Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Гл. 1. числовые ХАРАктеРистики Так как распределение симметрично относительно м.о., тоБЙ=О. Для вычисления эксцесса находим р,: 00 р, = 2 ) (1~2) хсе А1)х 24, с откуда е„= ~' — 3 = 3, ох т. е. эксцесс распределения поло1кителен, чего и следовало ожидать, исходя из островершннности кривой [(х). ~ Пример 3. Смешанная с.в. О,У5 — — «Е Х имеет функцию распределения, заданную графически на рис. 4.2.5. 1 Значения 1 и 2 имеют отличные о от нуля вероятности: Р (Х = 1) 0,25; Ряс. 4.2.5 Р (Х = 2) 0,25. При х<1 Г"(х)=0; прп х) 2 Г(х)' 1. На участке 1 < х ( 2 Г(х) иаменяется по линейному авиону.
Найти числовые характеристики с. в. Х: М[Х) и 0[Х[. Р е ш е н н е: Проводя прямую череа точки с координатами (1; 0,25) и (2; 0,75), получим Г"(х) х/2 — 0,25. По формуле (4.1.4) для м.о. смешанной с.в., имеем: М[Х) =1 0,25+ 2 0,25+ +) хе'(х)1[х 0,25+ 0>5+ ) — Ох=1,5, 1 1 аа [Х] 11 0,25+ 2'0,25+ + ) хле'(х)Ых 0,25+ 1+ ) —.1[х —... ('ат Н 0 [Х) ае [Х) — (М [Х))1 = 11/4 — (3!2)1 = 0,5; о, У0[Х! = У0,5 ГЛАВА 5 НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ДЛЯ ПРАКТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 5Л. Биномивльное распределение Говорят, что дискретная с.в.
Х имеет биномиолъное распределение, если ее воаможные значения: О, 1, ... „ ., т, ..., и, а соответствующие вероятности: Р Р (Х = т) С„"р"'д"-, (5.1Л) где 0<р<1; д=1-р; т О, 1, ..., и. Распределение (5ЛЛ) зависнт от двух параметров и и р. На практике биномиальное распределение возникает при следующих условиях. Пусть производится и невависимых опытов о), в каждом из которых событие А (условно можно его назвать «успехомэ опыта) появляется с вероятностью р; с.в. Х вЂ” число «успеховэ при и опытах.
Покажем, что с. в. Х имеет биномиальное распределение. Действительно, событие В (Х т) распадается на ряд вариантов, в каждом из которых «успеха достигается в т опытах, а «неуспехэ (событие Л) в и — т опытах. Обозначая «успех» знаком +, а «неуспех» знаком †, запишем один из таких вариантов: В, (е»-.. е — —...-), »"- По правилу умножения вероятностей Р(85) = р (1 — р)" или, обозначая о = 1 — р, Р (85) Р т)" ™. Очевидно, точно такую >ко вероятность будет иметь любой вариант, в котором т «успехов» и (и — т) «не- о) Опыты каэыэаются яввавиримыло, если эерояткость какого-лкбо исхода каждого кэ якх во эаэксвт от того, какао исходц имели другие опыты. 5 Теория иероятнеетеи и ее нниенерные прияонения тзо гл. ь.
дискгетньи случьиные Величины успехов» (++ — — — + — — ++ — +. ° ° — ). «+«в«рвв, «-*(л-всрвв Подсчитаем число таких вариантов. Оно равно С„, т, е. числу способов, какими можно из и опытов вы- брать т «успешных». Отсюда, по правилу сложения, складывая вероятности всех С„ варвантов события В (Х .т), получим Р,в Р (Х и) С„р"у"-, т. е. с.в. Х имеет биномиалькое распределение. В ча- стности, Р, Р(Х 0) Р( — — †...— — ) о", врвв что также вытекает из формулы (5ЛЛ), учитывая, что 1.
Равным образом формула (5.1.1) справедлива и для и и: р„-Р(+++ ... ++)-р -с„"р., п»вв На практике часто приходится вычислять вероятности вне менее ж успехов в я опытах»; будем их обозначать В:  — Р(ХЪ т) Р (Х-и)+Р(Х=т+1)+... +Р (Х и) или В.- ~ С'„р'д -~. (5.1.2) Иногда бывает удобнее вычислять В через вероятность протввоположпого события: Вв«Р (Х ~«в ж) 1 Р (Х ( я»)« В -1- Х С.'р'б--», (5Л,З) Какой из формул (5Л.2), (5Л.З) пользоваться, зависит от того, в какой из них сумма содержит меньше членов.
гл. Бнномньльнон Рьспгнцелиннн 1З~ Найдем важнейшие числовые характеристики с. в. Х, распределенной по биномиальному закову. Для этого напишем ее производящую функцию: л и ф(г) = ~ Р г'" ~ С"„р"'д™г'"; (5Л.4) т=О по мы знаем, что именно так выглядит пя степень би- нома ф( ) =(й+ рг)" (5Л.5) (отсюда и термин «бнномиаль нов распределен и ез). Пользуясь производящей функцией, найдем числовые характеристики с.в.
Х: м. о. н дисперсию. Дифференцируя (5Л.5) по г, имеем: ф'(г) и(д+ рг)" 'р. Полагая адесь г = 1, получим ф'(1)= п(й+ р)" ' ° р и ° 1" ' ° р = ир. Итак, математическое ожидание с. в. Х, распределенной по бнномнальному закону с параметрами и и р, равно ш» = ир. (5Л.6)' Заметим, что получить этот результат непосредственно из ряда распределения беа производящей функции было бы несравненно труднее. Аналогично находим второй начальный момент по формуле (4.2.28): сг, ф (1)+ пг„. Имеем ф" (г) = п(п — 1) (у+ рг)"-*р', ф (1)= и(п — 1) р'. Второй начальный момент а, ф" (1)+ и4 п(п — 1) р'+ ир. '(5Л.7)' Дисперсию с.
