Anderson-et-al-1 (1185923), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Модели рейнольдсовых напряжений находятся еще в стадии разработки, и пройдет еще некоторое время прежде, чем они будут усовершенствованы и проверены настолько, что станут употребляться в инженерных расчетах. Поскольку более простые модели адекватны в отношении многих типов течений, то модели рейнольдсовых напряжений можно применять в инженерных расчетах в тех случаях, когда сложность задачи этого требует. До сих пор модели рейнольдсовых напряжений не проверены экспериментально для многих типов сложных течений.
$5.5. Уравнения Эйлера В 1904 г. Прандтль обнаружил (см. п. 5.3.1), что при достаточно больших числах Гейнольдса влияние вязкости проявляется только в тонком пограничном слое вблизи твердой поверхности. Как следствие этого расчет в невязкой (и нетеплопроводной) области поля течения можно производить независимо от пограничного слоя. Конечно, так поступать правомерно, только если пограничный слой является тонким по сравнению с характерным размером поля течения, так что можно пренебречь взаимодействием между пограничным слоем и невязкой областью.
Для течений, когда этого делать нельзя, все же можно раздельно решать системы уравнений в двух этих областях поля течения, но осуществлять это следует путем итераций. Итерационная процедура может оказаться неэффективной с точки зрения вычислений, поэтому следует иногда использовать единую 280 Гл. б. Основные уравнения мехаиини жидкости и теплообмеи систему уравнений, справедливую во всем поле течения. Уравнения такого типа будут рассмотрены в гл. 8. В настоящем параграфе мы обсудим систему уравнений, справедливую только в невязкой части поля течения.
Эти уравнения получаются, когда в полных уравнениях Навье — Стокса опускают члены с вязкостью и теплопроводностью. Получающиеся в результате этого уравнения могут быть решены численно (см. гл. 6) с гораздо меньшими затратами машинного времени, чем в случае решения полных уравнений Навье — Стокса. Мы будем называть такие упрощенные уравнения уравнениями Эйлера, хотя, строго говоря, имя Эйлера следовало бы упоминать только в связи с уравнением импульса для течения невязкого газа.
В дополнение к допущению о невязком характере течения будем также предполагать, что подвод тепла извне отсутствует, поэтому член дЯ/д! в уравнении энергии можно опустить. з.бд. Урввиеиие иераврывиости В уравнении неразрывности отсутствуют члены, связанные с вязкостью или теплопередачей, поэтому приведенные в п. 5.1.1 различные формы этого уравнения нельзя упростить для течения невязкой жидкости. Однако если стационарная форма уравнения неразрывности содержит только два члена в выбранной системе координат, то можно вообще не рассматривать уравнение неразрывности, а ввести в рассмотрение так называемую функцию тона ~р.
Так можно поступать независимо от того, рассматриваем ли мы течение вязкой жидкости или невязкой. Например, двумерное стационарное уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости, записанное в декартовой системе координат, имеет вид д (Ри)+ д (Ро)=0. д д (5.151) Если функцию тока определить как д1р ри= —, ду ' дф ра = —— ди ' (5.152) то она будет удовлетворять уравнению неразрывности (5.!51) н нет необходимости решать уравнение неразрывности, а число зависимых переменных уменьшается до одной.
Правда, при такой замене порядок остальных уравнений переменных повышается на единицу. Физический смысл функции тока становится $5.5. Уравнения Эйлера 281 (5.155) и функция тока определяется соотношениями ри= — —, ри= — — —. 1 'дф г дк ' * 'г дг (5.157) Для трехмерных течений вместо уравнения неразрывности мож- но ввести две функции тока. Однако сложность такого подхода делает его менее привлекательным по сравнению с подходом, где уравнение неразрывности записано в исходной форме.
52Ь2. Уравнения количества движения для невявкой жидкости Когда в уравнениях Навье — Стокса (5.!8) опускают члены с вязкостью, то получается уравнение РЧ р — = р1 — рр. Рг (5. 158) Впервые его вывел Эйлер в 1755 г., поэтому оно названо его именем. Если пренебречь массовыми силами и течение считать очевидным, если учесть дф = — йх+ — с(у = — ро дх+ ри се = д1р дф дк ду = рЧ с(А = Ит.
