Anderson-et-al-1 (1185923), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Интересно заметить, что эта схема полностью совпадает с предложенной Уормиигом и Бимом [вагш(пд, Веат, причем пространственные производные в ж аппроксимируются с использованием значений, полученных иа шаге предиктор. Чтобы обеспечить требуемый второй порядок точности, разностиая аппроксимация иа каждом шаге меняется. Важно отметить, что точные явные схемы второго порядка с одиостороиними разностями ие так компаКтны, как схемы с центральными разностями.
Для уравнения (6.98) требуется задействовать три точки для схем первого порядка и пять точек для схем второго порядка. С другой стороны, схема Мак-Кормака формально дает второй порядок аппроксимации по пространству и использует только три точки. Недостаток схемы, описываемой уравнениями (6.100) и (6.101), заключается в том, что оиа ие удовлетворяет точно условию сдвига. Это значит, что при числе Кураита, равном единице, оиа в точности ие следует характеристикам линейной задачи. Габутти [ПаЬп(11, 1982] для устранения этого недостатка ввел поправку. Предложенная им схема является трехшаговой. Для уравнений (6.99) имеем Шаг предактор чту+' = тут — — „([А]" 7ий + [А] Лти~). 4 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов 343 1975) (см.
п. 4.1.9) и использованной Стегером и Уормингом (Яедег, вагш(пд, 1979). Схема Бима — Уорминга второго порядка на шаге предиктор совпадает с уравнением (6.102), а шаг корректор задается как вру+' = хну + ф (тн" + нс+') + + ьс [АГ ле у аг (А]е е д Введенные на шаге корректор два дополнительных члена изменяют ошибку аппроксимации так, что схема дает второй порядок точности, удовлетворяя при этом условию сдвига.
Процедуры постановки граничных условий в методах, подобных методу расщепления матричных коэффициентов, имеют разумное обоснование. На границах вычислительной области некоторые характеристики приходят к границе из внутренней части, другие — извне. Мы можем воспользоваться уравнениями совместности вдоль характеристик, приходящих к границе из внутренней части области. Однако информацию, приносимую остальными характеристиками, использовать невозможно.
Соответствующие соотношения совместности должны быть заменены заданными граничными условиями. Это могут быть либо условие скольжения потока вдоль твердой границы, либо заданные распределения давления или скорости на внешней границе. При рассмотрении сверхзвуковых течений с ударными волнами ударные волны следует трактовать как разрывы. Это будет обсуждаться позже в данной главе. Пример 6.5.
Пусть требуется рассчитать распределение дав- ления в одномерном сопле, когда первоначально покоящийся газ разгоняется до скорости звука в горловом сечении, а затем рас- ширяется в сверхзвуковой части сопла при заданном давлении на срезе сопла. Схематически сопло изображено на рис. 6.14. Решение. Одномерное течение газа описывается следующей системой уравнений: тз + и д„+ у(, д„+аи) =О, ди . ди аа дР— +и — + — — =О, дт дк т дх где а =(1/А)дА/дх.
Так как мы пользуемся недивергентной формой записи уравнений, то правильно «поймать» скачок вну- три сопла нельзя. При интегрировании уравнений (6,106) необ- ходимо иметь уравнение для энтропии или считать поток изэн- тропическим (з = сопз1). В нашем примере для простоты будем 344 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения считать энтропию постоянной. Даже в рамках этого предположения единственное решение для течения в сопле получаем интегрированием уравнений по времени.
Соответствующая форма уравнений с расщепленными матричными коэффициентами без труда получается нз уравнений (6.106), и ее вывод здесь мы приводить не будем. Сосредоточим Ре — =0.76 Рнс. 6.14. Одномерное течение в сопле. наше внимание на постановке граничных условий на срезе сопла. На рис. 6.15 показан срез сопла и приходящие на него характеристики в плоскости (х, 1). Поскольку характеристики, имеющие Рнс. 6.16. Характеристики в плоскости среза. отрицательный наклон, приходят извне, то соотношение совместности на них следует заменить граничным условием.
В нашем примере это р = 0.75р', где р* — давление заторможенного потока. Уравнение совместности вдоль характеристики с положительным наклоном дает полезную информацию, которой мы и воспользуемся. Оно записывается в виде а 61 + у — 1+ А" (а ~„+ т' ~ ) + таам=0. (6.107) 5 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов 346 Для заданного давления на срезе сопла требуем, чтобы дР(д! =О. Когда производные по х в уравнении (6.107) аппроксимнруются разностями назад, новое значение скорости на срезе сопла получается сразу интегрированием. Оно вместе с заданным на срезе сопла давлением полностью определяет задание граничных условий на срезе сопла.
Метод расщепления матричных коэффициентов применйм в случае любого числа измерений, и в этом плане поучительным является пример двумерного зависящего от времени течения. Обычно выполняется преобразование координат т=1, $=$(1, х, у), т1=т)(1, х, у). Если в декартовой системе координат переменными являются з, и, о и Р, то в преобразованных координатах уравнения запи- шутся в виде ( и о Р)г !т = (О, О, О, еу †) , (6.11!) [(6.!12) где е =(1, 0) для осесимметрнчного нлн двумерного течения со- ответственно, й 0 О 0 0 э„— аэ и У 0 й [А] = (6.113) 0 0 й й= $, + и$„+ о$„, [Лд] — диагональная матрица с элементами й+ ал,/~'„+ эх, и — ал/$„'+ $т, й, й и (6.114) чнт + [А] хне + [В] чнч + Ь = О. В соответствии с принятыми ранее обозначениями мы можем расщепить матрицы [А] и [В]; тогда получим тн, + [Т] [Лл] [Т] ' хна + [8] [Л~]-[В] ' чнч + !т = О.
