Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 54
Текст из файла (страница 54)
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ФУНКЦИЙ Мы могли начать с того, что зафиксировать значепие с. в. Х„а яе с.в. Х„поэтому с(р)- ) ( 1 !!*И..)а)а,, (93А! ) (Е(хох )<У) Последние дво формулы можно объедипитьл 6 (у) ) ) ~ (хм х,) !(хт!(хю (9,3.5) (Е(х„х )<у) где область интегрирования на плоскости х,Ох, определяется из условия <р(х„х,) < у. Дифференцируя (9.3.5) по величине у, найдем плотность распределения с.в. т': а(р) = —, ЗП (Р) В случае, если с. в. Х, и Х, независимы, ил плотность 1(х„х,) = 7!(х,) ° (х(х,), и формулы (9.3.3) — (9.3.5) примут вид: ОО аь)-1( 1 !,(*,)х,)!.х,и.,- ~(Е(х,,х,)<ы) ОО !,(,,!Н,,)!,(*~!,, хл.ч ю ) (Ч(х,х )<у) 3 а д а ч а 1.
С и с т е м а с. в. (Х„Х,) и м е е т с о вместпую плотность 1(х„х~). Пай си пло гность распределения из проиаведения: 'т'=Х! . Х,. Решение. Зададимся некоторым значением р и построим на плоскости х,Ох, область, гда гр(х„х,) х, х,< р (ааштрнлован~ая область 0(у) на рнс. 9.3.1), Эта область ограничена двуми гиперболами, аснмптоты которых совпадают с осями координат. По формуло (9.3.5) находим функ!(Ию распределения с,в.
т': а(р) = ) ) 7(х„хх) г)х!г(х, (хт хт<У) (9,3,7) з 3 Фупкггия двух слу'глппык Аггумкнтов 355 Дпффереипяруя зта выра!копие по у, получим плотность распределения с. в. у: а (9.3.8) П р в м е р 1. Случайная точка (Х„ Х,) распределена равномерно в квадрате К со стороной 1 (рис.
9.3.2). Рис. 9.3.2 Рис. 9 33 Найти закон распределения площади У прямоугольника Л со сторонами Х„Х,: У = Х, Х,. р е ш е и п е. Очевидно, что в пашем примере с. в. Х, н Х независимы: ! (х,) = 1 (О < х, < 1); !,(х,) = 1 (О < х, < 1). Область интегрирования (х! х, < у) заштрихована на рнс. 9.3.3. По формуле (9.3.6) получим: С (у) = ~ ~ г!х!с!хз 1 — ~ ~ !!х! 'тт !с х . з! ! !т*!: и! ! ! =- ! — ~ !(х! ~ Их., = — у(! — )пу) (0(у(1). з в~к! Окончательно имеем: 0 при у(0; 6(у) = у(1 — !ну) прн 0(у(1; 1 при у) 1. Дифференцируя это вырангепие по у, получим п. р. !2' ЗЗС ГЛ.
О. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНПЯ ФРН1СЦНИ случайной величины У: у (у) = — 1п у (О ( у ( 1). 3 а д а ч а 2. С и с т е и а с. в. (Х„Х,) и и о е т с о ем е с т и у ю п. р. /(хо х,). Н а й т и п. р. у(у) и х о тношения У Х,/Х,. Решение. Зададимся некоторым значением у н построим на плоскости х,Ох, область Б(у), где 1р(х„хо)= х,/х, (у (заштрихованная область )9(у) на рис.
9.3.4). =у 1 Хо Рос. 9.3.4 Рос. 9.3.3 По формуле (9.3.5) находим функцию распределения случайной величины У: 6(у) = ) ) /(х„хо) 1(х11)хо = (х, х (О) о / ох - 1 (111*,.*ох) х, +1(11(ъ а',) х,. 1111) -х ух 1 о -с Дифференцируя зто выражение по у, найдем п, р. случайной величины У: о оо у (у) ~ х11 (х1 ух1) хх1 + ) х1/(хг ух1) 1(х1. Ео (9.3ЛО) Пример 2. Найти п.р.
