Anderson-et-al-1 (1185923), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Поскольку мы можем получить только нормализованные компоненты вектора !.!, по- ложим 1! = — [1. Тогда 12 1 Аналогичным образом находим Записывая систему (6.13) вдоль характеристик, получим теперь уравнения совместности. Для этого умножим уравнение (6.13) на транспонированный левый собственный вектор: [$.'] [ис, + [А] тки] = О. (6.16) В соответствии с уравнением (6.15) член [1.!]т[А] можно заменить на [1.!]тЛ![1]. Поэтому мы можем переписать уравнение (6.16) в виде [1,'1 [тх!„+ Л!тк„] = О.
Уравнение совместности вдоль Л! получают из соотношения Таким образом, д 1 д — (ри — о) + — — (ри — о) = О. дк ду (6.17а) Уравнение (6.17а) справедливо вдоль положительной, или левой, характеристики. Оно выражает тот факт, что величина (()и — о) остается постоянной вдоль характеристики, отвечающей Аналогичным образом уравнение совместности вдоль правой характеристики записывается в виде — (ри + о) — — — (ри + о) = О. д 1 д дк др (6.17Ь) зю Гл. б, Численные методы решения уравнений течения )и. Это легко показать, считая з расстоянием, измеряемым вдоль характеристики, и записывая д д Нл д др — (Ви — о) = — (би — о) — + — (би — о) — . да дя - Иа др да ' Однако если (6и — о) постоянна вдоль характеристики, то можно записать — фи — о) =О д или — (би — о)+( р ) — (би — о) =О, что есть не что иное, как уравнение (6.17а).
Таким образом, мы приходим к выводу, что ((1и — о) постоянна вдоль характеристики, отвечающей собственному числу Хы а величина (би+ о) М ='т'2 Рис. 6.2. Волнистая стенка в виде одного периода синусоиды. постоянна вдоль характеристики ) т. Величины (ри — о) и (()и+о) называются инвариантами Римана (см. [ОагаЬес(1ап, 1964) ). Так как эти две величины постоянны на распространяющихся в противоположные стороны характеристиках, легко определить и и о в заданной точке. Если величины (ри+ о) и (би — о) известны в некоторой точке (х, у), мы сразу же находим и и о в этой точке. Рассмотрим пример расчета по методу характеристик. Пример 6.1. Однородное сверхзвуковое (М = у'2 ) течение невязкой жидкости в ударной трубе натекает на неровность стенки в виде одного периода синусоиды.
Такая конфигурация изображена на рис. 6.2. Амплитуда синусоиды равна е и е/т'. « «1. Определить возмущенные скорости и и о, используя метод характеристик. й б.2. Метод характеристик з!! Решение. Так как течение по условиям 'задачи отвечает требованиям о малости возмущений, то при решении задачи можно пользоваться уравнением Прандтля — Глауэрта. Итак, будем решать систему уравнений (6.3) для возмущенных компонент скорости и и о.
В этом случае рт =! и система выглядит так: ди до — — — =О, дк ду до ди — — — =0 дх ду с начальными условиями и=О, о=О вдоль х=О, у) 0 и граничными условиями, заданными на стенке (см. $ 6.4): о =2п —,сов(2п — ), О~(х~(1,. Так как задача двумерная и решается в рамках теории малых возмущений, можно перенести граничные условия на плоскость у = О. Это во многом облегчает задачу. Начнем с того, что нарисуем характеристики, берущие свое начало на поверхности задания начальных данных х = О.
На левой характеристике е(уфх= (, и — о=Р=сопз(, тогда как на правой характеристике йу(г!х= — (, и+ о=Я=сопя!. Следовательно, мы определяем и и о в любой точке: и = (Р + Я)/2, о = (Я вЂ” Р)(2. Так как правые характеристики, пересекающие поверхность, ис- ходят из невозмущенного потока, то начальное значсние пере- менной Я равно нулю. Кроме того, Р =-0 для характеристик, исходящих из невозмущенного потока (рис. 6.3).
Рассмотрим характеристики, которые пересекают волнистую стенку. Распространяющаяся вверх, или левая, характеристика приходит в некоторую точку так, что приносит в нее граничное условие с поверхности волнистой стенки, т. е. в некоторой точке х1 мы имеем Я=и+о=О, о=-~-сов(2п+), Следовательно, и = — — ~- соз (2п +), 312 Гл. 6.
Численные методы решения уравнений течения 4ие / х, т Р и — о= — — х-соз(2и — ). У. ~ 6) решение для и и о строится в соответствии с маршевой процедурой по направлению к, исходя из плоскости задания начальных данных. На рис. 6.4 показана сетка с нумерацией узлов 0 1 2 3 4 5 Рис. 6.3. Линия задания начальных Рнс. 6.4. Расчетная сетка, узлы кото данных.
рой являются точками пересечения характеристик. н соответствующие характеристики. Теперь на пересечении характеристик мы можем получить решение. В точке (1,3) Р=О, ь/=О, и=О, о=О. В точке (3, 2) Р= — — соз(2п — ). Я=О, 4ме / х, Х /а ~ 6)' и = — —, соз (2п — '), о = — ие соз (2п+) . Таким образом, мы получили решение во всей интересующей нас области. Оно может быть проверено непосредственным решением уравнения Прандтля — Глаузрта для потенциала скорости, по которому затем находят и и о. 6.2.2.
