Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 18
Текст из файла (страница 18)
й Пример 3. Непрерывная с. в. Х имеет плотность /(х) — а соех при -я/2 <х < я/2. 1) Найти коэффициент а; 2) построить кривую распределения с. в. Х; 3) найти вероятность попадания с. в. Рис. 3.4.11 Рис. 3.4.12 Х на участок от 0 до и/4; 4) найти и построить функцию распределения е (х) с. в. Х. Рещение. 1) Определим коэффициент а ие свойст° О и/и ва (3.4.6) плотпости: ) /(х)ах ) асоехдх 2а 1, Ю -лте отсюда а 1/2. 2) Кривая распределения покааана па рис. 3.411. 3) По формуле (3.4.3) им Р~О<Х<+) ~ ',,(. ~~2., о 4) По формуле '(3.4.4)' находим ф. р.
0 при х<- л/2; е'(х) =* (В(ох+ 1)/2 при — я/2<х <я/2; 1 при х) я/2. График ф, р. дал па рис. 3.4.12. ~ 3.1. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА 1О3 Пример 4. Плотность распределения с, в. Х аадана формулой: е) /( ) - „(1+ ..) ° 1) Построить кривую распределения; 2)' найти вероятность того, что с. в. Х попадет на участок ( — 1, +1).
г (х) — 4-3-2-1 О 1 2 3 4х Ркс. 33.13 Ркс. ЗАА4 Р е ш е н и е. 1) Кривая распределения дана на рис. 3,4АЗ. 1 2) Р( — 1<Х< Ц ) 4)х/[Я(1+ х')) -1 — агс1ях) 1 1/2 1 1 (соответствующая площадь на рис. 3.4АЗ ааштрихована). Ф Пример 5. Вероятность события А аависит от случайной величины Х, распределенной с постоянной плотностью /(х) 1 на участке от 0 до 1 (рис. 3.4.14): /(х)=1 при 0<х<1. Условная вероятность события А прп Х = х равна Р(А)х) х' (0<х<1). Найти полную вероятность события А. Р е ш е н и е. По интегральной формуле полной вероятности (3.4.7) 60 1 Р (А) ~ х'/ (х) дх = ~ хег)х = — ~ х )1 1 3!, 3 ') Так называемый еакен Кешв в престейшек (кавевкческой) форме, 1О4 Гл.
з. случАЙные Величины П ример 6. Линейный размер изделия Ь есть непрерывная случайная величина с плотностью >(х) (рис. 3.4.15). При контроле бракуются все изделия, линейные размеры которых выходят за пределы интервала г!х>,Ф~(х> (1„1,). Найти условную ГА(х> плотность распределения размера Ь' изделия, если известно, что оно при контроле ! не забраковано. Р е ш е н и е. По интеграль!> л ной формуле Бейеса (3.4.9) /А(х) = ~(х) Р(А) х)/Р(А), Рис.
3.4.>5 В результате опыта наблюдено событие А = (изделие не аабраковано) = П! ( Ь ( 1!), !2 Р(А) = ) ! (х) Ал. ! Эта вероятность равна площади, заштрихованной на рнс. 3.4.15. При Ь х(1, Р(А(х) = О. При Ь=лж((о 1,) Р(А(х) =1. При Ь х)1, Р(А)х) = О. Условная плотность 1„(л) при условии, что появилось событие А вне участка ((„Ц равна нулю, а в пределах этою участка равна '(на рис. 3.4А5 условная плотность ~А(х) показана жирной линией; внутри интервала (1„ 1,) ее ординаты пропорциональны ординатам >(х)). $ 3.5. Смешанная случайная величина Помимо дискретных случайных величин, имеющих конечное или счетное множество возможных значений, и непрерывных случайных величин, функция распределения которых непрерывна, существуют (и на практике 3 ь смвшаиная слтчлйпхя величиях $05 довольно часто встречаются) случайные величины, которые называются смешанными.
Это как бы промежуточная разновидность между дискретными и непрерывными случайными величинами. Случайная величина Х называется смешанной, если ее функция распределения Р(х) на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы (скачки) — см. рис. 3.5.1. На участках, где Р(х) непрерывна, вероятность каждого отдельного значения равна нул!о; вероятности тех Пх) значений, где функция Р(л) совершает скачки, отличны от нуля и равны каждая величине соответствующего скачка.
Кроме того, ф. р. Р(х) смешанной с. в, Х должна быть дифференцируема всюду, кроме отдельных точек, где она либо Рзс. 3,53 терпит излом, либо имеет скачок. Общая формула (3.2.2) для вероятности попадания на участок (а, р) Р(а(Х(р) = Р(р) — Р(а) справедлива и для смешанных случайных величин. Как н для дискретных случайных величин, функция Е(х) непрерывна слева (жирные точки на рис.
