Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Представвм себе следующую ситуацию. До опыта о его условиях можно было сделать ряд гипотез Н„Н„... ..., Н„несовместных и образующих полную группу: и ~ Н, И; Н~Н, = (г1 («~)). «-1 Вероятности гипотез до опыта (так называемые «априорные вероятности») заданы и равны: а Р(Н1), Р(Н,)...,, Р(Н„); у,' Р(Н~) 1. $ г Теперь предположим, что опыт произведен, и в его результате появалось событне А.
Спрашивается, как нужно пересмотреть зероятпоств гипотез с учетом етого фактау Другими словами, яайтн «апостериорные» вероятности гвпотеа прн условии, что опыт дал результат А: Р(Н,(А); Р(Н,~А); ...; Р(Н„!А). Решен эту задачу, пользуясь правилом умножения н формулой полной вероятности, з,э. теОРемА гипотез (ФОРмулА БенесА) тт Возьмем любую гипотезу Н, и вычислим вероятность произведения Н,А по правилу умножения в двух формах: Р(Н;А) Р(Н~)Р(А~Н~) =Р(А)Р(Н~(А). Теперь отбросим левую часть: Р(Н~) Р(А~Н~) Р(А)Р(Н,~А) (2.6.1) и равделим обе части равенства (2.6.1) на Р(А) (предполагается, что она ке равиа нулю); получим Р (Н» ( А) — (Р(НД Р (А1Н~)]!Р (А). (2.6.2) Наконец, заменим Р(А) его выражением по формуле полной вероятности: Р(Н ~А) (Р(Н;)Р(А~Н~)) ~ Р(Н~)Р(А~Н,) (1= 1,2, ...,Е).
(2.6.3) Формула (2.6.3) называется формулой Бейеса. Она позволяет пересчитывать вероятности гипотев в свете новой информации, состоящей в том, что опыт дэл результат А. Пример 1. Имеется 3 урны; в первой 3 белых шара и 1 черный; во второй — 2 белых шара и 3 черных; в третьей — 3 белых шара. Некто подходит наугад к одной из урп и вынимает из нее 1 шар. Этот шар оказался белым. Найти послеопытные (апостериорные) вероятности того, что шар вынут иэ 1-й, 2-й, З-й урны.
Р е ш е н и е. Гипотезы: П, (выбрана первая урна), Н, (выбрана вторая урна), Н, (выбрапа третья урна). Так как урна выбирается наугад, то априорные вероятности гипотез равны: Р(Н,) - Р(Н,) - Р(Н,) - 1~3. В результате опыта появилось событие А (из выбранной урны вынут белый шар). Условные вероятности события А при гипотезах Н„ Н„н;.
Р(А)Нг)* 3(4; Р(А(Нэ) 2У5; Р(А~На)* 1, /3 ГЛ. 3. ЛКСИОМЛТИКЛ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ Применяя формулу Вейеса (2.6.3), находим апостериорные вероятности гипотез: (1/3) (3/4) 13. (1/3) (3/4) + (1/3) (2/5) + (1/3) 1 43 ' Р(Нз!А) 431 Р(На! 4) 43 ° Р(Н1!А) Таким образом, в свете информации о появлении события А вероятности гипотев изменились: самой вероятной стала гипотеза Н„ наименее вероятной — гипотеза Нз.
~ Пример 2. В партии изделий смешаны изделия трех заводов: № изделий первого, № изделий второго и № изделий третьего завода. Известно, что вероятность дефекта для изделий $-го, 2-го, 3-го завода равна соответственно р» рз, р,. Если изделие дефектно, то оно не проходит испытания. Взято наугад одно изделие из смешанной партии; оно ие прошло испытания. Найти вероятности того, что оно изготовлено а-м, 2-м, 3-м заводом. Решение. А (изделие не прошло испытания), Гипотезыз Н, (изделие изготовлено а-м заводом); Нз (изделие изготовлено 2-м заводом); На (изделие наготовлено 3-м заводом).
Априорные вероятности гипотев1 Р(Н1) Нз/(И + Фз+ /(/а) (1 з, 2, 3). Условные вероятности события А: Р(А!Н,) ры Р(А!Н,) р;, Р(А!Н,) рю По формуле Вейеса апостериорные вероятности гипотез: № /У +К +/Т Рз /т Рз /тзрз /" зрз /уз+ ~з+ ~з /~а+ ~з+ ~а /'з+ /з+ ~з №Рз +, + (1 (,2,3). й «) Заметим, что тан нан гипотезы несовместны н обраауют полную группу, Р (//з ! А) можно было бы не вычислять, в найти по формуле Р(/Гз!А) 1 Р(// !А) Р(// !А) г.з. ткогкма гипотвз <еогмглз вкпвсм 79 Пример 3.
До опыта об его условиях можно было сделать четыре гипотезы: Н„Н„Н„Н, с вероятностями, равными, соответственно, Р (Н») 0»2» Р (Нз) = 0»1» Р (Нз) 0»5» Р (Н») 0»2. В результате опыта появилось событие А, которое невозможно при гипотезах Н», Н, н достоверно при гипотезах Н„Н,. Найти апостериорные вероятности гипотез.
Решение. Р(А(Нд) Р(А~На) 0; Р(А)Нз) =Р(А~На)-1. По формуле Бейеса: Р(Н,) А) Р(Н,~А) = О; Р(Нз ~ А) 0 5/(О 5 + 0»2) 5/7~ Р (Н, ~ А) 2/7. й Пример 4. Расследуются причины авиационной катастрофы, о которых можно сделать четыре гнпотеаы: Н, Н„Н„Н,. Согласно статистикеР(Н») 0,2; Р(Н,) 0,4; Р(Й,) 0,3; Р (Н,)=0,1. Осмотр места катастрофы выявляет, что в ее ходе проиаошло событие А (воспламенение горючего).
