(Х<„> = шах(Х„ Х„..., Х„)). Очевидно, Х<,><Х.м<...<Х<.><...=-Х„„.
Случайные величины Х<и, Х<м, ..., Х<м называются порядковыми статистиками. Формулы (9.6.8) и (9.617) дают законы распределения крайних членов Х,о и Хео системы («). Найдем фупкци>о распределения т'< >(х) с. в. Х,, Событие (Х,, (х) состоит в том, что т с.в. из системы п с.в. (Х„Х„..., Х.) будут меньше л и (и — и>) с.в. будут больше х. 'гак как с.в. Х< (1 1, 2, ..., п) независимы в одинаково распределены, то Р(Х<(к) — г" (х) Р(Х!)х) 1 — г'(х). Нам нужно найти вероятность того, что в п неаависимых опытах событие (Х, < к) появится ровно л> раз, 11римепяя бипомиальпоо распределение, получим Г<«,.>(х) = Р(Х<„>(х) = ~ С„"(Г(л))" (1 — Р(х))" ь, (9.6.18) ззо Гл.
3. ЗАконы РАспгеделепгг!! Функция откуда, дифференцируя, найдем: г<~~,> (х) = Г!„~> (х) = !!! (х) С~~ г! (Г (х)) ! (1 — г (х)) ~ (9.6.19) Прн т = 1 (9.6.19) дает ранее полученную формулу (9.6.8), прп т = л — формулу (9.6.17). 9.7, Заковы распределения функций от нормально распределенных случайных величин Нормально распределенные с.в. игра!от значительную роль в различных пнктеперных прилоягепиях.
Аналогичную роль играют и функции пормальпо распределенных с. в. В этом пункте мы будем рассматривать следу!о!цую задачу. Дана функция системы нормально распределенных с.в, (Х„Х„..., Х„): У= Р(Хь Х„..., Х„) Требуется найти закон распределения с.в. У. 3 а д а ч а 1. 3 а к о н р а с п р е д е л е н ил л и и е йной функции л нормально распределенныхых случайных величин у= ~ а,Х;+Ь. (9.7Л) Р еп!ение.
Рассмотрим первоначально случай, когда число аргументов п-2. По формулам (7.9Л), (8.3,2') и (9.5Л4) имеем и!зп а 1 2ло о ~/ ! — г~ ((у — а з — Ь))а! — и ) тг„из — а,г — Ьуа,— т,)(з — и,) о! (з,-т )з Р з!зп а, ) ехр( — Ах~~+2Рхз+ С) Ктз -а,,1'~-"„' 22.
Фут!!!ции поги РАспгядГчеппОГО АГГуннтттА 331 где А 2«"", ]/ 1 — 1-'2 у — Ь вЂ” ап!+ап,т1 1 ! ! 2 2 О г Гу — Ь вЂ” а ап ! 1 о а В 1 о,а,,а, (у — Ь вЂ” п,п!!)2 о,-"а' 21,, + '- т, (у — Ъ вЂ” ага!,)+ 1 ! 1 Следовательно (см. (п.
7.9)), у(у) = ((з!два,) ул/(2ло!о.,'у' А)]схр~ — . ), После преобразований получаем ( (у — му)2) где ту М (У) ага!1+ ага!2 + Ъ; 22 22 о„= Р (У] = а,о, + а,а.," + 2агаг!'!гага«, Таким образом, мы показали, что линейная функция системы двух нормально распределенных с.в. (Х„Х,) распределена нормально. Методом математической индукции этот результат мотает быть обобщен на случай системы гг нормально распределенных с.в.: линейная функция (9.7Л) системы и нормально распределенных с.в. (Х„Х„..., Х.) с математическими ожиданиями (аг„яг,, ..., вг„), дисперсиями (,," ) г 21 О„аг, ..., Оп) И НОРМИРОВаипай КОРРЕЛЯЦИОПНОй МатРИ- цей ЬГ„Ь распределена нормально (9.7.2) с характеристиками: ту ~ агвгг+ Ъ; а„'= ~2"„а!!а!2+ 2 22 агагтг!о!а1.
>(9.7.3) 1-1 1=1 г<1 Мы показали, что нормальный закон является «устойчивымг по отношению к линейному преобразованию. 382 гл. ». злкопы глспггдглкппя и'пкцпн Обоаначпм сумму квадратов этих случайных величин Х =,'э ХА Ь ! (9.7.4) и найдем закон распределения случайной величины 11', это распределение называетси «у«-распределением». Решение. В задаче 3 п. 9.1 было показано, что плотность распределения квадрата 'г' нормально распределенной случайной величины с и. о., ровным нулю, н дисперсией, равной единице (1' = Х!), имеет эпд: г(у)= е «"/1'2лу (у) О). Характеристическая !)!ункция с.в. г' равна: ОО 6„(1) = М (енг) ) (ен"е "!т/)г 2лу) «(у » "Г ! (! р —,,— — (~Т-и) уыил Устойчивость нормального закона по отноиешпо к линейному преобразованию с значительной море определяет его широкое применение в ння«енерной практике.
