Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 21
Текст из файла (страница 21)
'(4.2.22) Число 3 вычитается из отношения р,/о' потому, что для весьма распространенного и часто встречающегося Г(х Рис. 4.2.3 нормального распределения (о нем будет идти речь в гл. 6 и далее) отношение р,/о' 3. Для нормального распределения е *0; кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершиппые — отрицательным (рис, 4.2.3), Характери- 122 ГЛ. Ь ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ стикой е„польауются главным образом для симметрячных распределений. Кроме рассмотренных выше начальных и центральных моментов, иногда применяются также абсолютные моменты (начальные и центральные), определяемые формулами: й.-м[[Х[[; Т,=М[~Х~).
Очевидно, абсолютные моменты четных порядков совпадают с ранее введенными моментами а, и д.. Из абсолютных моментов для характеристики рассеивания иногда применяется первый абсолютный центральный момент: О М [[Х[) М[[Х вЂ” т[), (4.2.23) называемый также средним арисбметичеснии отклонением. На практике пользование им не так удобно, как дисперсией (или с.к.о.), так как оперировать с формулами, содержащими знак модуля, пе очень удобно.
Математическое ожидание, начальные и центральные моменты (в частности, дисперсия и с. к. о., асимметрия и эксцесс) — наиболее употребительные числовые характеристики. Во многих задачах практики полная, исчерпывающая характеристика с.в.— закон распределепкя— пли не мох1ет быть получена, или вообще пе нужна. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием с.в.
с помощью числовых характеристик. Часто числовыми характеристиками пользуются для приблин~енной замены одного распределения другим, причем обычно стремятся произвести эту аамену так, чтобы сохранились неизменными несколько зая(нейших моментов. Иа определения м.о. и дисперсии следуют некоторые простейшие и достаточно очевидные свойства этих числовых характеристик. 1) Математическое ожидание неслучайной величины с равно самой величине с: М [с) с.
(Действительно, если с.в. Х имеет только одно значение с с вероятяостью 1, М [с) с 1 с). 2) Дисперсия неслучайной величины с равна нулю: [л[с) = О, ьь момвнты, дпспктсня 3) Прн прибавлении к с.з. Х неслучайной величипы с к ее м. о. прибавляется та же величина: М [Х+ с] =М[Х]+ с (зто свойство достаточно наглядно следует из механической интерпретации м. о. как центра массы).
4) При прибавлении к с. з. Х неслучайной величины с ее дисперсия пе меняется: 0[Х+ с] = 0[Х]. Действительно, при прибавлении к с. в. Х неслучайной величины та же неслучайная величина с прибавляется к ее и.о., а центрированная с.в. не меняется (зто же наглядно следует нз механической интерпретации дисперсии как момента инерции относительного центра массы). В частности, из свойства 4 следует, что при центрировании случайной величины ее дисперсия не меняется. 5) При умножении с.в.
Х на неслучайную величину с на ту же величину с умножается ее м, ол М [сХ] сМ [Х) (зто свойство достаточно наглядно следует из того, что при умноженив на с масштаб по осн Ох также множится на с). 6) При умножении с, в. Х ва неслучайную величину с ее дисперсия множится на с'> 0 [сХ] св0 [Х]. Действительно, каждое значение с.в. множится на с, на то же с множится еа м.о.
и каждое значение цента о рированной с.в. Х; ее квадрат Х' множится на с', на то же с' множится и дисперсия: 0 [сХ] М [с'Х'] с'М [ Ь] с>0 [Х]. 7) Извлекая корень, получим: о [сХ] [с[о ]Х], т. е. и ри ум пожевав с.в. Х на неслучайную величину с ее с.к.о. множатся на модуль втой неслучайной велпчияы.
о24 Гл: о. числОВые хаРАктегистики В п. 3.3 мы ввели в рассмотрение очень важвую к удобную для практических применений с.в. У вЂ” индикатор события. Пусть вероятность события А в данном опыте равна р; вероятность пепоявления А равна д 1 — р. Ряд распределения индикатора события А: : 1 —:! —,'! Найдем важнейшие числовые характеристики индикатора У: м.о., дисперсию и с. к. о. по его ряду распределения; имеем М(Ц-О д+1 р=р. Дисперсию найдем череа второй начальный момент: ,(Ц=(Р д+1 р-р; О(Ц-,(Ц-(М(Ц)ор — Р =рь откуда а(ц = о.
урд. Итак, м. о, индикатора события А равно его вероятности; дисперсия равна произведению вероятности его по я в лен ия ив вероятность ко появления. Это полезно запомнить для дальнейшего. В ряде случаев при определении важпейших числовых характеристик дискретных с.в. может помочь аппарат так называемых проиаводящих фупкцвй. Пусть имеется дискретная с.в. Х, принимающая неотрицательные целочисленные значения О, 1, 2, ..., й,... с вероятностями р„ро ро, ..., ро, ...', ро Р(Х й). Производяоцей функцией для с. в. Х называется функция вида: <р(г) А,' рог", (4.2.24) о о где г — произвольный параметр (О с г < 1). Коэффициенты при г" в производящей функции равпы вероятяостям того, что с.в. Х примет значение Й. В случае, когда число возможных значений Х конечно (й О, 1,..., и), выран<епие (4.2.24) сохраняет силу, так как при Й> и все вероятности р„обращаются в нуль. Очевидно, при г = 1 О ~р(1)- Х ро А О (4.2.25) $25 аг.
