Anderson-et-al-1 (1185923), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В случае сверхзвуковой маршевой задачи требуется решать уравнения (6.132)— (6.134) с граничным условием непротекания на поверхности дфг'дп = 0 (6.135) и заданным числом Маха в свободном потоке М . Такая постановка задачи существенно проще, чем решение полных уравнений Эйлера. Уравнениеполного потенциала в недивергентной форме было использовано в работах [члгоззшап, 1979; бгоззшап, Б)с!аг1, 1980) для расчета обтекания конических и закрученных с несимметричным профилем дельтовидных крыльев.
Для получения решений была использована недивергентная формулировка и релаксационная схема для трансзвуковых течений. Сейчас мы опишем маршевую процедуру «8)тап)саг, 1981; 8)тап)саг, С)та)сгачаг1Ьу, 1981] решения уравнения потенциала, записанного в дивергентной форме, чтобы пояснить идею линеаризации плотности, использованной в этих работах.
Прежде чем обрисовать в общих чертах всю процедуру, необходимо обсудить конечно-разностную аппроксимацию уравнения потенциала. Так как, считая течение безвихревым, мы вводим потенциал, то в нашей системе уравнений отсутствует механизм диссипации. Вследствие постоянства энтропии уравнения потенциала допускают решения в виде скачков разрежения и уплотнения. В расчете дозвуковых течений нет особенностей. В сверхзвуковых потоках невозможно появление скачков разрежения, и их следует исключить из рассмотрения. Эту трудность можно обойти явно или неявно путем введения искусственной вязкости. где звездочка, обозначающая обезразмеривание функций, опущена, и и = дф/дх, о = дф/ду. (6.133) 5 6.5.
Методы решения уравнения потенциала Н Н Н ° Н Н Направление (( .)) Н Н (1,! ) Н Н. (а) (ь) Рис. 6.21. Аппроксимация, зависящая от типа уравнения; (а) точки эллиптич- ности; (Ь) точки гиперболичности. оси х. Если течение дозвуковое, то уравнение эллиптическое и производные аппроксимируются центральными разностями. Если течение сверхзвуковое, то уравнение гиперболическое в рассматриваемой точке и вторые производные в направлении течения (в продольном направлении) берутся со смещением шаблона вверх по потоку.
Имеем следующие конечно-разностные выражения для вторых производных в точке (1,1): д! 2ов — ь 1+ Ею — 2, У (Ьл)я ав 1+~ еьг — ~ ч'в-ьн1+'в'-ь) — 1 т ху 2 Ьлау Фв 1+~ — ив 1+ Ф~ 1 (ау)я Сеточный шаблон для точек, в которых скорость потока меньше (точки эллиптичности) или больше (точки гиперболичности) скорости звука, показан на рис.
6.21. Изображенные на рнс. 6.21 узлы сетки иллюстрируют корректную зависимость от типа уравнения для до- или сверхзвукового течения. Расположение точек шаблона для стационарного уравнения потенциала говорит в пользу применения неявной (6.136) 12е Мерман и Коул [Мцгшап, Со!е, 1971] в своей знаменательной работе о трансзвуковых течениях указали, что производные в каждой точке области расчета должны быть корректно аппроксимированы в соответствии с типом уравнения. Они рассматривали трансзвуковое уравнение малых возмущений, но эта же идея применима н для уравнения потенциала.
Чтобы проиллюстрировать конечно-разностную аппроксимацию, зависящую от типа уравнения, рассмотрим уравнение в недивергентной форме (6.129). Тип этого уравнения гиперболический в точках, где (иэ+ пэ)/аа — 1) О, и эллиптический в точках, где (пэ+ пя)/ая — 1(О. Пусть поток направлен вдоль 666 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения схемы. Если мы имеем дело только со сверхзвуковым течением, т. е. в расчетной области нет точек эллиптичности, то решение можно получить и по явной схеме. Но этого не рекомендуют делать, если в некоторых точках поля течения скорость потока ненамного превышает звуковую, так как критерий устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви запрещает иметь разумные размеры шага. В этом случае применение явных схем, даже для чисто сверхзвуковых течений, становится непрактичным.
Линия Маха ° а ° ° Направление швченыя ° ° ° ° Ланыя Маха Рис. 6.22. Случай, когда направление сетки не совпадает с направлением течения. Если построить дифференциальное приближение для конечно-разностного представления рах в точках гиперболичности, то окажется, что старшие отброшенные члены имеют вид йх (и' — й) 16„„„.
