Anderson-et-al-1 (1185923), страница 66
Текст из файла (страница 66)
На рис. 6.23 — 6.25 приведены типичные результаты расчета [Ьйапкаг, Спа(сгачаг()ту, 1981[. При расчете обтекания клина по уравнениям Эйлера методом сквозного счета второго порядка точности получаем осцилляции на ударной волне. Результаты расчета обтекания конуса (рис. 6.24) и простой конфигурации крыло — тело (рис. 6.25) хорошо согласуются с решениями уравнений Эйлера.
В некоторых случаях решение уравнений полного потенциала требует на порядок меньше машинного времени. Этот подход рекомендуется применять в задачах расчета сверхзвуковых течений, тогда справедливо уравнение потенциала. 6.62. Методы расчета треисевуковык течений Уравнение полного потенциала используется для описания трансзвуковых течений, когда интенсивность ударных волн мала. Разработанные недавно схемы используют идею смещения шаб- Звуковая линия М (1 -м — -мРис. 6.26. Трвнсввуковой профиль.
лона вверх по потоку при аппроксимации плотности, и метод Холста и Боллхауза [Но)61, Ва!1Ьацз, 1979] является очень показательным. Рассмотрим обтекание двумерного профиля, причем число Маха набегающего потока М таково, что возможно образование местных сверхзвуковых зон. Такая ситуация изображена на рнс. 6.26, Обтекание этого профиля невязкой жидкостью рассчитывают, решая уравнение полного потенциала.
При решении этой задачи физическая область течения отображается 366 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения на вычислительную плоскость ($,т1) так, что поверхность профиля Ч=сопз1 — ее внешняя граница. Координату 5 определяют так, что нижняя сторона воображаемого разреза вдоль прямой, сходящей с задней кромки, есть поверхность й =сопз1. внешняя грани Условие непротенания 1нинсняя стор разреза) ие таниная няя сторона еза) Рис.
6.27. Вычислительная плоскость для трансзвукового профиля. (6.167) Координата й возрастает при обходе контура до величины $ „ на верхней границе вихревой пелены (верхняя сторона разреза). Вычислительная плоскость показана на рис. 6.27. Вопросы отображения физической области на вычислительную будут рассматриваться в гл.
10. Наша задача — решить уравнение полного потенциала (6.150) — (6.152) для случая обтекания трансзвуковым потоком профиля, изображенного на рис. 6.26. Обозначения имеют тот же смысл, что и при рассмотрении сверхзвуковых маршевых задач. Конечно-разностная аппроксимация второго порядка уравнения (6.150) может быть записана в виде $ 6.5. Методы решения уравнения потенциала В атом выражении контравариантные компоненты скорости имеют вид 1/ па != Я)/+//а,/(Ф/+ь/ у!,1) + А + 4 ( а)с+!/и /(т/+ь /+/ ~/+/ 1-~ + ф' 1+' ~'1 — ')' (6 166) 1 1~/, 1+!/и = 4 (Аа)с,!+//а (Ф/+и 1+/ — Ф/-и /ьь+Ф/+и 1 — 1з/ ь 1) + + (Аа)/, 1+//а (ф!, 1+! ф/, 1)> где значения в полуцелых узлах получают усреднением, а величины А определяют по уравнению (6.162).
Такое представление справедливо для дозвуковых областей течения. Теперь введем смещение назад прн аппроксимации плотности и заменим уравнение (6.167) следующим: у~р ® ~+у(рф) =О, (6.169) где Р/ ( 1+а, 1) Р/+//2, 1 + /+а, /Р/+ай — !/2, 1' О, и/+„,1>О, й= 1, с/!+!/2,1 ( 0 (6.170) (6.171) Для искусственной вязкости выбираем выражение т=гпах[0, С, (1 — — а)], где константа С! равна единице для малых сверхзвуковых областей, но должна быть увеличена в областях, где интенсивность скачка значительна. Такая постановка задачи для уравнения полного потенциала может быть пригодной для всей области течения независимо от типа уравнения.
Получающееся разностное уравнение можно решать различными способами. Холст и Боллхауз делали это как обычным методом последовательной верхней релаксации по линиям, так и с использованием схема/ приближенной факторизации. Обсудим схему приближенной факторизации Холста, называемую ПФ2- схемой, поскольку методы последовательной верхней релаксации были описаны при рассмотрении других систем уравнений. Схема приближенной факторизации (и многие другие) в случае релаксацнонной задачи, описываемой уравнением вида Еф = О, где Š— некоторый дифференциальный оператор, для уравнения полного потенциала может быть записана в виде й/С" + шаафа=О, (6.172) 668 Гл.
6. Численные методы решения уравнений течения где ов — параметр релаксации, С" — поправка (ф"+' — ф"), Еф"— невязка (прнблнженное решение не удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных) н М вЂ” оператор, определяющий тот нлн иной итерационный метод. В схемах приближенной факторизации У представляют в виде произведения двух нлн более операторов: л1 = Ув%. Операторы Ув н 1ув следует выбирать так, чтобы нх пронзведенне аппроксимировало Е.
Прн этом годятся только простые матричные операции н схема в целом будет устойчивой. В ПФ2-схеме, которую использовал Холст, оператор У представляется в виде й(СЯ Г вв (Р в) 1~ыУ ~ р (~~) (6.173) где а — свободный параметр, который можно интерпретировать как (Л1)-'. Некоторый набор а используется во время вычнсленнй для подавления высоко- н низкочастотных ошибок в решении. Холст н Боллхауз [Но!з1, ВаИЬапз, 1979] привели одни такой набор. Его можно использовать н для других расчетов обтекания трансзвуковых профилей.
