Anderson-et-al-1 (1185923), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В случае безвихревого течения невязкой несжимаемой жидкости уравнение неразрывности Ч ° Ч= О (5.174) может быть объединено с выражением Ч = Чф, (5.175) которое приводит к уравнению Лапласа Чзф = О. (5.176) Зльа. Различные формы записи уравнения ввергни для невязкой жидкости Для невязкой жидкости уравнение энергии (5.22) запишется в виде — ~ + Ч ° Е,Ч = р$ ° Ч вЂ” 7 ° (рЧ), (5.177) что эквивалентно (РН)+ Ч ° (рНЧ) =р$. Ч + —. (5.178) и из уравнения (5.33) 0л 0р р 01 0т' (5.180) Дополнительные формы уравнения энергии можно получить из уравнения (5.29) р0 +р(Ч'Ч) О (5179) 5 5,5.
Уравнения Эйлера 285 Если мы воспользуемся уравнением неразрывности, то, пренебрегая массовой силой в уравнении (5.178), можем записать ШУ 1 др 111 р д1 ' (5.181) что для стационарного течения сводится к уравнению Ч ° ЧН=О (5.182) где константа остается одной и той же для,всего поля течения в случае изоэнергетического (с постоянной энергией) потока. Для случая несжимаемой жидкости уравнение (5.179) сводится к уравнению 11е — =О, Ш (5.184) что для стационарного течения означает постоянство внутрен- ней энергии вдоль линии тока. 5.5Л.
Дополнительные соотношения В этом параграфе были приведены уравнения сохранения для невязкой жидкости. Можно вывести дополнительные соотношения, которые оказываются полезными в конкретных приложениях. В некоторых случаях ими даже можно пользоваться вместо одного или более уравнений сохранения. Несколько из этих дополнительных уравнений основаны на первом и втором законах термодинамики. Второй закон дает соотношение Т сЬ = Не+ Ра1(1/Р) (5.185) где з — энтропия. Вводя энтальпию Ь = е+ р/р, запишем (5.185) в виде Т сЬ = с% — с(р/р.
(5.186) Это уравнение можно переписать в виде Трз = Чй — —, рр Р поскольку в любой момент времени жидкая частица может менять свое положение относительно соседней жидкой частицы. Комбинируя это уравнение с уравнениями (5.170) и (5.158) и Интегрирование этого уравнения вдоль линии тока дает уя Н = Ь+ — = сопз1, (5.183) 286 Гл. й. Основныс уравнения механики жидкости н тсплооГ>мен пренебрегая массовыми силами, получаем дЧ к ЧЯ и — — 7 Х Г,= Т 7з — Чп — Ч 1к — ), д> 2 )' или — — Ч Х Г>= ТЧз — ЧН.
(5.187) Уравнение (5.187) известно как уравнение Крокко. Оно дает связь между завихренностью и энтропией. Для стационарного течения Ч Х Т,=7Н вЂ” ТЧз. (5.188) Ранее мы показали, что в случае стационарного адиабатического течения невязкого газа (уравнение (5.182)) имеем Ч ЧН = О, что в комбинации с уравнением (5.188) дает Ч 7з = О, так как Ч Х ь нормально к Ч. Таким образом, мы доказали, что в случае стационарного адиабатического течения невязкой и нетепло- проводной жидкости энтропия сохраняется вдоль линии тока.
Такое течение называется изэнгропнческим. Если, кроме того, считать его бсзвихревым и нзоэиергетическим, то из уравнения Крокко следует, что энтропия постоянна всюду во всей области течения. Уравнение (5.185) связывает между собой термодинамические функции, изменения которых определяются исходными и' конечными положениями системы, но не зависят от формы пути, по которым система из исходного состояния переходит в конеч-' ное.
Для изэнтропического течения совершенного газа можно записать Т ~(з = О = с с(Т вЂ” НТ вЂ”, - езр > р или Зр т ЗГ р т — 1 т ' Последнее уравнение может быть проинтегрировано, что дает р Тт т и — — сопз1, что в свою очередь после подстановки уравнения состояния совершенного газа сводится к соотношению р/рт = сопя(. (5.189) Последнее соотношение для изэнтропического течения было использовано ранее для вывода уравнения Бернулли для сжимаемого газа (5.156). Интересно заметить, что проинтегрированное й 5.5. Уравнения Эйлера 587 ! « = ~/ф = ~ —" = 4~кт. «р Р (5.191) 5Л.5. Векторная форма урааненяй Эйлера Уравнения Эйлера для сжимаемого газа в отсутствие массовых сил и внешнего тепловыделения могут быть записаны в декартовых координатах ,'д0- 'ди ди 'дб (5.192) где векторы 13, Е, Г и б задаются выражениями Р ри РО ри Ри +Р рио Рин1 (Е1+ р)и 1 Е Ри Рии РОМ Рш +Р (Е1+р)ш Рио РО +Р РОИ (Е1+ р) О Для стационарного изоэнергетического течения совершенного газа уравнение энергии можно исключить из этой системы, записанной в векторной форме, и пользоваться его алгебраической формой (5.166).
