Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Совершенно аналогично доказывается неравенство Чебышева н для дискретной случайной величины, имеющей значения х„х„... с вероятностями р„р„...; вместо интегралов в формулах (10Л.4), (10.1.6), (10.1.6") ставятся суммы, распространяемые на те значения х„для которых Ь< — т,! ~ а. Предоставляем читателю проделать эти выкладки самостоятельно. Для смешанной случайной величины Х соответствующие формулы будут содержать как суммы, так и интегралы. Пользуясь неравенством Чебышева '(10Л.2)', оценим сверху вероятность того, что случайная величина Х с любым законом распределения отклонится от своего математического ол«идания не меньше, чем на Зо„, где о„= УР„; полагая в (10.1.2) а = Зо., получим: Р (! Х вЂ” т,)~ ЗО„) (о„'/(Зоа)1 = 119, (10,1.8) то есть для л»обой случайной величины вероятность невыполнения «правила трех сигма» не 'превышает 1/9.
4О2 Гл. 10. пРедельные теоРемы теОРии ВеРОятнОстей Сформулированное правило, вытекающее из неравенства Чебышева и относящееся к любой случайной величине с любым законом распределения, дает пам в первом, грубом приближении «правило трех сигм໠— пользуясь этим правилом, мы никогда не ошибемся больше, чем на 1/9 вероятности. В действительности, для большинства случайных величин, встречагощихся на практике, ошибка «правила трех сигмаэ су1цественно меньше. Рассмотрим несколько примеров на применение неравенства Чебышева при а = Зо„в кав«дом иэ которых сравним точное значение Р(~ Х вЂ” л«„~>Зо„) с его верхней оценкой 1/9.
, Пример 1. Случайная величина Х вЂ” индикатор события А с вероятностью р — имеет два возможных значения: 0 с вероятностью д = 1 — р и 1 с вероятностью р: х: )— («) Мы знаем, что я«. = р; х/, — рд (см. и. 3.3). Вычислим, пользуясь распределением (»), точное значение вероятности Р (3Х вЂ” р~)~3~ рд); нетрудно убедиться, что опо зависит от Того, какова вероятность р: р при р(01; Р~~Х вЂ” р|)3 )/ й) = 0 при 01(р«-09; д при р)0,9, (д=1 — р; й=0,1,2,, л), Действительно, при р = 0,1, ЗУрд= О,З; единственное значение с.в.
Х, отклоняющееся от р =0,1 больше, чем на 0,3, есть 1, а его вероятность равна р; то же будет и при р(0,1. Для больших вероятностеи р~ 0,9 единственным значением с.в. Х, отклоняющимся от р больше, чем на ЗО, будет О, а его вероятность равна д. Из (»») видно, что вероятность события !Х вЂ” р~ > > ЗУр~ не больше, чем р при малых р и не больше, чем 1 — р = д при больших р; значит, она пи при каких условиях не превосходит 0,1, что меньше, чем 1/9, даваемое неравенством Чебышева. При значениях 0(р(0,9 ошибка «правила трех сигмаэ вообще равна нулю.
1Р П р и м е р 2. Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрамн л и р: 10.1. ЗАКОН ВОЛЫПИХ ЧИСЕЛ 403 В этом случае т. пр; ЗО.-ЗУ'руп, Вероятность невыполнения «правила трех сигма» Р ]] Х вЂ” пр ]) 3 ]/пру] = Р (Х ( пр — 3 ]/пру] + + Р]Х) пр+ 3 г'пру] = (ор-»» йро) о Сод"У -"+ 2; СО./1'У"-", »=о »=А г де яр + 3 о/ пру — если это число целое, ')пр + 3 Г' пру1+ 1 — если число пр+3 Упру дробное„ (х] — целая часть числа х. Подсчеты для конкретных значеш«й и и р показыва- ют, что эта вероятпость существенпо меньше 1/9. Пре- доставляем читателю проверить это самостоятельно.
~ Пример 3. Непрерывная с.в. Х распределена рав- номерно на участке от а до Ь: 1/(Ь вЂ” а) при хан(а, Ь), О при хф(а, 6). 1 Перенесем начало отсчета в точку с абсциссой '(а+ 6)/2, то есть отцептрируем с.в. Х; при атом ее м.о. станет равным нулю, а дисперсия не изменится; обоаначим 6 — а=с~О длину участка, на котором распределена о равномерно с. в. Х. Цептрированная с. в. Х распределена равномерно па участке (-с/2; с/2); ее с.
к. о. равно о. с/(2УЗ). Рассмотрим участок О ~ ЗО., вероятность о непопадания точки Х в который требуется найти. Правая его граница О+За. имеет абсциссу Зс/(2УЗ)= УЗС/2; так как УЗС/2> с/2, эта точка лежит за пре- делами участка ( — с/2; е/2) и вероятность попадания пра- вее ее равпа нулю; так же равна нулю вероятность ее попадания левее точки с абсциссой — УЗ С/2. Значит, в случае равномерного распределения «правило трех сиг- ма» действует б е з о ш и б о ч н о; вероятность его невы- полнения равна нулю. ~ П р и м е р 4.