3.5.1). Приведем ряд примеров смешанных случайных ве- ЛИЧИН. Пример 1. Посад должен прибыть на станцию по расписанию, но иногда, по случайным причинам, задерживается (прибытие раньше назначенного срока исключено). Случайная величина Т— время опоздания поеада— представляет собой смешанную Ро случайную величину. В начале координат ее функция распределения Р(1) имеет скачок, вели- О чина которого равна вероятноРяс, 3.5.2 сти того, что поезд не опоздает Ро Р(Т 0) (рис. 3.5.2). 3» П р и м е р 2. Некоторый прибор испытывается в течение ограниченного времени т.
Случайная величина Т— время безотказной работы прибора. В случае, если прибор некондициоиен, он отказывает мгновенно в момент Гл. 3. слтчлйные Ввличины 4ОВ включения (вероятность этого Р (Т = О) р,). Может окаааться, что прибор проработает безотказно все время испытания т; вероятность этого Р(Т т) р,. Функция распределения Р(г) случайной величины Т имеет два скачка: в точках г =О н г = т (рис. 3.5.3). > Пример 3. Заработок рабочего Я в течение месяца зависит от его выработки У; величина У случайна (будем считать ее непрерывной) и имеет функцию распределения Г,(х).
Заработок рабочего вообще пропорционален его выработке: Я = аУ, но не может быть меньше гарантированного г, и максимального г,. Найти и построить функцию распределения 7, (х) случайной величины Я: г, при х(г,; 2= аУ при г,<х<г,; . г, при х)г, Р е ш е н и е. Случайная величина Я вЂ” смешанная, на участке (г„г,) ее функция распределения непрерывна (3.5Л) О г Рис. 3.5.3 Рзс. 3.5.4 и вероятность каждого значения равна нулю: крайние жо значения г, и г, имеют отличные от нуля вероятности: р Р(Т гг) Р(аУ<гг) Р)(У( — ') Р®; р, Р(Х г) 1 — ГВ Между г, и г, случайная величина Т равна аУ и ее функция распределения )г.(х) Р(Я<х) Р(аУ<х) Р~У< — *) У,® График функции г",(х) показан на рис. 3.5.4.
> В дальнейшем изложении мы встретимся с рядом других примеров смешанных случайных величин. ГЛАВА 4 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАИНЫХ ВЕЛИЧИН 4Л, Роль я назначения числовых характерястпк. Математическое ожидание случайной величины Выше мы познакомились с рядом полных, исчерпывающих характеристик случайных величин — а именно а а к о н о в р а с и р е д е л е н и я.
Кая«дый закон распределения исчерпывающим образом описывает распределение вероятностей и дает возможность вычислять вероятности л ю б ы х с о б ы т и й, связанных со случайной величиной. Универсальным видом закона распределения, пригодным для любой случайной величины — дискретной, непрерывной илн смешанной, является функция распределения Р(х) = Р(Х(х). Кроме этого универсального, существуют еще и частные виды законов распределения: ряд распределения (только для дискретных случайных величин) р« Р(Х х«), 1-1, ..., я, ...
и плотность распределения 1(х) = Р (х) (только для непрерывных случайных величин). Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, указание которой полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако во многих вопросах приктики нет надобности в таком полном описании; зачастую достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, характеризующие существенные черты распределения; например, какое-то с р е д н е е, вокруг которого разбросаны значения случайной величины; какое-то чпсло, характеризующее величину этого разброса (так сказать, «степень случайностиэ случайной величины), и т.
п, Пользуясь юз ГЛ. 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ такими характеристиками, мы хотим существенные особенности случайной величины охарактеризовать сжато и лаконично, с помощью небольшого набора чисел. Эти числа, при»ванные выразить в с>катей форме наиболее существенные черты распределения, называются числовыми характеристикики случайной величины. В теории вероятностей числовые характеристики играют огромную роль. С их помощью существенно облегчается решение многих вадач (многочисленные примеры мы увидим в дальнейшем). Часто удается решить вадачу до конца, вовсе оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками.
Например, когда в аадаче фигурирует большое количество случайных величин, каждая нз которых окааывает известное влияние на численный результат опыта, сравнимое с влиянием каждой иа остальных, то закон распределения етого результата зачастую практически не аависит от законов распределения отдельных случайных величин (во»пинает так называемый «нормальный »акоп», которому в дальнейшем будет уделено много внимания).
В таких случаях для решения задачи, связанной с конечным результатом опыта, н е т н а д о б н о с т и в а н анин »акопов распределения отдельных случ а й н ы х в е л и ч и н: достаточно анать их числовые характеристики. Не преувеличивая, можно сказать, что умение применять теорию вероятностей для решения практических вадач в вначительной мере определяется искусством пользоваться числовыми характеристиками случайных величин, оставляя в стороне ваконы распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
