Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 8
Текст из файла (страница 8)
2.1А), где элементами множеств являются точки на плоскости; каждая точка фигуры В принадле- е!. сВедения из теогпи множестВ жпт также и фигуре А; ВыА. Объединением (суммой) множеств А и В называется множество С = А + В, состоящее нз всех элементов А и всех элементов В (в том числе и тех, которые принадлея'ат п А и В). Короче: объединение двух множеств — это дай Рыс. 2.1.1 Рыс. 2Л.2 совокупность влсмептов, принадлежащих х о т я б ы о дному пз них.
Объединение множеств А и В часто обозначают А 0 В,. Так как мы будем обычно называть объединение событий их суммой, нам удобнее обозначать эту операцию знаком «+э. Очевидно, что если ВЖА, то А+ +В А. Примеры: 1) (1, 2, ..., 100)+(50, 51, ..., 200) (1, 2, ..., 200); 2) (1, 2, ..., 100)+(1, 2, ..., 1000) (1, 2, ..., 1000); 3) (х'+ у' ( 2) + (х'+ у* < 4) (х'+ +у'<4). Геометрическая иптерпретация объединения двух множеств А и В даяа иа рис.
2.1.2, где А и  — множества точек, входящих соответственно в фигуры А и В. Лпалогнчпо объединению двух множеств определяется объединение (сумма) нескольких множеств, а именно Ал+ Аы+ + Аы-Х А1 1-1 есть множество всех алементов, входящих хотя бы в одно иа множеств Аь А„..., А.. Рассматриваются также объединения бесконечного (счетного) числа множеств, например: (1, 2) + (2, 3) + (3, 4) + ... + ( л — 1, л) + ...— (1, 2, 3, ..., и, . ). 4О гл а аксиом»тика теогни вягоятностеи Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество Р=А В, состоящее пз элементов, входящих одновременно и в А и в В.
Пересечение множеств А и В часто обозначают А 0 В, но мы (опять-такп в целях удобства) будем обозначать эту операцию знаком произведения «» пля «Х», а иногда, как принято в алгебре, и совсем ' опуская этот анак. Очевидно, что если В ж А, то А — В. 8 Примеры: (1, 2, ..., 100) Х Х (50, 51, ..., 200) — (50, 51, ...,100);(1,2,...,100) (1,2,... рве» «3 ..., 50) = (1, 2, ..., 50). 1'еометрн- ческая интерпретация пересечения (произведения) двух множеств А и В дана на рис. 2А.З.
Аналогично определяется пересечение нескольких п множеств; множество А, А, ... ° А„- Ц А«состоит из «=1 элементов, входящих одновременно ао все множества А„А„..., А . Определение распространяется и на бескопечное (счетное) число множеств: ДА; есть множество, «=! состоящее из элементов, входящих одновременно во все множества А„А„..., А.. Операции объединения (сложения) и пересечения (умножения) множеств обладают рядом свойств, аналогичных свойствам обычных сложения и умножения чисел: 1. Переместительное свойство: А+В=В+А; А В=В А. 2.
Сочетательное свойство: (А + В)+ С А + (В+ С); (АВ) С = А (ВС). 3. Распределительное свойство: А (В+С)=АВ+АС, Операции прибавления пустого множества и умножения на пустое множество также аналогичны соответствующим операциям над числами, если счптать нуль за пустое множество: А+И А; А.И=И. 2.2. ЛКСИОЫЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 41 Однако некоторые операции над мнон<ествамп пе имеют аналогов в обычных операциях иад числами; в частности для множеств А+А А; А А=А. Пользуясь вышеиэложеииымп злементарнымп сведеппямп по теории хпшжеств, дадим теоретико-множественную схему построения теории вероятностей и ее аксиоматику.
2.2. Аксиомы теории вероятностей н их следствия. Правило сложения вероятностей В этом пункте мы изловим теоретико-мноя<ественный подход к основным понятиям теория вероятностей н с<1>ормулируем ее аксиомы. Пусть производится некоторый опыт (эксперимент, нспытанпе) со случайным исходом (см.
п. 1.1). Рассмотрим множество Й всех возможных походов опыта; каждый его элемент юый будем называть элементарньиз событиел<, а все множество Й вЂ” пространством элементарны~ событий. Любое событие А в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества П: А — П. Если множество А распадается па несколько непересекающихся подмпом<еств А А, + А, +...
... +А„(А< А>= 8 при <чь!), то будем называть события Ао Аи ..., А„ввариантамиь (>'. П событвя А (на рнс. 2.2.1 событие А распадается на три варианта: А„Аи А>). д Примеры. 1) Опыт — бросание игральной кости; прост- Рас. 2.2Л ранство элементарных событий 12 = (1, 2, 3, 4, 5, 6). Каждое из укаэанных чисел очков — эле><ентарное событие. Событие А = (выпадение четного числа очков) (2, 4, 6); варианты события А: А, (2), А, (4); А,=(6); А =А,+А,+А,. 2) Опыт — выстрел по мишени, представляющей собой круг радиуса т с центром в начале координат (рис. 2.2.2). Элементарное событие е> — попадание в любую точку с координатами (х, р); пространство элемеи- 42 ГЛ.