Во многих случаях реакция !' технического устройства (ТУ) (нлп снстемы) на входные возмущения (Х„ Х„) может быть описана линейной (или линеаризуемой) функцией, Часто эти возмущения представляют собой нормально распределенные с.в. 11оэтому реакция ТУ на эти возмущения также представляет собой нормально распределенную с.в. В следующей главе будет показан более сильный результат, состоящий в том, что при определенных условиях лннеиная функция (9.7Л) распределена приблизительно нормально, даже если система с.в. (Х„Х,, ..., Х.) имеет не нормальное распределение. Другими словами, реакция ТУ на входные возмущения во многих случаях если не точно, то приближенно представляет собой нормально распределенную с. в. Задача 2.
Распределение т». Пусть имеется п независимых одинаково распределенных нормальных случайных величин Х„Х,, ..., Х„с математическими ожиданиями, равными нул«о и дисперсиями, равными единице: М(Х») = О; О!Х») =п(Х„) = 1 (й =1, 2, ..., л). 97 Функции НОРМ РАОНРеделеннОГО АРГументА 383 Этот интеграл был нами вычислен; он равен (см. (8.9.23) ): 99 (!) — ®'"Д вЂ” ' — !!)'". Очевидно, что 72 = Х 2"А, где У„имеет то же распреде2=1 ление и ту же характеристическую функцию, что и с.в. у.
В соответствии со свойством 3 характеристических функций (см. (8.9.9) ) имеем: 1 ж2 1ж2 „(!)-Пб,„(!)=(9,(!))"=[,-',) Я вЂ” ) . Из этого следует (см. (8.9.23)), что т'-распределение представляет собой гамма-распределение с параметрами )2= (/2 и и(2, где п — число суммируемых квадратов случайных величин, следовательно, плотность распределения с.
в. т' имеет вид: (7/21Ы2 б (у) =",!", р""-" "" (р) Ю). (9.7.3) Пользуясь свойством 2 характеристических функций (см. (8.9.8)), можно показать, что 2 а МЯ=М~~~з~Х[~=71, 0[Д=0~~~Р~ Х2! =2п. 1=! 1=1 (9.7,6) Число и суммируемых квадратов с.в. называ!от числом степеней свободы т'-распределения. т*-распределение широко прнменлотся в математической статистике.
й Задача 3. Закон распределения суммы квадратов независимых одинаково распределенных нормальных с. в., имеювдих пулевые математические о жида н ия. Р е ш е н и е. Пусть Х„Х„..., Մ— нормально распределенные независимые с.в.: п )„»',Х2, (9.7.7) 2=! причем М[Х„[=0; 0[Х2[=о' (к= 1,2, ..., и). гл. з. законы глспгвдглзппя агпкцни Пронормяруем каждую из с.в. Х„деля ее на о: Я„= Х,/о. Очевидно, м[г,) =М[х,/о) =о; С[[2,) =О[Х,/о[=о,оз= 1, Из ранее доказанного следует, что с. з.
У,/о' = г, ~ — ! з=з = ~ Еь будет иметь )['-распределение: У„/о' = т', откуда У„= а'у', т. е. с. в У„представляет собой линейную функцию с. в. )['. В соответствпи с решением задачя 1 п. 9.1 плотность распределения с. в, У„будет (см. (9.1.10) )' 9 0(г~"" (у ~ о). (9.7.З) Числовые характеристики с. в. У„будут М [У,[ = поз и 0[У„) = 2яо4. Закон распределения с.в. У„широко применяется при статистической обработке экспериментальных данных.
й Задача 4. Закон распределения среднего арифметического квадратов независимых одинаково распределенных нормальных с. в., имеющих пулевые математические ожидания и одинаковые ди сп ар с и п. Р е ш е н и е. Случайная величина г„= — ',"~ х,', ь-1 где М [Ха[=0; Р[хь] оз(й 1, 2, ..., и). С.в. Я„представляет собой линейное преобразование с.в. У„(см. (9.7.7) ): Х„= У„/я, 9.7, Фунт(ции нОРм РАОНРеделенного АРГументА 225 следовательно, п.р. случайной величины Я„будет (см.
(9ЛЛО) ): у (у) у (лу) ° я (яу) ~9 с и»!(Уо ) ооГ (и)2) (н(2) н/9-3 н»/(оое) (9 7 10) О" Г (и/2) В соответствии с формулами (8.2.3) и (8.2.3() М[г„]-О'; О[го]=2 ]. ~ Распределение с. в. Я„такрке широко применяется в ста- тистике. Задача 5. Закон распределения корня квадратного из суммы квадратов незави- симых одинаково распределенных нор- мальныхых с. во имеющих пуле вы е и а те ма ти- ческие оя(ндал~я. Р е ш е я не.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
