Anderson-et-al-1 (1185923), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Гордон [Оогбоп, 1969) разработал во многом похожую схему для решения гиперболических систем. Мореттн [Моге(11, 1978[ С 4 — о)=0 +о)=0 а 1» — ах — »[ Рис. 6.13. Характеристики и расположение точек сетки. (6.79) с((Ви — о) = О предложил так называемую Х-схему, в которой обработка зависит от направления распространения сигнала. В некоторых случаях Х-схема Моретти и метод расщепления матричных коэффициентов идентичны. Однако в случае многомерных течений при использовании произвольной системы координат единая формулировка разностных уравнений по Х-схеме не существует.
Метод расщепления матричных коэффициентов позволяет точно получать разностные уравнения в случае произвольного числа измерений. Метод расщепления матричных коэффициентов легко разьяснить на примере системы двух линейных уравнений, рассмотренной в $6.2. Система (6.3) была диагонализирована и соотношения совместности записаны в виде — (Ви+ о) — — — (Ви + о) = О," д 1 д дл В ду д 1 д — (Ви — о) + — — (Ви — о) = О. дл ду Как видно из рассмотрения рис. 6.13, эти уравнения эквивалентны требованию (6.80а) э 6.4.
Метод расщепления матричных коэффициентов 337 на характеристике х — ру = й и требованию с((()и+ о) =0 (6.80Ь) х+ ~у= т1. Пусть мы хотим построить конечно-разностный аналог этих выражений. На положительной характеристике Ч = сопз1 (рис. 6.13) мы можем записать Еи — о). — Еи — о), = О, (6.81) а на характеристике ~ =сонэ(в (6и+ о)в — Яи+ о)с =О. (6.82) Эти уравнения можно решить относительно неизвестных в точке О, считая известными значения величин в точках А и С. Метод характеристик основан иа интегрировании уравнений совместности (6.80а) и (6.80Ь) вдоль характеристик. Конечно-разностный метод характеристик можно построить, используя эквивалентное уравнение (6.79).
Прибавим и вычтем величину (ри — о)в из уравнения (6.81). Это даст (Р» е)о (Р» а)в (Р» е)л (й» е)в в 0 (6 83) Аналогично уравнение (6.82) можно записать в виде (рв+а)о (р»+")в (р»+ н)с (Р»+ е)в — О. (6.84) Эти два соотношения являются конечно-разностными аналогами уравнений (6.79) и приводят к тому же решению в точке В. Схема с расщепленными матричными коэффициентами во многом основана на интегрировании соотношений совместности. Используемый в этом методе вид соотношений совместности получается, если переписать уравнение (6.79) в виде час„+ Р ти„" + 1 чт„= О. Оно может быть записано так: чих + [Аг тн„+ + (А) чи„= О, (6.85) где 1 1. (А]+ = — Р (А) = — р Р (6,86) ззв Гл.
6. Численные методы решения уравнений течения Сравнивая с (6.14), видим, что [А] + [А] =[А]. (6.87) Смысл обозначения в (6.85) можно понять из уравнений характеристик. Матрица коэффициентов [А] расщепляется, чтобы корректно учесть направления распространения сигнала при использовании односторонних разностей. Например, член[А]+ н!й означает вклад характеристики с положительным наклоном. В этом случае берется разность назад для производных от те, и об этом нам напоминает знак собственного значения. Если для аппроксимации производных по у используются простые односторонние разности, уравнение (6.85) в форме с расщепленной матрицей коэффициентов аналогично конечно-разностному методу характеристик. Если же используются односторонние разности более сложного вида, то эти методы уже не идентичны, хотя расщепление все же содержит информацию о распространении сигнала.
Пример 6.3. Решить задачу из примера 6.1 методом расщепления матричных коэффициентов. Решение. Соответствующие конечно-разностные уравнения получаются, если записать два скалярных уравнения (6.85) в виде и„+ '!а(ця — о„) — '!',(ия+ о„) =О, (6.88) о„+ !!а'( — ця + оя)+ — '(я (и„+ оя) = О. Теперь для производных по х используем разности вперед, а члены плюс и минус аппроксимируем разностями первого порядка.
Тогда первое из разностных уравнений можно записать как ци+! ца (ци це ' Ои + Ои ) + йя ! ! 2 ау ! !-! ! !-! + — (цл — пи+ Ое — Оа) Ьл Аналогичным образом получаем второе выражение. Граничные условия известны, и мы можем интегрировать конечно-разностные уравнения в маршевом направлении х, начиная с поверхности задания начальных условий. Мы построили схему первого порядка с расщепленными матричными коэффициентами для решения задачи из нашего примера. Гезультаты ее численного решения прекрасно согласуются с точным решением (см.
задачу 6.6). Устойчивость явных схем с расщепленными матричными коэффициентами определяется обычным условием Куранта— 5 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов 339 Фридрихса — Леви. Другие пределы устойчивости получаем при использовании односторонних разностей более высокого порядка. Это будет предметом более подробного обсуждения в данном параграфе.
Мы описали метод характеристик и метод расщепления матричных коэффициентов для простой линейной задачи. На ее примере мы продемонстрировали основные идеи, на которых основаны эти схемы. Оба этих метода пригодны и для нелинейных уравнений динамики жидкости, пока последние остаются гиперболическими. Сейчас рассмотрим теорию этого метода для системы нелинейных уравнений гиперболического типа. Уравнения нестационарного одномерного течения невязкого совершенного газа имеют вид З,г+[А]лх =' (6.89) где ти есть и-компонентный вектор неизвестных и [А] — матрица размером пХ и. Собственные значения [А] определяют характеристические направления, и можно записать г(х/гй = Ль ю = 1, 2, ..., гг.