отношения Х,/Х, У двух независимых нормально распределенных с. в. Х„Х, с характеристиками ло, = то= 0; о,; оо. Решение. Сперва найдем п.р. случайной величины У ° Уо,/о, =(Х,/о,)/(Х,/о,). Обозначим Х,/а, Х„' Х,/о, Х,. В соответствии с решением примера 2 п. 9,1 с. в. Х, и Хо будут распределены нормально с характе- 9Л СУММА ДВУХ СЛУЧАЯПЫХ ВИЛИ'гИН 33? ристикамн т! = т, 0; о, = о! — 1. По формуле (9.3.10) п.
р. случайной величины У будет определяться пз вы- ражения х'! -„9„.9 Ю 9 х! с .) ~/!я ~/Зя 9 9с 1 2 = (х, у'х'л 3 я(1+ уз)' Следовательно, с. в. У распределена по закону Коши; по формуле (9 1.10) получаом: у(у) 1/([1+ уто!~!о!] (яо9/о!)!в тоже закон Коши. й» . с у!у! П р л и е р 3. Случайная точка (Х„Х,) распределена равноыер-:.' и ': с у ~! но внутри круга Й радиуса г = 1. ,,ЖУ!:. Найти п. р.
случайной величины ф4'х У-Х,~Х,. Решепие. Функция распреРис. 0.3.5 деленна С(у) есть относительная площадь области А) (у) (рнс. 9.3.5): С(у) — ~агсьб у + —.~, 1! л'! откуда !гп 00 У(У) = — ' =,, — тоже закон Коши, я(1+ уз) 9.4. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция двух законов распределения На практике часто возникает надобность находить закон распределения суммы случайных величин.
Пусть имеются система (Х„Х,) двух непрерывных с. в. и их сумма У Х,+Х,. Найдем плотность распределения с. в. У. В соответствии с общим решением предыдущего пункта, находим 358 гл. а. злконы эаспэгделгппя етнкцпп область плоскости х,Охь где х, +х, ~ р (рпс. 9.4Л): Дифференцируя это выражение по у, получим п.р.
случайной величины У = Х, + Х*: я(у) = ~ )(х,; р — х,)Их,. (9.4.2) Так как функция ~р(хо х,)= х, + х, симметрична относительно своих аргументов, то а (р) = ~ ~ (у — х„; х ) Мха. (9 4.3) Ф у' Р Рис. 9.4Л Если с. в. Х, и Х, независимы, то формулы (9.4.2) и (9.4.3) примут вид; я(у) = ~ ~,(х,)~а(у — х,)Их,; (9.4.4) я (у) = ) ~, (у — х,) /а (ха) Ых,. (9.4 .5) В случае, когда складываются независимые с. в. Х, и Х„говорят о композиции законов распределенияя.
Произвести колтозицию двух законов распределения — это значит нанти закон распределеняя суммы двух независимых с. в., распределенных по этим закопан. Для обозначения композиции законов распределения применяется символическая запись а=У!» Ум (9.4.6)' которой по существу обозначаются формулы (9.4.4) нли (9.4.5). Пример Е Рассматривается работа двух технических устройств (ТУ). Сначала работает ТУ,; после его выхода из строя (отказа) включается в работу ТУ,. Времена безотказной работы ТУь ТУа — Х~ н Х, — независимы и распределены по показательным законам о з ! сух!а!л цвзх слу'!ейных вкг!!!'1!!н ззв параметрами Л, в Л,. Следовательно, время У безотказной работы ТУ, состоящего из ТУ, и ТУ„будет определяться по формуле У Х,+Хь Требуется найти и.
р, случайной величины У вЂ” т. е. композицию двух показательных заколов с параметрами Л, и Л,: )! (х) = Л,е ' ' (х, ~ 0); (з(хз) = Л,е ' " (х, ) 0). (9.4.7) Р е ш е и и е. По формуле (9.4 4) получив (у ) 0) о й -ззз Г (хз-з!)з! ' Л!Лз -ззз -лзу ЛЛе ' де ' ' 'г(хг= ' ' (е ' — е ') (у)0). з ! (ОЛ.8) Если находится композиция двух показательных законов с одинаковыми параметрами (Л, Л, Л), то в выражении г9.4!.8) получается неопределенпость типа О/О, раскрывая которую, получим: Ю(р) = Л'уе '" (р > О). )9.4.9)' Сравнивая зто выражение с выражением (6.4.8), убеждаемся в том, что композиция двух одинаковых показательных законов (Л, Л, Л) представляет собой заков Зрлаяга второго порядка (9.4.9). При композиции двух показательных закопов с равличяыми параметрами Л, и Л, получают обобщенный викон Эрланга второго порядка (9.4,8).
