Anderson-et-al-1 (1185923), страница 59
Текст из файла (страница 59)
В этом случае предпочитают сводить многомерную задачу к последовательности одномерных. Это можно сделать, применяя метод дробных шагов ['т"апепко, 1971] или метод приближенной факторизации [Реасетап, ЯасИогб, 1955; 1)опд!аз, 1955]. Уравнение (6.45) можно записать в приближенно факторизованном виде ([1]+ — ~ [А) ]],[3]+ — л [В]") 13"+'=-([1]+ 2 л [А[") Х Х [[3]+ 2 л [В]") 13" — от(л + — 3 . (6.46) Это выражение отличается от исходного уравнения (6.45) на член порядка (М)я, и формально точность нашего неявного алгоритма остается второго порядка. Эта факторизованная схема может быть представлена как последовательность схем по переменным (чередующимся) направлениям ([3]+ — — [А]') 13' = Правая часть уравнения (6.46), ([3]+ —, —,„[В]") 13"" = 13'.
Ы д я а+1 (6.47) Если использовать дельта-форму, введенную в гл. 4, получается более простой алгоритм. Так как в обеих частях уравнения (6.46) стоят одинаковые операторы, то М3» = 1Р+' — 1Р, отсюда ],[3]+ 2 л [А]")],[3]+ 2 л [В]")Ь13"= (6,48) й 6.3. Методы сквозного счета 327 И опять это уравнение можно заменить последовательностью более простых уравнений по переменным направлениям 0 ) + 2 дх [ ) ) ( дх + д ) ([1] + — — [В]") ЛЦ" = ДЦ'. Решение этой системы нетривиально. Если пространственные производные аппроксимируются центральными разностями, то на каждом проходе по направлениям х и у требуется решать блочную трехдиагональную систему уравнений.
Каждый блок имеет размер гл Х т, где лт — размерность неизвестной вектор-функции Ц (см. приложение В). Представленный здесь неявный алгоритм использует неявную центрированную по времени схему. Для построения семейства неявных алгоритмов различной точности можно использовать дискретизацию по времени общего вида [Юагщ(пд, Веат, 1979).
Этот вопрос обсуждается в гл. 8. Там же приводятся дополнительные соображения о необходимости добавления искусственного демпфирования в связи с применением недиссипативных схем. Стегер и Уорминг [8(едег, Юагщ(пй, 1979] разработали неявный алгоритм, в котором производится расщепление векторов Е и Р. Несмотря иа то что точное расщепление может быть выполнено несколькими способами, обычно оно проводится в соответствии со знаками собственных значений системы, как это делается, например, в методе расщепления коэффициентов матриц (см. 9 6А). Чтобы показать идею расщепления, рассмотрим одномерную систему гиперболических уравнений в частных производных дО дв — + — = О.
д~ дх Эту систему можно переписать в виде — +[А] — =О, дп дБ (6,50) где [А] есть матрица Якоби дЕ/дЦ. Эта система гиперболическая, если существует преобразование подобия, такое, что [Т) ' [А] [Т] = [к], (6.51) где [Ц вЂ” диагональная матрица из собственных значений [А], а [Т]-' — матрица, строки которой есть левые собственные векторы матрицы [А], взятые по порядку. Теперь векторы потоков 32В Гл. б, Численные методы решения уравнений течения и определим так что Е=Е +Е, Е+=[А]+б, Е =[А] О.
(6.57) (6.58) Исходное уравнение в дивергентной форме записывается в обо. значениях с расщепленными потоками в виде дп дЕ дŠ— + — + — =О, де дк дк (6.59) знак плюс показывает, что должна быть использована разность назад, а знак минус — разность вперед. Расщепление потоков можно применять как в явных, так и неявных алгоритмах. Например, схему второго порядка с раз- ностями вверх по потоку можно записать [багги(пд, Веат, 1975] так: 0~+' = 0~ — — (7Еу+ + ЛЕ~ ), цн+! 1 [ л+ л+! И (72Ечи+ 7Е+нм Г) + ак + ~„(Л Е7" — ЛЕ! "+ ))~ (6.60) (Е и Г в уравнении (6.42)) обладают интересным свойством: Е = [А],е1.
(6.52) Это можно проверить простым перемножением указанных матриц. Согласно Стегеру и Уормингу, если уравнение состояния имеет форму Р=РГ(е), (6.53) где е — внутренняя энергия, то вектор потока Е(11) является однородной функцией 11 первой степени, откуда следует Е (а0) = аЕ (11) (6.54) для любого а. Мы можем воспользоваться этим свойством, а также тем фактом, что система гиперболическая для представления потока в расщепленном виде. Комбинируя (6.51) и (6.52), вектор Е можно записать в виде Е=[А] 11 =[Т] [Х][Т] ' 11. (6.55) Матрица собственных значений разделяется на две; причем одна состоит только из положительных элементов, а другая — только из отрицательных.
