Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Но фупкция и(!) стремится к пулго прп 1- 0; следовательпо,1пп а(г/(о )/и)) = 0 и 1!щ1ВО,„(!)= — Тг/2, »»~»» и-» -Р/0 откуда 1!гп 6,„(!) е, а зто есть не что ипое, как характеристичесвая фупкцпя случагшой величины, распределеивой по нормальному закону с параметрами т=О, о 1 (см. (О.ОЛб)). Таким образом, мы доказали цевтральпую предельную теорему для частного случая одппаково распределекпых слагаемых. Другие, более общие (в более слолспые) формы цеитральпой предельной теоремы мы приведем без доказательства. Теорема Ляпунова.
Пусть Х„Х„..., Մ— по- зависимые случайные величипы с математическими ожиданиями т„,, т.„„, ..., и „и дисперсиями Хг,„, /0„, .0„„, причем при и-г- оо »» Е 1 Х / / ( ь' г», ) - 0 (» 0.2.12) 0 где ХА ХА — тА. А. М. Ляпунов доказал, что при и- 00 вакон распределения случайной величины Уь ~»', Х„ А=г неограниченно приближается к нормальному. Смысл условий (10.2Л2) состоит в том, чтобы в сум. ме (10.2,13)' ие было слагаемых, влияние которых па рассеивание суммы подавляюще велико по сравнению с 20 Х ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 419 влиянием всех остальных, а такя4е не должно быть большого числа случайпых слагаемых, влияние которых яа рассеивание суммы исчезающе мало по сравпепию с суимаряым влиянием остальпых. Наиболее общим (необходимым и достаточным) условием справедливости цептральпой предельной теоремы является условие Липдеберзи: для любого т ) 0 и 4, » Нш (1( ~ 1)1~ ~з„) (х — т1)211(х)4)х = О, и 44 \, 1=1 1=1 [х-и4;[)1Р' Т Р1 (10.2.14) где /,(х) — плотность распределения с, в.
Хь т1= М [Х1] (1 = 1, 2, ..., и). Однако пользование условием Липдеберга па практике затрудпительпо, так как нам редко бывают в точности известны закопы распределения случайных величии Х, (1=1, 2,..., и). Исторически первой доказаппой формой центральпой предельной теоремы явилась теорема Лапласа, состоящая в следующем. Если производитсл и независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то при больших и справедливо приблия4еппое равевство: Р [а < (Уи — пр)( ]4' пру ( [)] Ф (р) — Ф (а), (10.2.15) где ӄ— число появлепий события А в п опытах; д = = 1 — р; Ф(х) — функция Лапласа.
Выведем формулу (10.215) как следствие центральной предельпой теоремы для одипаково распределенных слагаемых. «Нормированная» случайная величина Х„= ( ӄ— пр) Иприт, (10.2 16) связанная с У. линейной зависимостью, строго говоря, дискретпа, так Н4е дискретна с. в. У., распределеппая по биномиальпому закону, по при большом и ее зпачения расположены на оси абсцисс так тесло, что можно ее рассматривать как непрерывную, с плотностью распределения [(2). Случайная величина У„имеет бинамиальное распределение с параметрами и, р; ее математическое ожидание М [У„] = пр; ее дисперсия равна 0[У,] = пру. Найдем числовые характеристики случай- и 42О гл.
1к ИРедельные теОРемы теОРий ВеРОятностей ной величины (10.2ЛО) как м. о. и дисперсию липейной функции от с. в. У„. Имеем: М (г.) — (М(У») — пр~! У.„= (пр — пр)(~/.„- О П(г„) =1; О(г.)-1, Таким образом, случайная величина Я. (10.2.16) имеет пе аависящие от и числовые характеристики и = О, О= 1 (потому мы и перешли к с.в. 2„от У,). Учитывая, что У„~~ Хс, где Х< — индикатор собыс 1 тия Л в 1-м опыте, убелсдаемся, что с.в. Я (10.2Л6) есть сумма п независимых одипавово распределенных случайных величин. Применяя центральпую предельную теорему для одвпаково распределенных слагаемых, убеждаемся, что при большом числе опытов и с.