Это уменьшает затраты времени на вычисления, так как приходится решать на одно уравнение в частных производных меньше. 5.5.5. Упрощенные формы урааненнй Эйлера Делая дополнительные предположения, можно упростить уравнения Эйлера. В случае стационарного безвихревого изэнтропического течения уравнения Эйлера могут быть сведены уравнение энергии (5.183) может быть сведено к (5.166), если течение считать изэнтропическим.
Скорость звука задается выражением = ~/Я) (5.190) где индекс з указывает на то, что процесс происходит при постоянной энтропии. Для совершенного газа уравнение (5.190) дает 288 Гл. б. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен к сдинственному уравнению, называемому уравнением для потенциала скорости, которое можно получить таким образом. Уравнение неразрывности в декартовой системе координат можно записать в виде (РФх) + д (РФУ) + д (РФг) (5.193) где компоненты скорости заменяются величинами дф дф дф и= —, о= —, и= —.
дх ' ду ' дг ' Уравнения импульса (и энергии) в предположении, что течение стационарное, изэнтропическое и безвихревое, сводятся к уравнению (5.162). Дифференциальная форма этого уравнения выглядит так: (5.194) Г'х' г Гф +ф +Ф 1 с(р= — р~(~ — )= — рЫ~ " " *). (5.195) 'х2х 2 Комбинация уравнений (5.190) и (5.195) приводит к уравнению (р= — — ', (('"~~,"+ф'), (5.196) которое можно использовать для определения производных от р по всем направлениям. После подстановки р„ру и р, в урав- нение (5.193) и упрощения получаем для потенциала скорости следующее уравнение: — — ф,„— —, ф„, — —, фу, = О.
(5.197) 2фхфу 2фхфг 2фуфг и = 0„+ и', о = о', (5.1981 Заметим, что для несжимаемой жидкости (а-мсо) уравнение для потенциала скорости сводится к уравнению Лапласа. Уравнения Эйлера могут быть упрощены еще в большей степени для случая обтекания тонких тел, размеры которых в поперечном направлении столь малы, что эти тела слабо возмущают набегающий поток. Пример такого типа течения — обтекание тонкого профиля. Анализ такого рода течений выполняется при помощи теории малых возмущений. Чтобы показать, как можно упростить в этом случае уравнение потенциала, считаем, что тонкое тело помещается в двумерный поток.
Тело возмущает однородный поток, и компоненты скорости записываются как $ 5.5. Уравнения Эйлера где штрих обозначает возмущенную скорость. Пусть далее ф'— возмущение потенциала, тогда дф 'дф' (5.199) де ду Подставляя эти выражения, а также (5.191) в уравнение (5.166), получаем аа = аа — т (2и'П + (и')а+ (о')а~, (5.200) что в комбинации с уравнением для потенциала дает (! М)д. +д, =М ~(у+!) — +(~+')(,) + (Ве)а [/а ! дя ое .е и„ду ое о / Поскольку возмущения однородного потока являются малыми, то полагаем, что и'/(/, о'/(/ « 1. Тогда уравнение (5.200) упрощается: а' = аа — (у — 1) и'П, (5.202) и (5.201) принимает вид — (у+1) и М'ф' +ф' =О.
(5.203) ео Л Последнее уравнение называется трансзвуковым уравнением малых возмущений. Тип этого уравнения эллиптический или гиперболический в зависимости от того, каким является течение, дозвуковым или сверхзвуковым, Для течений на до- или сверхзвуковых режимах величина члена Ма (у+ 1)(и'/П ) ф„'„мала по сравнению с (1 — Ма ) ф„'„ и уравнение (5.203) сводится к линейному уравнению Прандтля— Глауэрта (1 — Ма)ф' +ф' =0 (5.204) Зная возмущенную скорость, можно определить коэффициент давления из соотношения 2 ' !О д.
Анлереон н лр. тон 290 Гл 5 Основные трависиия иехаиики жплкпсти и тсплосбнеи которое получено из уравнений (5.!бб), (5.189), (5,198) и на основе теоремы о разло>кении бинома. вд.т. Ударные волны Ударные волны представляют собой область течения в виде тонкого слоя в сверхзвуковом течении, в котором происходят большие изменения параметров потока. Поскольку эти изменения происходят на очень малом расстоянии, вязкость и теплопроводность оказывают доминирующес влияние на структуру ударной волны. Если, однако, структура ударной волны сама по ссбс нас не интересует, то можно считать ес бссконечно тонкой (т. с.
с математической точки зрения ударная волна это — разрыв параметров потока) и для определения изменения параметров потока при переходе через ударную волну использовать уравнения Эйлера. Рассмотрим, например, стационарную прямую ударную волну, фронт которой перпендикулярен направлению потока. Вектор скорости двумерного течения направлен в положительном направлении оси х, и параметры потока перед ударной волной будем обозначать индексом 1, а за ударной волной — индексом 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