Запишем [А] = [А]~ + [А] = [Т] [Х+] [Т] + [Т][Л ] [Т] ' (6.56) й 6.3. Методы сквозного счета Нетрудно построить неявный центрированный по времени алго- ритм с расщеплением потоков на основе (Я+ ~~ (7[Аг]++А[Аг] )~Абг= — ~ [7Е++ЛЕ 1. (6.61) Он имеет первый порядок точности по пространственной координате и второй по времени. Точность по пространственной координате можно улучшить простым увеличением порядка аппроксимации пространственных дифференциальных операторов.
Зачастую интерес представляет только стационарное решение. В этом случае правая часть может быть модифицирована, чтобы получить второй порядок аппроксимации по пространству при выходе на стационарное решение без изменения блочной трех- диагональной структуры левой части.
Интересно отметить, что левую часть уравнения (6.61) можно приближенно представить в виде произведения двух операторов (факторизовать): (Р]+ —,",, У [А,]') ([(]+ —,",„Л [А,] '] Ли,"= = Правая часть уравнения (6.61). (6.62) Это позволяет реализовать алгоритм в видс следующей последовательности: ([1]+ ~~„7 [Аг]+) М)г= Правая часть уравнения '(6.6!), (6.
63) [ [1]+ —,",„Л [А,Г) Ли," =Ли;. При использовании уравнений (6.63) каждый проход в одномерной задаче требует решения двух блочных двухдиагональных систем. Исходная система (6.61) требует решения одной блочной трехднагональной системы на каждом шаге по времени. Важно отметить, что более экономичные вычисления, которые, как ожидается, имеют место при использовании уравнений (6.63), можно реализовать не для всех задач. Обычно главное преимущество, связанное с применением расщепленных форм с двух- диагональными системами, проявляется при решении многомерных задач. Расщепление потоков в методах сквозного счета дает нссколько более лучшие результаты, нежели обычные схемы с цен.
тральными разностями, но трудности все же остаются и здесь. При использовании расщепления потоков ударные волны хорошо прорабатываются, н результаты, получающиеся при этом, согласуются с теми, которые дают лучшие методы сквозного ззо Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения счета. Результаты расчета с расщеплением потоков могут оказаться не так хороши, когда встречается звуковая линия.
Небольшие осцилляции происходят при пересечении звуковой линии, потому что расщепление зависит от собственных значений. Потоковые члены имеют разрывы первых производных при изменении знака собственных значений. Стегер [Яедег, 198Ц получил хорошие результаты, когда переопределил собственные значения в виде 2 е Л ~ ч/Л~+ е~ (6.64) где е — коэффициент, введенный для обеспечения гладкости, когда Л меняет знак. Наше обсуждение методов сквозного счета было сосредоточено на маршевых задачах как по времени, так и по пространству. Решение маршевых по времени задач может иметь своей целью или определение некоторого переходного процесса, или расчет установившегося течения как асимптотического по времени предела зависящей от времени задачи.
В последнем случае временной предел может рассматриваться как релаксационный процесс по отношению к уравнениям Эйлера с включенной в них переменной времени, чтобы указать физическое направление релаксации. Истинные релаксационные процедуры не являются асимптотическими по времени, а основаны на релаксировании стационарных уравнений с целью получения решения для данного течения. Релаксационные методы решения уравненийЭйлера рассматривались в работах [81еаег, !981; 1оЬпзоп, 1980[. Стегер поль-, зовался представлением уравнений Эйлера с расщепленными потоками и обычной релаксационной схемой для получения окончательного решения. Джонсон использовал новый подход, который он назвал методом замещением уравнений.
В его схеме записанные в дивергентной форме уравнения Эйлера встраиваются в систему более высокого порядка и решение уравнений Эйлера будет одним из частных случаев решения этой системы. Недостаток этого метода заключается в том, что приходится решать систему более высокого порядка, чем исходная система. Сейчас обратимся к постановке граничных условий в методах сквозного счета. Отмечалось [Моге111, 1969], что корректная постановка граничных условий является делом непростым.
Некорректные условия на твердой стенке могут привести к локально искаженным результатам, а во многих случаях даже разрушить решение. Гиперболические уравнения особенно чувствительны к граничным условиям. По причине их волновой природы ошибки в задании граничных условий распространяют- ЗЗ1 з 6.3. Методы сквоанога счета ся по сетке с отражениями, и в результате может возникнуть неустойчивость. Ранее мы разъяснили простую идею постановки граничных условий. Обсудим еще три процедуры постановки граничных условий: 1) отражение; 2) метод Аббетта (стационарные сверхзвуковые течения); 3) метод Кенцера.
Идея отражения является, по-видимому, старейшей схемой при постановке граничных условий на твердой поверхности для течений невязкой жидкости. Она не имеет четкого обоснования и является до некоторой степени лишь приближением. Запрещен поток массы по нормали через твердую границу. ,) =з ° ° ° 1 = 1 ° ° е е ° ° ° Подслой Рис.
6.11. Фиктивные точки в подслое 1 = 1, необходимые для постановки граничных условий типа отражения. Для реализации граничного условия по методу отражения узлы сетки размещаются таким образом, что поверхность тела совпадает со вторым слоем, а первый слой узлов размещен внутри тела. Чтобы понять основную идею отражения, предположим, что мы решаем задачу о стационарном двумерном сверхзвуковом течении путем интегрирования уравнений движения. Как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