~ Задача Е Закон распределеяия разностии двух с. в. Система с. в. (Х„Х,) имеет совместную ш р. 1(хо х!). Найти п. р. их разности Г * Х,— Х,. Решение. Для сястемы с.в. (Х„-Хз) п.р. будет т(хь -хз), т. е. мы равность заменили суммой. Следовательно, и. р. случайной величины У будет иззеть впд (см. (9.4.2), (9.4!.3) ): й(у) =,1 !(х! х! — У) дх! ==,1 Г(хз — у хз) !(хз (9.4 10) зао Гл. а законы Рлспввдвлзнпя Функций Если с. в. Х, п Х, независимы, то О СО а (р) =,~ 1 ( )1 ( — р) (х =,~ 1 ( — у) ~ (и ) (х' > (9.4.1 1) Пример 2. Найти п. р. разности двух независимых показательно распределенных с. в.
с параметрами Л, и Л,. Реш он ие. По формуле (9.4.11) получим д(у) = ~ 1л(х,)1,(хл — у)кх,. Рассмотрим два случая: а) у)0: б -л,т -л,т, — л,(х,-е] Л,Л е й(у)=~Л,е ''е ' ' Лфт,= Л +Л б) у<0: О лу Л) ел "л л Л +Л о На рис. 9.4.2 изображена п. р.
д(у). Если рассматривается разность двух независимых показательно распределенных с. в. с одинаковыми параметрами (Л, = Лл Л), Рвс. 9.4.2 Рве. 9.4.3 то й(у) = Ле миЧ2 — уже знакомый закон Лапласа (рис. 9.4.3). ~ Пример 3. Найти аакон распределения суммы двух независимых с.в. Х, и Х„распределенных по закону Пуассона с параметрами а, и а,. 9,1. СУММА ДВУХ СЛУЧАНКЫХ ВВЛН'ПП1 36! Решение. !!айдем вероятность события (Х, + Х, = = т) (т — О, 1, 2,...). Ц Р(Х, = т — )() Следовательно, с. в. У Х, + Х, распределена по аакопу Пуассона с параметром а(ц а, + а,.
)ь П р и и е р 4. Найти закон распределения суммы двух неаависимых с. в. Х, и Х„распределенных по биномиальным закопан с параметрами и,; р и я,; л соответственно. Решение. Представим с. в. Х, ввиде: Х, =- А,' Х(1), 1=-1 г де Х( — индикатор события А в )-ы опыте: (1) (,) 1 — если в (-и опыте событие А произошло, Х((1)— Π— если в 1-и опыте событие А не произошло. Ряд распределения с, в. Х; ) имеет вид: (1) Аналогичное представление сделаем и для с.в. Х,о о Хо а'.а Х(о) )-1 где Х( — индикатор события А в )чм опыте: \И Следовательно, а а а+а Р - Х, + Х, = Х Х(п + Х Х'," = ~ Х(„')+('), А=1 Р(Х, + Хо т~ = ~ Р(Х, А=О а~ -Д— а -а а -а а! (а( — а)! (а1+а ) щ! аоаа' т! А.! (а1 — а)! А=о (а + а ) -(а +ао) а1! е ззз Гл. к ЗАКОпы РАСПРвдзлГпий Фунищ!я ~де Х„если индикатор события А: пы оп Таким образом, мы показали, что с.
з. У есть сумма (л, + и,) индикаторов события А, откуда следует, что с. в. У распределена по бипомиальиому закону с параметрами (п, + л,), р. Заметим, что если вероятности р в различных сериях опытов различны, то в результате сложения двух независимых с. в., распределенных по бипомиальным законам, получится с. в., распределенная не по бипомиальному закону. й Примеры 3 и 4 легко обобща|отся на произвольное число слагаемых. Прп композиции законов Пуссопа с параметрами а„а„..., а снова получается таков Пуассона с параметром а,„1 а, + а, +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