момвнты. диспкгсия Возьмем первую производную по х от пропзводяплей функции: ф'(х) й,' йрегь-г э е и яоложим в ией г 1: ф'(1) = ~ йр„ е е а это есть ве чло нное, как и. о. с. в. Х. Игак, мы приолли к выводу: м.о. неотрицательной целочисленной с, в.
равно первой производной ев производящей Яункции ф(*) при г 1: М (Х) еп ф' (1). (4,2.26) Возьмем вторую производную функции ф(х): ф' (г) ~~'.', й (й — 1) р„г"-*, Полагая в ней г 1, получим <Ф ФФ Ю ф" (1) ~ (й' — й) ре ~~у~ йерд — ~ йрю (4 2.27) э е к-е е е Первая вэ двух сумм в выражении (4.2.27) есть ве что иное, как второй начальный момент и, с. в.
Х, вторая— ее м.о. пл; откуда получаем выражение второго начального момента: сс,(Х) а, ф" (1)+ ф'(1), (4.2.28) т. е. второй начальный момент с. в. равен сумме второй производной от производящей функции при х 1 плюс вв м.о, Аналогично, беря третью производную ф (г) ~~.", й(й — 1) (й — 2) реве-э э е и полагая в вей х 1, получим: ф (1) ие — Зсее+ 2пе.
И так далее, что позволяет, в случае надобности, выразить начальные моменты более высокого порядка через моменты более низкого. гл. а числовыв хАРАктвгистнки Рассмотрим ряд примеров на определение числовых характеристик разлпчных с. в. Пример 1. В техническом устройстве работают не- зависимо два блока. Вероятность безотказной работы первого блока равна р, = 0,4, второго р, = 0,7. С. в. Х— число работающих блоков. Найти ее м.о., дисперсию и с. к.
о. Р е ш е н и е. Х вЂ” дискретная случайная величина с тремя значениями: О, 1 и 2. Вероятности этих значений: рь Р(Х О) 016'03=018' Р, Р(Х 2)-0,4 0,7=0,28. Вероятность р, = Р(Х -1) найдем, дополняя до еди- пицы сумму двух других вероятностей: р -1 — (0,18+0,28)-0,54. Ряд распределения с. в. Х: х'1о,~в! о,'за !о,з~. Непосредственно из ряда распределения с.в. Х по- лучим т, 0 0,18+1 0,54+2 ° 0,28=1,1, Тот же результат получим, вводя производящую функцию ~р(з) 0,18+ 0,54з+ 0,28з*, дифференцируя ее <р'(з) 0,54+ 0,56з и полагая з 1: п4 ~р'(1) 1,1 е).
Обратим внимание на то, что п4 р,+р, 0,4+0,7; это не случайно; в дальнейшем (п. 8.3) мы докажем, что и.о. числа появлений события в и независимых опытах, в 1-м из которых вероятность появления событвя равна р~ я (1 1, ..., и)', равно лл5 рн т. е. м.о.
числа появлений $ 1 события е нескольких опытах равно сумме вероятностей еео появления в отдельных опытах. ь) В Лаввом случае провзводящзя фувяцвя сравнительно мало вам помогла; дальше вам встретятся примеры, где ее введение сальво облегчает задачу. 227 4.2. мОменты. Диспктсия Дисперсию с, в. Х найдем, как и выше, через второй начальный момент: аа 0' 0,18+1а 0,54+2* 0,28=1,66; т„' = 1,12 = 1,21; В, = 1,66 - 1,21 = 0,45.
'(Опять-таки пе случайно 0,45 0,4 0,6 + 0,7 0,3 = раа/а + раяаа а/а 1 ра, аг, 1 — р;, в гл. 8 мы докажем это в общем виде.) Навлекая корень из дисперсии, получим о, 70,45 0,67. Рве. 4.2.4 Третий центральный момент с. в. Х вычисляем непосредственно по формуле Рз = ~ (хз — т„)'Р; — (Π— 11)з 018+ (-(1 11)з,054 ( (2 1 1)2.028 015948 Пример 2. Непрерывная с.в, Х распределена по так называемому закону Лапласа (рис. 4.2.4): /(х) Ье-н'. Найти коэффициент Ь, м.
о., дисперсию, с. к. оч асимметрию, эксцесс с. в. Х. Решение. Для нахождения Ь воспользуемся свойством плотности: Оа Фа ) /(х) йх 2Ь ) с-*о(х= 2Ь 1, -аа о откуда Ь = 1/2. Так как функция Ьхс-и' нечетная, то т„) (1/2)хе 1иоах О, Это так >ке следует из симметрии и. р. Дисперсия и с. к. о. равны соответственно: а 00 /7„= ~ (1/2) хзе-Ио/х 2(1/2) ) хае-"дх = 2; аа о о,- У В. = У2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