в. Я„имеет распределение, близкое к нормальному, с параметрами пс = 0; О-1, откуда и следует справедливость формулы (10.2Л5). Теорема Лапласа дает возможность приблинсепно находить вероятности значений случайных величин, распределенных по биномиальному закону при больших значениях параметра и; при этом вероятность р пе должна быть ни слишком большой, ни слишком малой. Практически можно судить о возможности замены бипомиального распределения нормальным по тому, выполнены ли при данных и и р условия: пр — 87прд) О; пр+ ЗУпр<7 ( п. (10.2Л7) Если зги условия соблюдены, то мояспо вычислять вероятности Р» = Р (У, — й) как приращение нормальной фушсции распределения па участке от й до й+1: Р» = Р (У„й) ж Г(й+ 1) — Р(й), (10,2Л8) где р(х) — фушсцпя распределения нормального закона: Р(х)=05+ Ф((х — т)/О).
(102Л9) Подставляя в (10.2.19) т=*пр и а Упр<7, получимс Г(х) 0,5+ Ф((х — пр)ГЧпру). (10.2.20) Вычисляя приращение этой функции на участке от й до й + 1, получим: Р„= Ф((й+ 1 ир)Дирц) — Ф((й — пр)lупрц), (10 2.21) 422 гл !О. пРедельные теоРемы теоРЕН веРОятностей Р е ш е н и е. Согласно центральной предельной теореме для одинаково распределенных слагаемых, с. в. Т (10.2.23) будет распределяться приближенно по нормальному закону с параметрами: т= М [Т] = ~а М [Т!] = — "; С)[Т] = ~~~,0[Т!] = з' 1=! о = о [Т] = —.
Л Находим приближенно вероятность (10.2.24): Р(Т) т) 1 — Р(Т (т) = 1 — й'(т), где г'(т) — функция нормального распределения с параметрами а = Уп/Л. и = и/Л; Для нормального закона функция распределения равна: Р(т) = 0,5+ Ф((т — т)/о) = 0,5+ Ф((т — и/Л)/(Уп/Л) )', где Ф(х) — функция Лапласа. Поэтому Р (Т ~ т) = 1 — Р (т) = 0 5 — Ф ((Лт — и)/' ~п).
~ Пример 2. Станок с числовым программным управлением выдает за смену и= 1000 изделий, из которых в среднем 2% дефектных. Найти приближенно вероятность того, что за смену будет изготовлено не менее 970 доброкачественных (недефектпых) изделий, если изделия оказываются доброкачественными независимо друг от друга. Решение. Вероятность р изготовления доброкачественного изделия: р = 0,98, г' — число доброкачественных изделий; число независимых опытов я = 1000.
Проверяем, выполнены ли условия (10.2.17); находим М Щ = пр = 980; а„о[У] = Уирд = 4,43; пр — Зо„= 980 — 13,3 ) 0; пр + Зо„~ 1000. Следовательно, пользоваться нормальным законом можно; применяя теорему Лапласа в форме (10.2.22), !0.2. центРАльнья пгедельнАЛ теоРемА 423 находим: Р(у)970) =Р(970(У(сс)ж0,5 — Ф( ', )ж0,988.
Итак, искомая вероятность достаточно велика (равна 0,988), но всо ясе с вероятностью 0,012 можно ожидать, что число доброкачественных изделий за смену будет меньше, чем 970. й Пример 3. Для условий предыдущего примера определить, на сколько доброкачественных изделий 7 должен быть рассчитан заготовленный для пнх бункер, такой, чтобы вероятность его переполнения за смену не превысила 0,01. Р е ш е н и е. Найдем 7 из условия Ищем такое значение у = 7, прп котором фупкцня распределения случайной величины У, г" (у) = 0,5 + Ф ((у — т„) /о„) = 0,99, то есть Ф((7 — 980)/4,43) = 0,99 — 0,5 = 0,49.
По таблп„з функции Лапласа (см. пряла>><ение 2) находим аргумент, прп котором функция Лапласа равна 0,49; оп прибли>кенпо равен 2,33; отсюда т 2,33; уж 980+ 10,32 = 990. Пример 4. Н1елезнодоро>нный состав состоит из и вагонов; вес каждого вагона в тоннах — случайная величина Х с м. о. т„и с. к. о. о„. Число вагонов п — большое (несколько десятков). Локомотив может везтп вес не больше д (топи); если вес состава больше д (тонн), приходится прицеплять второй локомотив.