2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ тарных событкй — вся плоскость 20р. Событие Л = (попадание в мишень) = (х'+ р> ( г) есть подмножество пространства Р: А аз(), Варианты события А: Л, =(попадание з правую половину мишенп); А>=(попадание в левую половину); А, — (л> + у' ( г*; х > О); Л, = (х' + у' ( г', л ( О). 3) Опыт — приход поезда к определенной станции; в расписании стоит время прибытка 2,. Фактически поезд может опоздать (прибытие ейо раньше 2, будем считать 0 йе 2,+Т Рве. 2.2.3 Рис, 2.2.2 практически невозможным), Событие А состоит в том, что поезд опоздает не более чем па т минут. Пространство элементарных событий — половнпа числовой осп 02 (рис. 2.2.3), лежащая правее точки 1, (1 — момент прибытия поезда). Событие А — множество точек на числовой оси, отмеченное штриховкой на рпс.
2.2.3> А (2> < 2 ~ 2»+ т); Л >и (). Варианты события А можно построить, еслп разделить участок от 8. до 2>+т на несколько непересекающихся участков, например, на два: А> — — >(Тз~(~22+ 2 )~ Аз >(>о+ <2» 22+ т)>; А-А, + А. ° Средп событий, являющихся подмножествами множа- стваЯ, можно рассмотреть п самой (ведь каигдое мно>кество есть свое собственное подмножество); оно называется досгоеерныз> событпом (см. определение достоверного события в п. 1.2). Ко всему пространству И алементарных событий добавляется еще п пустое множество 8; 2.2. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 43 это множество тоже рассматривается как событие и нааывается невозможным событием (см.
и. 1.2). Заметим, что элементарные события ю в одном и том же опыте можно задавать по-разному; например, при случайном бросании точки на плоскость положение точки можно задавать как парой декартовых координат (х, у), так и парой полярных (р, ~р). Дадим теоретико-множественное истолкование тем свойствам событий, которые мы рассматривали в и. 1.2. Несколько событий А„А„..., А„образуют полную з группу, если ~ А~ = 1з, т. е. их сумма (объединение) 1=1 есть достоверное событие. Два события А, В называют несовместными, если соответствующие множества не пересекаются, т.
е. АВ = И. Несколько событий А„А„..., А„называются попарно несовместными (или просто несовместными), если появление любого из них исключает появление каждого из остальных: А,А,= Ы (при 1Ф!'). Так как события представляют собой множества, то для них точно так же определяются операции сложения (объединения) и умножения (пересечения), как и для множеств вообще, и сами операции обладают теми же свойствами. Ввиду важности этих операций над событиями дадим их определения: Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, илп обоих событий вместе (см. рис. 2.1.2).
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий. Произведением двух событий А и В называется событие Р, состоя- ~~ф~~'' щее в совместном выполнении собы- фей тия А и события В (рис. 2Л.З). ", ~,"~': . й Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событпй. Рис. 2.2А Противоположным по отношению к событию А называется событие Л, состоящее в пепоявлении А и, значит, дополняющее его до Р (рис.
2.2.4). На основе вышеизложенной трактовки событий как множеств сформулируем аксиомы теории вероят- 44 Гл. 3. АксиомАтикА теОРии вероятностеи настей. Пусть каждому событию А ставится в соответствие некоторое ч и с л о, называемое вероятностью события. Вероятность события А мы будем обозначать Р(А)э).
Так как любое событие есть множество, то вероятность события есть 1)уннг(ия множества. Потребуем, чтобы вероятности событий удовлетворяли следующим аксиомам: 1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей: 0(Р(А)(1. 2. Если А и В несовместные события (АВ 8), то Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (2.2.1) Аксиома (2.2А) легко обобщается (с помощью сочетательного свойства сложения) на любое число событий: ЕСЛИ Аа41 й( Прн гэь), тО Гп 1 и Р ~Я А ) = 2~ Р (А ) (2.2.2) 1=1 1=1 т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Аксиому сложения вероятностей (2.2.2) иногда называют втеоремой сложения» (для опытов, сводящихся к схеме случаев, она может быть доказана), а такяге правилом сложения вероятностей (мы будем предпочтительно польаоваться последним термином) ээ) 3. Если имеется счетное множество несовместных событий А„А», ..., А„, ... (А,А1 И при (чь)), то (2.2.3) Третью аксиому приходится вводить отдельно, так как она не выводится нз второй. Вернемся к понятиям «полная группа событий», «несовместные события», «равновозможныв события», о ко- ») Если событнэ (множэство) обозначается нэ буквой, э его словесным описанием, нлн формуиса, нлн просто перечислением элементов множества, мы будем прн зэппсн вероятности пользоэагьсн нэ круглыми, э фнгурпыын скобками, например р(з (»( 3) ии) Нэпомннн, что частоты сооытпй (и.
ЕЗ) также подчиняются этому правилу. 2.2 АксиОмы теОРии ВеРОятностеи 45 торыя л«ы говорили в п. 1.2 и дадим им теоретико-множественную формулировку. Понятие «несовместные события» мы уже рассмотрели: события Л„А», . „А„несовместны, если А,Л> при гч«1. События А„А„..., А„обраауют полную группу, если ~ч~', А,=й, $» События А„А„..., А„равяовоаа«ожнь», если Р(А,) Р(А,) — ... — Р(Л„). (2.2.5) Если группа событий обладает всеми тремя свойствами — полноты, несовместности и равновозможности, то их называют случаями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
