Anderson-et-al-1 (1185923), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Для простоты ограничимся рассмотрением двумерного Рнс. 6.3!. Физическая область для уравнения Лапласа. случая, хотя принципиально он ничем не отличается от трехмерного. Рассматриваемая область изображена на рнс. 6.31. В основе всех панельных методов лежит замена решения уравненпя Лапласа в рассматриваемой области некоторым поверхностным интегралом за счет применения второй формулы Грина к интересующей нас области.
Пусть функции и н и имеют непрерывные производные вплоть до пронзводных второго порядка (функция и н и принадлежат к классу С"), тогда вторая формула Грина может быть записана в виде ~ (иЧти — пЧаи) ЙА = ~ (иЧи — иЧп) ° и Из, л 3 где и — единичная нормаль к границе н 1 — элемент дуги вдоль границы. Выберем в качестве и потенциал р, а в качестве о— функцию вида и = 1и (г), где г = 1/(х — $)т+ (у — т1)т. Пусть ($,т1) — координаты точки Р, в которой следует определить потенциал, а (х, у) — координаты точки О на границе, в ко- $6.7. Методы решения урааиеиия Лапласа З77 торой расположен источник. Прн вычислении интегралов в формуле Грина следует быть особенно внимательным по мере приближения точки ($, 71) к (х, у), т. е.
когда г-+ О. Чтобы избежать связанных с этим обстоятельством трудностей, вообразим, что вокруг точки Р($,в1) построена окружность малого радиуса и, н применим формулу Грина к области, заключенной между границей В рассматриваемой области н этой малой окружностью. Имеем 0 = $ (оЧи — иЧи) ° и ьЬ вЂ” су (оЧи — иЧв) ° и вЬ. Во втором интеграле заменим и н э нх зависимостями от ф н г: $ [1 и (г) Чф — фЧ! п (г)] ° и сЬ. в На окружности малого радиуса г равно а, н этот интеграл можно записать в виде 1и (а) [~> Чф ° пеЬ1 — у — с(з.
В соответствии с нас Ф Г шнм исходным предположением о том, что ф есть решение уравнения Лапласа, первый член обращается в нуль (см. задачу 2.7). Второй член есть в$ фпэ, но по известной теореме о среднем в значении гармонической функции он равен а$фдз=2пф($, 71). Подставляя последнее равенство в исходное выражение, получаем ф($» Ч)= ~„$~1п(г) д — ф л ' ~пз.
(6.190) Таким образом, решение уравнения Лапласа в некоторой области мы свели к задаче решения интегрального уравнения на границе этой области. Первый член соответствует задаче Неймана, в которой на границе задается дф/дп, второй — задаче Днрнхле с краевым условием, когда на границе задается ф. Интегралы в равенстве (6.190) дают вклады в ф от источников н днполей.
Далее можно записать 2 $(р дп + п(п (г)1 свз, (6.191) где о можно интерпретировать как плотность распределения источников, а и†плотность распределения днполей с осью, перпендикулярной к поверхности границы. Поверхностное распределение источников с плотностью о на Зуб Гл. б, Численные методы решения уравнений течения единицу длины дает во внешней точке величину потенциала ф = †„ $ с/ 1и (г) /(з, (6.192) о/ ф! = с/о,хс + ~ йп ~ 1и (г! /) //и/. 1 ! 1 (6.196) Геометрия области, соответствующая такому распределению потенциала, показана на рис.
6.32. Далее необходимо определить интенсивности источников оь Для этого на каждой панели выбирают контрольную точку и требуют, чтобы через панель поток отсутствовал. Контрольную точку выбирают в центре панели. Пусть точка Р является контрольной точкой !-й панели. Условие отсутствия перетекания через панель в этой точке есть — ф(хь у ) =О. д Так как ф — потенциал скорости, то это равенство просто выражает факт обращения в нуль нормальной скорости в контрольной точке !-й панели.
Таким образом, л Х..~.. йн 1 бв 1и ( /!) с/81 = — 0 п/. ! ! / (6.196) (6.197) где интегрирование производится по всей поверхности. Если мы имеем п поверхностей или панелей, суммарный потенциал в точке Р есть сумма вкладов от каждой панели: и ф/ —— ~ ~„~ о/! и (г,/) //з/. (6.193) 1-1 / Аналогичное выражение можно получить и для распределения диполей. Если в области, где имеются и панелей с распределенными источниками, существует еще и однородный поток, то с учетом его потенциала записываем ф/ = иых/+ ~ —,„~ а/ 1п (гн) /з/. 1 (6.194) 1-/ / Наиболее простое и удобное для проведения численных расчетов выражение получают в случае, когда интенсивности источников панелей полагаются постоянными. В более совершенных методах пользуются другими распределениями, и тогда выражение для потенциала скорости становится более сложным.
