Anderson-et-al-1 (1185923), страница 63
Текст из файла (страница 63)
На рис. 6.17 показаны обозначения и ориентация ударной волны в физическом пространстве. В соответствии с уже обсуждавшейся процедурой постановки граничных условий информацию на ударную волну из внутренней области приносит только одна характеристика. Пусть это будет характеристика Хо а соответствующее уравнение совместности имеет вид 4 84,(ш„+ Хеи!я+ к!) = О, ! ! 6 6аи Метод расщепления матричных коэффициентов 349 Поскольку ударная волна является одной из границ нашей области, можно записать ди! да! др дт др дт ' (6. 124) Иными словами, мы явным образом включили зависимость переменных ш! от давления. Производные дп!!/др можно найти из Рис. 6Л7. Геометрия ударной волны.
уравнения (6.122). Если подставить уравнение (6.124) в (6.123), то получим зависимость для изменения давления во времени 4 дт Ла и др Х (6.125) а=! Производные и!и аппроксимируются разностями назад, что вполне согласуется с тем, что информация приносится вдоль положительной характеристики. Уравнение (6.125) позволяет вычислить рь после чего производные по времени от других переменных можно выразить из уравнения (6.124).
Далее зти выражения интегрируются, в результате получаются новые значения зависимых переменных. Положение ударной волны уточняется путем интегрирования известной скорости ударной волны. Моретти [Моге(11, 1974; 1975) предпочитает принимать в качестве зависимой переменной скорость ударной волны У,. Такой подход легко можно рассмотреть в рамках настоящего анализа. Прежняя зависимость для переменных во задаваемая 86О Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения уравнением (6.124), заменяется соотношением дш дш дрз дт дуз дт где дш!/дУ, мы опять вычисляем из соотношений Гюгонио— рэнкина. Подстановка этих выражений в уравнение совместно- 1.5 1.гг (6.126) 1.2 1,0 0.9 0.8 9 0.7 0.6 0.5 0А О. 0.2 0.1 0.0 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Рис.
6.18. Сфера в сверхзвуковом потоке сМ = 2.94; — [Яа1аз, 1979); О метод расщепления матричных коэффициентов [Сьакгачаг1Ьу е1 а!., 1980). (6.127) сти дает уравнение, решая которое, можно определить ускорение ударной волны д1' т-з дш дт ~ 4» Д» ~ 4! ( Ф~гч + а!)' ! 1 г-! Зная ускорение ударной волны, скорость и положение ее находят интегрированием по времени. Новые значения зависимых переменных вычисляют из соотношений Гюгонио — Рэнкина по новым значениям скорости ударной волны. Де Ниф и Моретти 1Гэе Нее[, МогеШ, 1980] предложили другой подход к выделению скачка, который назвали методом с последующей коррекцией. В этом методе ударная волна рассмат- 6 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов 361 ривается как граница в течении и уравнения движения интегрируются за ударной волной при помощи соответствующих разностей.
Это дает набор значений зависимых переменных, полученных интегрированием уравнений Эйлера, приносящих информацию изнутри области. После чего по соотношениям Гюгонно— 12 12 10 8 8 0 Рэнкина вычисляют значения этих переменных за ударной'волной. Де Ниф и Моретти показали, что изменение скорости ударной волны связано с разницей в решениях для значений зависимых переменных, полученных при помощи двух указанных наборов значений. Как только изменение скорости ударной волны найдено, определяют новое значение скорости ударной волны и рассчитывают новое ее положение. В заключение этого раздела, посвященного рассмотрению метода расщепления матричных коэффициентов, на рис.
6.[8— 0 10 20 30 40 50 60 ТО В,арпд Рис. 6.19. Распределение давления на сфере при М = 2.94; — [Яа!аз, 19791 О метод расщепления матричных коэффициентов [Спакгачагйгу е! а!., 19801 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ю Рис. 6.20. Положение ударной волны и звуковой линии для конуса с углом при вершине 60' и цилиндрической кормовой частью, М = 1.81; О [ЧАБА Т!Ч-2000, — метод расщепления матричных коэффициентов [Спакгачаг!пу е1 а!,, !980Ь 362 Гл.
6. Численные методы решения уравнений течения 6.20 приведены два примера расчета обтекания. На рис. 6.18 показана типичная форма головной ударной волны при обтекании сферы при числе Маха набегающего потока 2.94, а на рис. 6.19— распределение давления, причем на нем же приведены результаты расчетов работы [Ьа!аз, 1979]. На рис.