Условные вероятности события А при гипотезах Н„Н„Н,, Н„согласно той же статистике, равны: Р(А~НД 0,9~ Р(А~На) О~ Р(А)Нз) 02~ Р (А ~Н,) 0,3. Найти апостериорные вероятности гипотез. Решение. По формуле Бейеса имеем: од в,й х Р( (А) ох о, +оА о+оз ох+од оз 3' Р (Нз ~ А) 0» Р (Нз ( А) 2/9' Р (На ~ А) 1/9 Пример 5. Объект, за которым ведется наблюдение, может быть в одном из двух состояний Н, (функционирует) и Нз (не функционирует). Априорные вероятности этих состояний Р (Нг) 0,7, Р (Й,) 0,3, Имеется два источника информации, которые приносят разноречивые сведения о состоянии объекта; первый источник сообщает, что объект пе функционирует, второй — что функционирует.
Первый источник вообще дает правильные сведения с вероятностью 0,9, а с вероятностью 0,1 — ошибочные. Второй источник менее надежен: он дает правильные сведения с вероятностью 0,7, 00 гл. г. Аксномлтика тиогии Ввгоятностви а с вероятностью 0,3 — ошибочные, На основе анализа донесений найти новые (апостериорные) вероятности гипотез. Решение.
Наблюдено событие А (первый источник сообщил Н„второй Н,). Условные вероятности этого события прн гипотезах Н, и Н, равны: Р (А 1 Н,) Р (первый источник дал неверные сведения, второй — верные) 0,1 0,7 0,07 Р (А ~ Н,) Р (первый источник дал верные сведения, второй — неверные) = 0,9 0,3 0,27. По формуле Вейеса 0,7 0,07 Р(Н,)А) о7 оо7+оз.о,х7 = 0377' Р(Н ~А) 1 — Р(Н,/А)=0,623. Итак, в результате анализа стала значительно более вероятной вторая гипотеза: объект пе функционирует. ~ П р и и е р 6. Испытывается прибор, состоящий из двух узлов: 1 и 2.
Надежности (вероятности безотказной работы ва время т) узлов 1 н 2 известны и равны р, 0,8; р, 0,9. Узлы отказывают независимо друг от друга. Па истечении времени т выяснилось, что прибор неисправен. Найти с учетом этого вероятности гипотез: Н, (неисправен только первый узел); П, (неисправен только второй узел); Нз (неисправны оба узла). Решен па. До опыта возможны были не три, а четыре гипотезы, включая Н, (всправны оба узла). Опыт показал, что имеет место одна из гипотез Н„Н„Н„ причем наблюденное событие А есть сумма зтих гппотев: А =Н, +Н,+ Н,. АприоРные вероятности гипотез: Р(Н,) 0,2 О,Я 0,18; Р(Н,) 0,8 0,1 0,08; Р(Нз) 0.2 Ол1 0 02 Условные вероятности Р(А~ И ) + Р(А~Н )+ Р(А~На) — 1. хе.
'геОРемА гипотез ОФОРмулА БейесА) 8! По формуле Бейеса находим апостериорные вероятности) 0,18 Р(Н, ~ А) 0,18+0,08+0,ох ж 0,643; 0,08 Р (На ~ А) = 0 18 + 0'08 + 0 08 ж 0,286 Р(Н«~ А) 0~071. Пример 7, Два стрелка неаавнсимо друг от друга стреляют по одной и той же мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго — 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что зта пробоина принадлежит пер- вому стрелку «). Решение.
До опыта возможны следующие гипо- тезы: Н, = (ни первый, ни второй стрелки не поеадут), Н, (оба стрелка попадут), На Йервый стрелок попадет, а второй — нет), Н, (первый стрелок не попадет, а второй попадетЕ Априорные вероятности гипотез: Р(Н,) 0,2 0,6 * 0,12; Р(На) 0,8 0,4 ° 0,32; Р(Н,) 0,8 0,6 0,48; Р(Н,) 0,2 0,4 0,08. Условные вероятности наблюденного события А (в мишени одна пробоина) прн этих гипотезах равны: Р(А,~Н,) =0; Р(А~На) 0; Р(А(Н ) 1; Р(А~ Н,) 1, После опыта гипотезы Н, и На становятся невозможными, а апостериорные вероятности гипотез Н, и Н, по формуле Бейеса будут: ОА8.1 б 0,48 1+ 0,08 1 7 ' Р(На) = 1 — Р(На ~ А) 1 — 677 1/7 й» ') Исход (обе пробоквы соепалк) отбрасываем, как вкчтожво маловероятный.
ГЛАВА 3 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗЛ. Понятие случайной величины. Заков распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Возможные значения случайной величины образуют множество Е, которое мы будем вавы- вать множеством возможных значений случайной величины.
Примеры случайных величин. $) Опыт — бросание игральной кости; случайная величина Х вЂ” число выпавших очков. Множество возможных значений: Е = (т, 2, 3, 4, 5, 6). 2) Опыт — бросание трех монет; случайная величина  — частота появления герба; множество возможных г значенвй Е (О, з, з, 1~. 3) Опыт — работа ЭВМ после очередного ремонта; случайная величина Т вЂ” время наработки ЭВМ до первого отказа (сбоя).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