Нелинейные системы До сих пор мы рассматривали систему из двух линейных уравнений, которая была выбрана ради простоты. В более сложных нелинейных задачах решение получают уже не так легко. й 3.2. Метод характеристик 313 — + !А! — =О, дк др (6.!8) где 0 ис = Р р о р 2 иа ри — а2 — (и' — а') и риа' — роа' — Р0 е и (и2 а2) и ри Начальные условия ! заданы и записываются в виде иг(0, р)=1(у), 0(у(й. Граничные условия для нашей задачи имеют вид 0 (х, 0) = О, и (х, Ь) = и, 0 (х, Ь) = 0„, Р (х, л) = р„, р (х, Л) = р . Собственные значения матрицы [А] определяют характеристические направления и должны быть найдены в первую В общем случае наклон характеристик уже не постоянный, а меняется в соответствии с изменением свойств жидкости.
Входящие в систему уравнения могут быть неоднородными. Ясно, что в этом случае уравнения совместности уже невозможно проинтегрировать в аналитическом виде вдоль характеристик. В общем случае нелинейной задачи как уравнения совместности, так и уравнения характеристик приходится решать численно, чтобы получить полную картину течения.
При этом неизвестны не только параметры потока, но также и положения характеристик должны определяться путем численного решения. Чтобы показать различия в применении метода характеристик в случае линейной и нелинейной задач, рассмотрим двумерное сверхзвуковое течение совершенного газа на плоской пластине. Для простоты выберем прямоугольную систему координат и запишем уравнения Эйлера в матричной форме (см. гл.б) 314 Гл О Числе««««ые иетолы решения ураииеиий теяеиия очередь.
Находим Л, = о/и, 3= и — аз Лз о/и (6.19а) ио — а З/из + оз — аз Лз из а Выпишем матрицу, составленную из левых собственных векторов, отвечающих данным собственным значениям Л: 0 1 ри аз 1«о аз 1 0 ри 1 ро и 1 (Т) (6.19Ь) 1 — 0 роа 1 — О роа о 1/и'+о' — а' и 1 Умножая исходную систему (6.18) на [Т]-«, получаем соотношения совместности. Эти соотношения задаются в виде «ги «зо р «гр — о — +и — + — — =0 «Гзз «Гзз р ««аз (6.20) вдоль «(у/«1х = Лз и йи «зо В «гр о — — и — + — — =0 «1а««Й«1« «гз« (6.21) вдоль «(у/«тх = Л4.
В этих выражениях 6 = з/М вЂ” 1, М = " + о «« '; «гх из — аз Начиная с поверхности, на которой заданы начальные условия, это выражение можно проинтегрировать и получить последую- Уравнение (6.20) является обыкновенным дифференциальным уравнением, которое удовлетворяется вдоль характеристики с наклоном Лз.
Длина дуги вдоль этой характеристики обозначена через зз. Смысл выражения (6.21) аналогичен. В противоположность рассмотренному ранее примеру решения линейного уравнения Прандтля — Глауэрта аналитическое решение для характеристик в общем случае нелинейной задачи неизвестно. Ясно, что мы должны определять форму характеристик путем пошагового численного интегрирования. Рассмотрим характеристику, определяемую Лз« 316 й 62, Метод характеристик щую точку на кривой.
Одновременно с этим можно проинтегрировать дифференциальное уравнение, определяющее другую характеристику волнового фронта. Интегрируя простое дифференциальное уравнение первого порядка, получаем два уравнения для определения волнового фронта характеристик. По ним находят координаты точки их пересечения (точка А на рис.
6.5). Зная положение точки А, интегрируем уравнения совместности (6.20) и (6.21) вдоль характеристик, проходящих через эту точку. Это дает систему уравнений для неизвестных в точке А. Безусловно, требуются дополнительные соотношения для замыкания задачи, которые можно получить, интегрируя уравнения У Рис.
6.6. Характеристики в точке, где оиределяется решение. совместности вдоль линий тока илн используя другие уравнения, связывающие неизвестные в точке А. Применяя эту процедуру, можно в первом приближении определить положение точки А и параметры потока в ней. Эта оценка обычно используется на первом шаге схемы предикторкорректор при решении системы гиперболических уравнений в частных производных методом характеристик. На шаге корректор новое положение точки В пересечения характеристик можно рассчитать уже с учетом нелинейной природы характеристических кривых.
Аналогично рассчитываются значения завнсимых переменных в точкс В. Нахождение решения в точке В представляет собой интересную задачу. Поскольку задача нелинейная, окончательное положение точки пересечения В вовсе необязательно имеет одну и ту же координату х для всех точек решения.
Поэтому решение обычно интерполируется на поверхность х= сопз(, прежде чем переходят к следующему шагу интегрирования. Это ведет к усложнению логики при кодировании программы вычислений. 316 Гл. 6, Численные методы решения уравнений течения Проблемы интегрирования уравнений совместности и постановки граничных условий как на проницаемых, так и на непроницаемых поверхностях будут обсуждаться в следующем параграфе. Следует отчетливо представлять, что граничное условие типа стенки является итеративным в том смысле, что мы пытаемся удовлетворить конкретному граничному условию в точке на поверхности, координата х которой нам изначально неизвестна.
Рассмотренную в этом разделе задачу в настоящее время можно решать при помощи характеристик гораздо более простым методом (см. 9 6.4). Основной причиной вышеприведенного обсуждения было показать идеи, лежащие в основе численных расчетов уравнений движения с использованием методов характеристик, и присущие этим методам трудности. Имеется обширная библиография (10ччсзаге(с, 1964; Б)тар(го, 1953; Соцгап1, Рг(ес)г!с)тз, !948)), в которой метод характеристик описан более подробно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