Случайная величина Х распределена по показательному аакону с плотностью /(х) = У.е '" при х) О. Его характеристики: т„= о, = 1/А. 04 ГЛ. !0. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ Отклонение с.в. Х от т„больше, чем на Зо„, возможно только в ббльшую сторону, так как т„— Зо„отрицательно. Вероятность невыполнения «правила трех сигма»: Р(Х)т„+ Зо„) = Р (Х ) 1!) + 3!) ) = Р (Х ) 4Я = 1 — Г (4,!)!), где г'(х) = 1 — ехр ( — Хх) — функция распределения с. в. Х. Отсюда Р(Х) т„+ Зо„) = 1 — (1 — е «М«) = е 'ж 0,0183. Итак: для показательного закона вероятность невыполнения «правила трех сигма» равна 0,0183; зто значительно меньше, чем 1/9 = 0,1111, но все же не пренебрежимо мало. Показательное распределение — одно из наименее благоприятных для применения «празила трех сигм໠— почти в 2«л« случаев зпаченнл с. в.
Х выходят ва пределы интервала т„+Зо.. в П р и м е р 5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами т и о. Вероятность невыполнения «правила трех сигма» Р() Х вЂ” т!) Зо) = = 1 — Р (/ Х вЂ” т / Зо) = 1 — 2Ф (Зо/о) = 1 — 2Ф (3), где Ф(х) — функция Лапласа. По таблице значений функции Лапласа (си. приложение 2) имеем Ф(3) = 0,49865, откуда Р (/ Х вЂ” т ) ) Зо) ж 1 — 2 0,49865 = 0,0027, т.
е. для нормального закона только ничтожная доля значений с.в. (менее 0,3070) выходит за пределы интервала т~ Зо. ~ Исторически «правило трех сигма» возникло именно для случая нормального распределения, где оио выполняется с очень высокой точностью, по при более «либеральных» требования:л к точности его можно прпмепять и к другим случайным величинам, Опыт учит, что для больш!листва случайных величин, встречающихся в инженерной практике, «правило трех сигма» выполняется с довольно высокой вероятностью, и длн того, чтобы ориентировочно представить себе диапазон практически возможных значений с,в., можпо отложить от м. о.
т в ту или другую сторону по Зо. Переходим к рассмотрению различных форм закона больших чисел, Во всех зтих формах утверждается ус- 405 !о.!. Закон БОльших чисел тойчивость средних: прн неограниченном увеличении числа опытов и их средний результат приближается (сходится по вероятности) к некоторому постоянному, неслучайному числу. Термином «сходится по вероятности» мы ун»е пользовались раньше; теперь дадим ему четкое математическое определение.
Пусть имеетсн последовательность случайных величин: Х„Х„..., Х„.. Говорят, что зта последовательность сходится ио вероятности к неслучайной величине а, если при неограниченном увеличении и вероятность события (»Х„ — а) ~ е) (где е ~ 0 — произвольно малое фиксированное число) стремится к единице. Иначе говоря, каковы бы ни были произвольно малые наперед заданные числа е > 0 и 6 ) О, всегда найдется такое большое число»»», что для всех номеров, начиная с»"»» Р(!Մ— а)(е) ) 1 — 6 (и) д»), (10 1.9) Докажем две теоремы, прннадлеи»ащне П.
Л. Чебышеву. 1-я теорема Чебышева (называемая иногда просто «законом больших чисел») состоит в следующем. Пусть имеется с.в. Х с м.о. »и„и дисперсией Р„; над этой с.в. Х производится и независимых опытов, в результате которых она принимает значения «Х„Х», ... ..., Х„(и «экземпляров» случайног. величины Х). Рассматривается среднее арифметическое всех этих апачепий, аависящее от и: )» = — ~~~ Х» 1=1 Случайные величины У«образуют последовательность; первая теорема Чебышева утверждает, что опа сходится по вероятности к мате»»атическому он»иданпю с. в.
Х: (10.1.11) У а «) Знаком — «обоз!»ачепа столнмость по вероптпостп нпог- У Р да прнменнют обозначение †«". о.«с« !ОВ гл. !О. пРедельные теОРемы теОРии ВеРОятпОстея т. е. среднее арифметическое наблюденных в п независимых опытах значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическолгу ожиданию при П -+ Огг, Доказательство 1-й теоремы Чебышева. Найдем м.о. и днсперси!о с.в. У„. По теореме сложепия математических ожиданий но все с.в. Х„Х„..., Х„распределены одинаково и имеют математическое ожидание пг„поэтому ! 'Еч и М (Уи) = — 7 гпк = — т„т„. и " и Вынося из-под знака дисперсии 1/п* и применяя теорему сложения дисперсий для независимых с.
в. Х„Х„..., Хгч найдем: 0 (У ) = — 7, О [Х!) = — =— и г=г из Применяя к с.в. У. неравенство Чебышева, в котором положим а е, где е — сколь угодно малое наперед заданное пологкительное число, получим: Р (( У вЂ” пг„( ) е) ~~ 1г„г(пзе). (10,1.12) Как бы ни мало было е, всегда можно выбрать и таким большим, чтобы правая часть (10.112) стало меньше сколь угодно малого положительного числа 6; поэтому при достаточно большом и Р (! ӄ— т„! ) з) < 6, а вероятность противоположного события РЯ) „— ггг„(<е))1 — 6 (10.1.13) а это, мы знаем, равносильно сходпмостп по вероятности 407 1Ол.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