в. Х найдем, вычитая нз (5.1.7) т~ п'р'. Р, и (п — 1) р' + пр — п*р' = и'р' — ир'+ пр — п'р' = ° ир — пр' про, Таким образом, дисперсия с.в. Х, имеющей бнномиальное распределение с параметрами и, р, равна Р, про (е 1 — р). (5Л.8) 132 гл, а дискРетные случАйные Величины Иавлекая квадратный корень из дисперсии, полу- чим с. к.
ол о„- уб„- упру. (5.1.9) Итак, для с. в, Х, распределенной по биномиальному закону с параметрами и, р, »и„= ир, 0„= прц, о„= Упро, (5.1ЛО)' Эти выра кения полезно запомнить. П р н м е р 1. Передается п = 5 сообщений по каналу свяаи. Каждое сообщение с вероятностью р = 0,3 неза- висимо от других искал«ается. Случайная величина Х— число искаженных сообщений. Построить ее ряд распре- деления.
Найти ее м.о., дпсперсию н с.к.о. непосред- ственно по ряду распределения и сравнить с теми, кото- рые дают формулы (5ЛЛО). Найти вероятность того, что будет искажено не менее двух сообщений. Решение. с.в. Х вЂ” число искаженных сообщений— распределена по биномиальному закону (под «опытом» рааумеется передача сообщения, а под «успехом» вЂ” его искажение). По формуле (5Л.1) находим: Р«=д» = 07'= 016807' Рд — С«.р.д«5 0,3 0,7'= 0,36015; Р, = С»р«д» = — 0,3 0,7' = 0,30870, 1 2 Р С»~р~й« = 0,13230; Р С,'р«д = 0,02835; Р, р» = 0,00243.
Или, приближенно, с точностью до 0,001: Р, = 0,168; Р, 0,360; Р, 0,309; Р, 0,133; Р, = 0,028; Р, 0,002 (аначение Р, округлено в ббльшую сторону, чтобы сум- ма всех вероятностей Р„была не 0,999, а ровно 1). Приближенно ряд распределения будет иметь вид; Польауясь приближенным рядом распределения, на- ходим и. о. случайной величины Х: и»„= 0 0,168+ 1 0,360+ 2 ° 0,309+ 3 0,133+ + 4 0,028+ 5 . 0,002 = 1,499. аь впкомиАльцое РАспгкдклекия «зз Первая из формул (5.1.10) дает для ж„более точное зпачение: т, = 5 0,3 = 1,5. Имея в виду возможность ошибок, хоть и незначительных, дисперсию )7 вычисляем, пользуясь ве приближенными, а точными звачепиями Р„.
Второй начальный момент а« = 0' 0,16807 + 1' 0,36015 + 2' ° 0,30870 + + 3' 0,13230+ 4' 0,02835+ 5* ° 0,00243 3,30. Вычитая из а«точное зпачелие т'„-2,25, получим Р„ 1,05, что совпадает с результатом, даваемым второй формулой (5.1.10): о. = У1,05 = 1,03. Найдем вероятность г«, того, что будет искажено пе мелев двух сообщепий: Л» Р(Х)2) 1 — Р(Хс 2) =1 (Р»+Рг) ж0,472.
Пример 2. Игральная кость бросается четыре раза. Найти вероятности того, что шестерка появится а) ровно один раз; б) хотя бы один раз. Решение: с.в. Х вЂ” число появлений шестерки— имеет бипомиальцое распределепие с параметрами и = 4; р=1/6. а) Р (Х = Ц = С,'р (1 — р)' = 4 (176) (5!6)з ж 0,386. б) Вероятность В Р (Х ) 1) 1 — Р(Х (1) 1— — Р»= 1 — (576)«ж 1 — 0,483 = 0,517.
й В ряде задач практики приходится иметь дело не с бипомиальиым распределением, а с его обобщением на случай, когда вероятность «успеха» в л независимых опытах пе постоянка, а мепяется от опыта к опыту: в 1-м опыте опа равна р, (1-1, 2, ..., и). Будем называть зто распределепие обобще пи ым бипомиальиым. Производящая функция с. в.
Х, распределеппой по обобщенному бипомиальпому закону, имеет вид: %(х) (Ь+ РА И«+ раз)...(ч„+ р з)' '(5 1.11) Щ ГЛ З ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ или, короче, (5.1.12) где д< 1 — р1. Нетрудно убедиться, что, перемион<ая биномы (5ЛЛ2) и приводя подобные члены с одинаковыми степенями г, мы получим 1Р(г) = ~', Р г'", (5.1.13) где Р„ — сумма всех возмон1ных произведений, в которые входят и букв р, с разными индексами и (и — и) букв д, с разными ипдексамп.
Но точно по такому же алгоритму составляются и коэффициенты при х" в разложении производящей функции (5Л.12) по степеням г. При вычислении вероятностей Р в обобщенном биномиальном распределении часто бывает удобнее яе перебирать все возможные комбинации произведений, а перемножать биномы производящей функции.
Важнейшие числовые характеристики с. в. Х, имеющей обобщенное бипомиальпое распределение, равны: я 3$ т, ~ рб .0„~~д~ р;71. (5.1.14) 1=1 1=1 Формулы (5.1.14) моя1но было бы вывести, исходя из производящей функции (5.1Л 2), по в дальнейшем (и. 8.3) мы получим нх гораздо более простым путем. Пример 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