Прн этом ПФ2-схема работает почти оптимально. В ПФ2-схеме уравнения (6.173) решение определяется прн помощи двухшаговой процедуры: ( рлв ) ~ ~» (фя [ ав'ч — %'йр, ( — ') Ьй~ С," у — — ~, где 7,"» — результат на промежуточном шаге.
На первом шаге [д~ получают нз решения двухднагональной системы, аналогичной той, которая встречалась в факторнзованной схеме с расщепленнымн потоками в 6 6.3. На втором шаге требуется решать уже трехднагональную систему. Направление расчета на шаге 1 — от профиля, на шаге 2 — к профилю. В этой схеме нет ограниченна на направление расчета в зависимости от направления потока. Однако прн использовании других методов, например метода последовательной верхней релаксации, необходимо следить, чтобы в сверхзвуковых зонах направление расчета совпадало с направлением потока.
Это как бы соответствует введению стабилизирующего члена фы. Джеймсов [йатезоп, 19741 подчеркивал, что прн решении уравнения потенциала вблизи звуковой линии возникают трудности с устойчивостью. Чтобы обойти нх, в разностную схему добавляют времениподобные члены. Последние имеют внд $6.6. Методы решения уравнения потенциала 369 ( .т 1сач-ца ~ .т ~г,лч+пт (6.175) в фиктивных точках, где УУ вЂ” точка на поверхности профиля. В этих расчетах граничное условие задается явным образом.
Если подъемная сила профиля равна нулю, значения потенциала скорости н плотности на внешней границе сохраняются постоянными н равными значениям в набегающем потоке. Для ненулевой подъемной силы этн величины на внешней границе должны давать циркуляцию, совместимую (совпадающую) с завнхренностью, найденной нз решения, н обновляемую в конце каждой итерации. В конце каждой итерации циркуляция рассчитывается по скачку потенциала скорости на задней кромке: 1 = Фиги зтгн (6.176) В начале следующей итерации скачок потенциала скорости задается вдоль всей вихревой пелены.
Поправка определяется как разность прн переходе через вихревую пелену Г"+' — Г= С, — Сш (6.177) где Г"" = 8 (Г" — Г"-') + Г"-'. (6.178) На рнс. 6.28 показаны результаты расчета трансзвукового обтекания профиля НАСА0012. На нем приведено сравнение коэффициентов давления, вычисленных по ПФ2-схеме, с коэффнцнентамн, взятыми нз работы Лока 1(.ос)г, 1970). ПФ2-схема работает хорошо, о чем свидетельствуют полученные результаты, н ~„, н обычно включаются в операторы в релаксацнонных схемах. В нашем случае к операторам на втором шаге уравнения (6.174) добавляются члены типа аК176 аК|Ль.
Используются только разности вверх по потоку н обычно только в сверхзвуковых областях. Знак этих членов выбирается так, чтобы величина диагонального члена росла на втором шаге уравнения (6.174), что обеспечивает диагональное преобладание. Было показано [На1ез е1 а1., 1979), что добавлением этих временнподобных членов можно произвести модификацию зависимости для плотности. Она осуществляется добавлением члена ф~ к квадрату скорости в уравнении для плотности (6.153).
Такой подход также обеспечивает стабилизирующую добавку, внд которой близок к той, что предложил Джеймсон. Прн постановке граничных условий на профиле используются фиктивные точки внутри стенки, чтобы можно было задать условие отражения. Условие У = 0 на профиле задается как 870 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения и является высокоэффективной процедурой расчета трансзвукового обтекания профилей, будучи объединенной с процедурой построения сетки. Кроме того, эту схему можно использовать и для расчета трехмерных конфигураций.
Холст 1Н0181, 1980] распространил свой подход на расчеты обтекания трехмерных -1.2 -0.8 -0.4 О. О. 1.6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 я/с Рис. 6.28. Распределение ковффиниента давления ся на профиле МАЯА0012; и = 2; М = 6.63; О сс = 0.334 [Но1а1, 197911 — сс = 0.335 11.оск, 19701. -ле ч1 крыльев. Его процедура является дальнейшим развитием двумерного метода. Следует отметить особо один очень важный момент. В двумерном случае использование схемы, в которой шаблон при аппроксимации плотности сдвигается назад по направлению $, оказывается достаточной мерой. Если сверхзвуковой поток достигает задней кромки, то и в направлении т1 также необходимо использовать разности против потока. В трехмерных расчетах обтекания крыльев разности против потока используются и в направлении размаха крыла, и в направлении хорды.
Если сверхзвуковые области возникают вблизи задней кромки, разности 5 6.6. Уравнения малых возмущений для трансзвуковых течений 67! против потока необходимо использовать и в нормальном направлении. В работе [На1ег е1 а!., 1979] указано, что члены с искусственной вязкостью, возникающие при разностном представлении плотности разностями против потока, можно рассматривать как аппроксимации уравнений Навье — Стокса. Было получено вязкое трансзвуковое уравнение малых возмущений [8!с)зе1, 1963[ (1 — Ма) ф„+ фвв = — еф,„„.
(6. 179) Здесь вязкие члены имеют ту же форму, что и искусственная вязкость, добавленная в сверхзвуковых областях явным образом, или искусственная вязкость или искусственная сжимаемость, вводимые за счет модификации разностного представления плотности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