(6.90) Для каждого собственного значения Л; существует левый собственный вектор (.г, удовлетворяющий условию $.Т ([А] — Л, [1]) = О. (6.91) Как и в примере с линейной задачей, уравнение совместности получаем умножением транспонированного вектора (.г на исходную систему (6.89): Ег (чтг + [А] чгг„) = $-г (чвг + Лгчгг„) = О. (6.92) Это приводит к уравнениям вдоль характеристик, и собственно с этого момента начинается построение схемы с расщепленными матричными коэффициентами.
Пусть [Т] — ' есть матрица, и строк которой являются а левыми собственными векторами, взятыми по порядку. Тогда уравнение совместности можно записать в виде [Т] мг, + [Лл] [Т] чих = О, (6.93) где [Лл] — диагональная матрица, составленная из собственных значений матрицы [А]. После умножения (6.93) на [Т] слева получаем чтг + [Т] [Лл] [Т] чих = О. Исходную матрицу [А] можно теперь записать как [А]=[Т][Лл] [Т[ '. (6.95) з4о Гл. б, Численные методы решения уравнений течения Если [Лл] расщепить на положительную и отрицательную части: [л,] = [л,]'+ [л,] (6.96) и подставить в уравнение (6.95), то получим [А] = [Т] [Лл]+ [Т] '+ [Т] [Лл] [Т] ', (6.97) где [А] = [А]++ [А]-. Матрицы [А]+ и [А] — отождествляются с собственными значениями и собственными векторами.
Мы опять можем записать наше уравнение в виде ъет + [А]+ то„+ [А] чу„= О, (6.98) где смысл обозначений «.»-» такой же, как и в предыдущем примере. Была предложена альтернативная форма записи [Моте(11, 1971; Яа!аз, 1975; Магсоп1, 1980] основных уравнений динамики жидкости. В ней производные плотности в уравнении неразрыв- ности заменены на производные давления по известному выра- жению для скорости звука. Кроме того, вместо уравнения энер- гии используется уравнение для энтропии. В такой форме урав- нения из п.
5.5.4 выглядят так: ди и дР до дР— + — — + — +о — =О, дх у дх ду ду ди ди аа дР и — + о — + — — =О, дх ду у дх до до аа дР и — +о — + — — = — О, дх ду у ду да да и — + о — =О. дх ду (6.99) Пример 6.4. Пусть мы собираемся получить расщепленную форму записи стационарных двумерных уравнений Эйлера. Ее можно использовать для расчета стационарного сверхзвукового обтекания любой двумерной поверхности.
Уравнения в этом случае имеют окончательный вид чу,+[Т][Л]+[Т] 'чту+ [Т][Л] [Т] 'тих=О. Мы уже получили вид матрицы [Т]-' [см. выражение (6.19Ь)]. Остается только вычислить ее элементы. Эти алгебраические вычисления довольно просты. В задачах такого типа эти вычисления приходится проделывать на каждом шаге для определения Х»- и ),— и, следовательно, для правильного дифференцирования по пространственным координатам. Остальные подробности этого примера даны в качестве упражнения в задаче 6.7 настоящей главы.
$6.4 Метод расщепления матричных новффиниентов 341 В этой системе неизвестными величинами являются компоненты скорости и и о, энтропия з и натуральный логарифм давления Р. Интересно заметить, что уравнение для энтропии не связано с остальными уравнениями системы. Следовательно, энтропию можно рассчитывать независимым образом.
Моретти [МогеЫ, 1971) указал, что для аппроксимации энтропии всегда следует использовать разности вверх по потоку, поскольку уравнение для энтропии выражает всего лишь тот факт, что эта функция постоянна вдоль линии тока. Это требует, чтобы разностная аппроксимация производной дз/ду была вперед или назад в зависимости от знака о/и. Это согласуется с методом расщепления матричных коэффициентов. Даже в схеме Мак-Кормака рекомендуется для энтропии использовать разности вверх по потоку.
Особое внимание следует уделить должной аппроксимации членов с производными в методе расщепления матричных коэффициентов. Чтобы охватить в нашем рассмотрении большее число идей общего характера, вновь обратимся к нелинейному уравнению (6.98). Если обозначить разность первого порядка назад через и, а разность первого порядка вперед через Л, то схема первого порядка по времени и по пространству будет задаваться выражением 44т1~+ = то~ — (]А]+ Гену + ]А] Лтн1) —, Разработка схем второго порядка требует большей тщательности.
Моретти ]Моге(11, 1978) предложил схему с переключением с двухточечных разностей на трехточечные на последовательности предиктор-корректор. Шаг предикгор на котором производные по пространственной координате ап- проксимируются следующими выражениями: 2тт1 — Зтт! 1+ в1 Ьх (6.100) л л тт!41 те! Шаг корректор л+1 л а1 ' л л+щ хн1 = 44су + — (тн~ + ттт1 ), 2 342 Гл.
6. Численные методы решения уравнений течения иа котором пространственное дифференцирование как в ту~, и .~- 1 так и в ту~+ производится по двухточечному назад и трехточечному вперед выражениям и л тат — чт~ чих = Ьх (6.101) и л и — +З тчх = Ьх (6.102) Промежуточный шаг п л л ( и л и ч„ = [А]-,' ,„ ', — [А] /2тт~ — зттт+~+ тттеа 1 + (2тчт — зтт~ ~+ ча~ а) (6.!03) Шаг корректор ~+ 2 ( ~+ (6.104) Здесь тат~+' вычисляется обычным способом по исходному уравнению с использованием передних и задних разностей первого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