(6.110) В этом выражении [Лл] и [Лв] — диагональные матрицы, состоящие из собственных значений матриц [А] и [В], а [Т]-' и [5] — ' — транспонированные матрицы, составленные из соответствующих собственных векторов. В уравнении (6.110) 346 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения О О О— ~2 й, 2 (6.115) [Г[ '= 2 йв ~/$~ + $'„ соответствующие матрице [В[, $ на т1 в элементах [А[. Пусть Матрицы [Лв[, [5[-' и [о[, выглядят аналогично с заменой олалшшальнее Л Рис. 6.!6. Вычислительная плоскость (т, Ч).
при т1 = О имеется твердая стенка. Так как мы интегрируем уравнения по времени, будем исследовать характеристические направления в плоскости (т, т)), чтобы найти те, на которых можно пользоваться соотношением совместности, и те, которые должны быть заменены граничными условиями. На рис. 6.16 изображена плоскость т, т1. Поскольку события развиваются в сторону увеличения времени, границы достигает информация, которая переносится только вдоль характеристики с отрицательным наклоном (правая характеристика).
Информация, переносимая левой характеристикой, должна быть заменена граничными условиями на стенке. Третье уравнение совместности, соответствующее третьему собственному значению матрицы (6.114), в которой й заменено на б, а $ — на т1, не может быть использовано. Граничное условие в этом случае такое: (6.116) б = т1, + иЧ, + от1я = О. 5 6.4.
Метод расщепления матричных коэффициентов 347 Продифференцируем это выражение по времени; тогда получим Ч„и, + Ч, . = О. (6.117) Чтобы получить решение на границе, это выражение исполь- зуется совместно с тремя остальными уравнениями совместно- сти. Основную систему уравнений можно преобразовать. Если положить и= [7] [Л4] [7] чу + Ь, (6.118) то уравнение (6.110) можно переписать в виде чг, + [3][Лв]Р] 'ч4„+ и=О. (6т!19) Уравнения совместности в плоскости (т, Ч) суть И ттт+[Лн]И ч4ч+РГ и=0 (6 120) Третье уравнение совместности заменяется дискретизированным условием скольжения вдоль поверхности [уравнение (6.117)]„ что приводит к системе вида [12] тт + е+ ! = О, (6.121) где зм з!з зы З2! З22 о и, З4! З42 З23 З24 Ч 0 24З ЗМ Р]= 4 Л42 4=! Здесь зц — элементы матрицы [Я-!.
Теперь можно получить явные выражения для элементов чсз из уравнения (6.121). Поскольку мы обсуждаем постановку граничных условий для уравнений Эйлера, записанных в недивергентной форме, удобно рассмотреть вопрос о выделении скачка. Обычно мы выделяем скачок как некоторую границу, и расчет положения скачка является частью всего решения. На показанной на рис, 6.16 вычислительной плоскости скачок будет формироваться Л, Е ЯниА 4-! Лз гита!я ! 1 0 Х з!4й! ! ! ф.г З24К! 0 348 Гл, 6.
Численные методы решения уравнений течения при т( = т( „. Выделение скачка — вопрос удовлетворения со- отношениям Гюгонио — Гэнкина при одновременном соблюде- нии того, чтобы решение за скачком было совместимо с осталь- ным полем течения. Решение за ударной волной определяется параметрами сво- бодного потока, скоростью ударной волны и ее ориентацией.
Если мы знаем параметры свободного потока, первоначальный наклон ударной волны н скорость, то в схеме выделения скачка неизвестными величинами в первую очередь можно считать ско- рость ударной волны или перепад давления на ней. Чтобы полу- чить выражение для ускорения ударной волны нли давления за ней, применяется обычная процедура объединения соотноше- ний Гюгонио — Рэнкина с одним из уравнений совместности. Например, если мы нашли давление за скачком, то можно вы- числить другие параметры течения за скачком прн помощи со- отношений Ч„=1и„+]о„, и,=,, и„„=]Ч„п,], 1чя + 1ча 4ч,'+ ч'„ М,=( —,', ф(у+1)+(у — 1)~~'", 2а (1 — М ) )'а ~ш~а П и та а (т 1 !)М 1ря + т — 1~Г 1 + т + 1 ! ].
! + (т — 1) (р lр И(т + 1) 1 ' Ч,=Ч +(ив„— и „)п,[з!дп(Ч п,)]. (6.122) (6.123) Нижний индекс оо относится к условиям свободного потока, индекс 2 — к параметрам потока сразу за скачком; индекс з указывает на принадлежность к поверхности скачка, и обозначает нормаль к этой поверхности. Уравнение (6.122) легко получить из соотношения Гюгонио — Рэнкина и выражения для относительной скорости ударной волны. Подробности этого вывода опускаем, так как они аналогичны тем, которые были приведены в предыдущем параграфе, когда схема выделения скачка применялась для маршевой по пространству задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