Найти вероятность того, что одного локомотива пе хватит для перевозки состава. Решение. Обозначим ~7= ~ Х; вес состава. На $ > основании центральной продольной теоремы при достаточно большом п с.в. >',) распределена приближенно по нормальному закону с параметрами т, = пл4; пч ° = )/Рц у/ по,', )/ по„. аха гл. ю. пккдкльнык тковкмы ткогпп вквоятностгп Искомая вероятность равна единице минус функция распределения случайной величипы Д: Р (() > д) = 1 — [0,5 + Ф ((д — т„иЯ "г' и о„) ].
(10.2. 25) Пример 5. Решить предыдущую задачу, по если состав содержит и, вагонов, л, платформ н л, цистерн; вес Х, вагона имеет математичоское ожидание т, и дисперсию Р,; вес платформы Х, — характеристики ть б„ вес цистерны Х, — характеристики гл„В,. Величины и„ П,; п„Р;, п„П, имеют один и тот же порядок, причем п„и,, и, достаточно волнкп. Р е ш е и и е. По теореме Ляпунова (условия которой выдержаны, так как число и = и, +л, + п„вообще, конечно) можно утверждать, что при достаточно больпюм и вес состава Ч имеет приближенно нормальное распределение с характеристиками 3 з тч ~~.' идиб Вт = ~лз~ и 06 пт = УР.
1=1*" 1=1 Вероятпость того, что одного локомотива пе хватит для перевозки состава, приближенно подсчитывается по формуле Р(()>Д = 0,5 — Ф((д — лг,)!оч). й Пример 6. Показать, что при большом зпаченки а вероятности т'а = Р (Х = к) для с. в. Х, распределенном по закону Пуассона с параметром а, можно приближенно подсчитывать по формуле а" Р (Х = й) = — е ' = Р (й, а) ж ы ж Ф ~ ' ) — Ф ( ' '),. (10.2,26) где Ф(х) — функция Лапласа.
Решение. В примере 3 п. 9.4 мы показали, что распределение Пуассона устойчиво по отношению к операции слон<ения, Поэтому с.в. Х можно представить в виде: Х = ~ч"„Х,, !ех центРАльнАя НРедельнАЯ теоРемА 425 где Х,— независимые, одинаково распределенные с.в., распределенные по закону Пуассона с параметром а!и. С другой стороны, при достаточно большом п с.в. Х по центральной предельной теореме будет иметь приближенно нормальное распределение с параметрами т„= а; аА б„= а.
Следовательно, Р (Х = Й) = — „е ' будет приближенно равна вероятности того, что с.в. Х, распределенная по нормальному закону с параметрами т„= а; Р„ = а, попадет в интервал (й — 0,5; й+ 0,5): Р(Х /) е-а ф( " ) Ф~0 ' ) Эта формула дает вполне удовлетворительный по точности результат при а)20. Из (10.2.26) следует, что ка В(т, а) = ~ Р(й а) Ф( ' ) + 0,5. р (10.2.27) Пример 7. ТУ состоит из большого числа п одинаковых элементов, работающих независимо. Каждый элемент нмеет очень малую вероятпость отказа р.
Пользуясь аппаратом характеристичесних функций, вывести расчетные формулы для определения закопа распределения с. в, Х вЂ” числа отказавших злементов. Решение. Случайная величина Х распределена по бипомиальпому закону с параметрами п и р: Р (Х т) — С,",р" д" Харантеристическая функция с.
в. Х (см. (8.9.12) ) имеет вид: (а+ реа)" =(1-р(1 — еа))". Разложим зту функцию по малому параметру р и ограничимся четырьмя членами: (9 + рем)" ж 1 — пр (1 — еа) + Рааложим также характеристичесную функцию с. в. Х, распределенной по вакопу Пуассона (см. (8.9.13)) с параметром пр (считая его малым): 2 2 0 0 -иг(г-вн) 1 (1 и) + А Р (1 н)0 ~ Р (1 а)0 г~ 426 ГЛ. !0, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Если величина пр мала (ир ( 0,1), то мон0но приближенно считать, что (о + реп)" ж е-"Р(1-'* ) и, следовательно, Р (Х т) = С„р"о" ж ~ е-"Р (10.2.28) Так, при я=10' и р=10-' '(яр=0,1)' имеем т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