(6.137) Это эквивалентно введению положительной искусственной вязкости в точках, где иа ) иа. Если конечно-разностная аппроксимация (6.136) применяется в точке эллиптичности, то искусственная вязкость становится отрицательной и возникает проблема устойчивости. Джеймсон [,)ашезоп, 1974) указал, что эта трудность возникает в тех случаях, когда поток сверхзвуковой и компонента и скорости в направлении х меньше скорости звука.
Проблему можно понять, рассматривая случай, когда поток не строго параллелен направлению х, как это показано на рис. 6.22. Шаблон разностной схемы неправильно учитывает область зависимости точки (1,1). Одна из точек шаблона (1, 1 + 1) в этом случае расположена перед характеристикой, проходящей через точку (1,1). Чтобы преодолеть эту трудность, Джеймсон предложил схему, учитывающую разворот потока. $ 6.5.
Методы решения уравнения потенциала где з н и — расстояния, измеряемые вдоль линий тока и по нормали к ннм. По правилу дифференцирования сложных функций вторые производные ф„и ф,„выражаются через х н у следующим образом: 1 = — „„(и'ф„„+ 2иоф,„+ ьафаа), (6.139) 1 ф„„= уа (оаф„„— 2ивф„а+ итф „). В разностной аппроксимации для ф„производные по х н у берутся со смещением назад (с запаздыванием), тогда как для ф„ используются центральные разности. Когда поток направлен вдоль одной из осей координат, схема Джеймсона сводится к уравнению (6.!36) н вводит искусственную вязкость с главным членом вида (1 — —,) (Лзиаф„, + ...).
(6.140) Позтому мы имеем положительную искусственную вязкость во всех точках, где поток сверхзвуковой, н можно надеяться, что скачки будут скачками сжатия. Так понятие искусственной вязкости используется для объяснения свойств решения уравнения полного потенциала. К тем же самым выводам можно прийти путем тщательного анализа конечно-разностных уравнений, рассматривая разные его члены. В работе [На1ег е! а1., 1979) при рассмотрении трансзвуковых течений применена ндея искусственной сжнмаемости для введения искусственной вязкости в сверхзвуковых областях течения.
Эту идею впервые предложнл Хартен [Наг1еп, 19781, пытаясь улучшить методы сквозного счета для сверхзвуковых течений. Для получения требуемой искусственной вязкости в некоторых работах [НоЫ, Ва!!Ьапз, 1979; Но!з1, 1979] использовалось смещение шаблона плотности вверх по потоку. Описанный ниже метод включает в себя этн идеи и очень полезен прн решении уравнения полного потенциала.
Чтобы понять, как через смещение шаблона прн аппроксимации плотности или искусственную сжнмаемость вводится искусственная вязкость, полезно рассмотреть одномерное уравнение потенциала (6.141) Идея состоит в том, что уравнение потенциала записывается в потоковых координатах в виде (а' — !уа) ф„+ а'ф„„= О, (6.138) Зоз Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения Его аппроксимация имеет второй порядок и выражается в следующем виде: Р(Р„п,йф,) =О, (6.142) где обозначения имеют тот же смысл, что и ранее. В точках эллиптичности уравнение (6.142) корректно. В точках гипербо- личности следует добавить искусственную вязкость так, как это делает Джеймсон [.)атезоп, 1975[: — Лх (1аф„,)„, (6.143) где О, н = 1п)п ( е„') (6.144) Как говорилось выше, такое явное добавление искусственной вязкости эквивалентно введенной Мерманом и Коулом [Мпгтпап, Со!е, 1971[ разностной аппроксимации, зависящей от типа уравнения. Джеймсон [Яатезоп, 1975[ показал, что член (6.143) эквивалентен члену вида (6.145) — Лх (тр„ф,)„, где О, и=шах ~~х (6.146) Такое представление получают дискретизацией одномерного уравнения энергии.
Если искусственную вязкость в таком виде ввести в уравнение потенциала, то конечно-разностная аппроксимация уравнения (6.141) будет выглядеть так: — (р — ) = Ч [р,, айф,~ — Ч ~и,(р...— р,, а)Аф,~ =О. (6.147) Было показано [НоЫ, Ва!!Бааз, 1979[, что она имеет второй порядок точности и в дозвуковых зонах эквивалентна аппроксимации уравнения центральными разностями. В сверхзвуковых зонах из-за добавления искусственной вязкости конечно-разностное представление (6.147) является схемой первого порядка с разностями вверх по потоку. По мере увеличения числа Маха шаблон все более смещается вверх по потоку. В дозвуковых зонах шаблон производных плотности не смещается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