6.20 представлены ударная волна и звуковые линии при обтекании конуса с углом при вершине 60' с цилиндрической хвостовой частью при числе Маха набегающего потока 1.81. Эти решения были получены методом расщепления матричных коэффициентов, при этом головная ударная волна трактовалась как разрыв. Из методов, пригодных для решения уравнений Эйлера, записанных в недивергентной форме, метод расщепления матричных коэффициентов особенно хорошо себя зарекомендовал в связи с выделением скачка. 6 6.6. Методы решения уравнения потенциала Хотя в настоящее время во многих случаях стало возможным численное решение уравнений Эйлера, все же желательно иметь упрощенную систему уравнений, которую можно решать более простым способом при меньших затратах ресурсов ЭВМ.
Это могло бы найти применение на этапах предварительного проектирования сверх- и гиперзвуковых летательных аппаратов, когда рассматривается много вариантов аэродинамических конфигураций с попыткой их оптимизации. В задачах такого рода затраты памяти и процессорного времени, требуемые для решения уравнений Эйлера для каждой задачи, чрезмерно велики. Как хорошо известно в механике жидкости, существует иерархия уравнений, основанная на порядке аппроксимации, который хотят получить, или на допущениях, которые делают при выводе этих уравнений.
Если попробовать упростить уравнения Эйлера, то следующим шагом будет рассмотрение решения уравнения полного потенциала. Уравнение для полного потенциала, записанное либо в дивергентной, либо в недивергентной форме, часто используется в задачах трансзвуковой аэродинамики. При выводе уравнения для полного потенциала требуется, чтобы поток был безвихревым. Кроме того, из уравнения Крокко (5.187) вытекает требование отсутствия производства энтропии.
Таким образом, в формулировке задачи для полного потенциала изменение энтропии при прохождении через скачки, даже в сверхзвуковых потоках недопустимо. На первый взгляд это допущение обедняет постановку задачи. Однако практика показывает, что решения уравнений Эйлера и уравнения потенциала отличаются друг от друга незначительно в тех случаях, когда число Маха, рассчитанное по компоненте скорости, нормальной к фронту скачка, $6.6.
Методн решения уравяеяяя вотеяяяала близко к единице. Производство энтропии на слабом скачкезависит от числа Маха по нормальной проекции скорости, и мы можем записать [1(ершапп, Козака, 1957) (М 1)а Л т+1 (6.128) Это подтверждает тот факт, что допущение о постоянстве энтропии при переходе через скачок является разумным, пока число Маха по нормальной проекции скорости достаточно близко к единице. Важно отметить, что это допущение касается локального числа Маха по нормальной проекции скорости, а не числа Маха в свободном потоке.
Если допущение о безвнхревом характере течения оправданно, то следует ожидать, что решение уравнения потенциала будет столь же хорошо, как н решение уравнений Эйлера, даже в сверх- и трансзвуковых потоках с ударными волнами. Трудностей при решении уравнений Эйлера нельзя полностью избежать даже сведением задачи к решению уравнения потенциала, так как в любом случае задача остается нелинейной, пусть и упрощенной. Здесь мы обсудим применение уравнения потенциала для расчета сверх- и трансзвуковых течений. Поскольку мы занимаемся практическими приложениями гиперболических уравнений, то начнем со сверхзвуковых стационарных течений, а затем перейдем к трансзвуковым. Потенциальное приближение уравнений Эйлера можно получить как в дивергентной, так и в недивергентной форме.
Двумерные уравнения потенциала в недивергентной форме (5.197) можно записать в виде гг 1 г ) Фхх г Уху+ (1 г ) Фяг=бг (6 129) 'где (6.130) и = дф/дх, о = дф/ду, и а — скорость звука, которую можно рассчитать по уравнению энергии + = Н = сопз1. (6.13!) Уравнение (6.129) иногда называют нвазилинейной формой уравнения полнозо потенциала. В нашем обсуждении решений уравнения Эйлера отмечалось, что применение недивергентной формы не давало приемлемых результатов на скачках. Однако в случае трансзвуковых течений эта проблема не возникает, так как скачки в этом случае слабые. В настоящем разделе мы 13 д.
Агхерсог н др. том 1 Зое Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения будем рассматривать методы решения уравнения полного потенциала, записанного в дивергентной форме. Двумерное безразмерное уравнение полного потенциала вдивергентной форме можно записать в виде — + — =0 д (ри) д (ре) дх ду (6.132) Плотность рассчитывается по уравнению энергии в ниде р = [1 — У М' (и'+ се — 1)1 . (6.134) В этой записи плотность и компоненты скорости обезразмеривают по параметрам свободного потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