(5.153) Видно, что линии постоянства ф (И~р = О) суть линии, расход через которые равен нулю: г7т = О. Линию тока мы определяем как линию, касательная к которой в любой точке совпадает с направлением вектора скорости в этой точке. Поэтому в нашем случае линии постоянства ф являются линиями тока и разница значений ф на двух любых линиях тока дает массовый расход через кривую, соединяющую две точки на этих линиях тока (отнесенный к расстоянию между ними). Для двумерного течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности в декартовых координатах записывается как — + — =О дк ду (5.154) и функция тока определяется следующим образом: до д$ и= —, о= — —.
ду ' дк ' Для стационарного осесимметричного течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности в цилиндрических координатах (см. п. 5.1.7) выглядит так: — — (три,)+ д (Рик) = О (5.156) 282 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен Пусть эта линия является линией тока. Тогда Ч имеет то же направление, что и с(г, и мы можем упростить подынтегральное выражение в левой части (5.160): (Ч ЧЧ) с(г = )г — с(г = )г — Нг = 'и' с()г = И 1х — ) .
ду ду г ухх дг ' дг ~ 2 3 ' Аналогичным образом упрощается подынтегральное выражение в правой части: ' — УР Ыг=— др Р Р и уравнение (5.160) сводится к уравнению др — + ~ — = сопз1. 2 1 р (5.162) Интеграл в этом выражении можно рассчитать, если течение баротропное.
Жидкость является барогропной, если р — функция только от р (или константа), т. е. р = р(р). Назовем примеры баротропных течений: 1. Стационарное течение несжимаемой жидкости р = сопя(. (5.163) 2. Изэнтропическое (с постоянной энтропией) течение (см. п. 5.5.4) р = (сопз1) рцт. (5.164) Таким образом, для несжимаемой жидкости интегрирование уравнения Эйлера (5.!62) вдоль линии тока дает Р + ~lтр)г = сопз1. (5.165) Это соотношение называется уравнением Бернулли. Для изэнтропического течения сжимаемой жидкости уравнение (5,162) стационарным, то уравнение Эйлера сведется к уравнению Ч ЧЧ= — — Чр.
1 (5.159) Р Его интегрирование вдоль некоторой линии в поле течения дает ~ (Ч УЧ) с(г = — ~ — У р Нг, (5.160) Р где Нг — дифференциал длины пути вдоль этой линии. В декартовых координатах с(г = Ых( + с(у) + ~Ыс. (5.161) 4 5.5. Ураввенвя Эйлера 283 сведется к уравнению — + — — = сопз1, УЯ т Р (5.166) 2 т — 1 р которое называют уравнением бернулли для сжимаемой жид- кости, Отметим, что уравнения (5.165) и (5.166) справедливы только вдоль выбранной линии тока, поскольку константы этих уравнений изменяются от одной линии тока к другой.
Сейчас мы покажем, что уравнения (5.165) и (5.166) спра- ведливы во всей жидкости, если течение безвихревое. Течение является таковым, если жидкие частицы не вращаются вокруг своих осей. При рассмотрении кинематики поля течения (см., например, 10юсхагеК 1964]) завнхреннцсть Ь, которая опреде- ляется в виде (5.167) ь=т ХЧ, и поэтому мы можем выразить Ч через градиент некоторой однозначной функции 41 положения точки, так как у )С Ч = Ч ~( (уф) = О. (5.169) Скаляр хй называется потенциалом скорости. Тогда ускорение жидкой частицы есть (5.170) Это так называемая формула Лагранжа для ускорения. Для бсзвихревого потока и подстановка в уравнение Эйлера дает — + р( — ) — 1 — — Чр.
дЧ Рх 1 (5.! 7! ) Если пренебречь массовыми силами и рассматривать стацио- нарное течение, то уравнение (5.171) можно переписать в виде Р( — ", +~ — ',") =О, (5.172) так как эквивалентна удвоенной угловой скорости вращения жидкой частицы. Таким образом, для бсзвихревого течения ь=т ХЧ=О, (5.168) 284 Гл. б. Основные уравнения механики жидкости и теплообмеп Интегрируя уравнение (5.172) вдоль произвольной линии в поле течения, получаем — + ~ — =сонэ(, г нр 2 р (5.173) причем константа в этом уравнении будет иметь одно и то же значение для всего поля течения, так как уравнение (5.173) интегрировалось вдоль произвольной линии тока.
Уравнения Бернулли для несжимаемой жидкости (5.165) и для сжимаемой жидкости (5.166) непосредственно вытекают из уравнения (5.173) тем же самым способом, как и ранее. Единственное различие состоит в том, что они справедливы всюду в поле течения невязкой жидкости вследствие нашего предположения о безвихревом характере течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