Для постоянной интенсивности источников на панели имеем з 6.7. Методы решения уравнения Лапласа 379 В правой части этого выражения стоит скалярное произведение, поскольку иас интересует только нормальная к поверхности компоиеита скорости. Скорость, иидуцируемая в бй контрольной точке 1-й панелью, равна а;/2. Ее обычно выделяют из выписаниой выше суммы. С учетом этого можно записать я о + Х 2 ) дп !и (гп) Иг! — — — 0 и,. (6.198) иг Записанные для каждой панели такие уравнения образуют систему из а алгебраических уравиеиий относительно л иеизвестиых интенсивностей источников.
Вычислив оь можно определить льная вояка 4 Рис. 6.32. Представление тела обшей формы панелями. коэффициенты давления. Когда для нахождения требуемых иитеисивиостей источников иа панелях используется уравнение (6.198), подыитегральиое выражение легко преобразуется к виду д !и (гц) дос = 7, !п(гц) и,. (6.199) В приведенном ниже примере показана процедура составления алгебраических выражений. Пример 6.6. Пусть мы хотим при помощи панельного метода рассчитать давление иа цилиндре единичного радиуса, обтекаемого несжимаемой жидкостью.
Представим цилиндр восемью панелями, конфигурация которых изображена иа рис. 6.88. Для определения распределения давления иа поверхности цилиндра нужно вычислить интенсивности распределенных по панели источников для всех восьми панелей. Для этого решают систему алгебраических уравнений, полученную при помощи записи уравнения типа (6.198) для каждой панели. При этом наибольшую трудность представляет вычисление члена с иитег- 330 Гл. 3, Численные методы решения уравнений течения ралом.
Обычно принято представлять интеграл через коэффициент влияния и записывать систему уравнений в виде н з) и, (С) — =— йпи„й„ С учетом этого соглашения можно записать сц — — ~ Уз(п(ги) пз з(зр (чье; си=и, 1=!. (6.201) з Чтобы продемонстрировать применение уравнения (6.201), вычислим величину саз, которая представляет собой нормальную скорость в контрольной точке панели 5, индуцируемую находя- у (6.200) Т 3 Рнс. 3.33. Распределение панелей на цилиндре. +олаят -е.аазт В этом выражении длина дуги вдоль панели 3 равна х — 0.3827, следовательно, ззгз — — з(х, и мы можем принять координаты х концов панели за пределы интегрирования.
Отметим также, что щимся на панели 3 источником с постоянной плотностью интенсивности 1/У . В этом случае соответствующий радиус есть гза = 1(хз ха) + (Уа Уа)Я)~~~, Уз1п (гза) = (6.202) Единичная нормаль к панели 5 есть просто направленный в сторону положительных х единичный вектор и кз — з (к, — кз)з+ (уз — уз)з В рассматриваемом случае ха =0.9239, уа =0 и у,=0.9239, если ха изменяется на панели 3. Тогда вычисляемый интеграл есть % 6.7.
Методы решения уравнения Лапласа 38! интегрирование вокруг цилиндра ведется в направлении вращения часовой стрелки, которое является положительным для области, в которой мы ищем решение уравнения Лапласа. Матрица [С) симметрическая, т. е. сп = сн, и решение для о; должно быть таким, чтобы Последнее требование очевидно, так как рассматриваемое тело является замкнутым. Рис.
6.34. Коэффициент давления с для кругового цилиндра; О панельный метод; — аналитическое решение. На рис. 6.34 приведены аналитическое и восьмипанельное решения для коэффициента давления. Видно, что в данном случае панельный метод дает очень точное численное решение. В нашем примере мы воспользовались панельным методом с распределенными источниками, чтобы показать, как применяется этот метод.
Точно так же мы могли бы представить тело состоящим из панелей с распределенными диполями, равно как и из панелей с распределенными вихрями. Ясно, что при рассмотрении профилей с подъемной силой мы должны задавать циркуляцию. Это можно сделать разными способами, один из которых состоит в размещении панелей с распределенными вихрями вдоль средней линии профиля, что позволяет наложить циркуляцию и удовлетворить условию Жуковского — Кутты в контрольной точке сразу за выходной кромкой. Панельные методы являются мощным средством решения некоторого класса задач обтекания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
