Anderson-et-al-1 (1185923), страница 60
Текст из файла (страница 60)
6.11, ось х (1= 2) направлена вдоль поверхности тела, а первый слой сетки (1=1) находится внутри тела. Если интегрирование уравнений Эйлера осуществляется по схеме второго порядка, например по схеме Мак-Кормака, то параметры потока на поверхности тела можно получить непосредственно из расчета. Значения примитивных переменных в узлах подповерхностного слоя задаются в соответствии с процедурой отражения. Мы полагаем, что давление, плотность и касательная скорость суть четные функции расстояния по нормали вверх от поверхности, а нормальная скорость есть нечетная функция этого аргумента. Тогда давление, плотность и касательная скорость в точке подповерхностного слоя сетки равны 332 Гл.
6. Численные методы решения уранненнй течения соответствующим значениям в первой точке слоя сетки, следующего сразу за слоем, совпадающим с поверхностью тела. Вместе с тем нормальная скорость в точке подповерхностного слоя берется с обратным знаком по отношению к значениям нормальной скорости в соответствующей точке слоя 1 = 3. Для стационарной двумерной маршевой задачи уравнение поверхности тела можно записать в виде Р (х, у) = у — 1 (х) = О.
(6,65) Тогда граничное условие для касательной к поверхности компоненты скорости в случае течения невязкой жидкости есть о = ид~/дх. (6.66) В общем случае условие отражения реализуется при помощи выражений для нормали к поверхности, для нормальной и касательной компонент скорости. Единичная нормаль к поверхности есть п = УР/1ЧР(, тогда касательная к поверхности скорость есть (6.67) п,=пХУХп, м„=(У и) и.
а нормальная— (6.68) Величины скоростей, определяемые уравнениями (6.67) и (6.68), переносятся в точки подслоя, чтобы соблюсти условие отражения. На практике только одна компонента касательной скорости используется как скалярная величина. Выражение для касательной скорости может стать громоздким, если используется полная касательная скорость. Обычно мы получаем систему уравнений, которые необходимо решать также и для точек подслоя в случае применения данной схемы (см. задачу 6.11). Хотя условие отражения сравнительно легко реализуется, регулярного применения оно не находит.
Условие отражения очень неточно для тел с поверхностями большой кривизны. Аббетт (АЬЬе11, 1973] разработал процедуру задания граничных условий, в которой в максимально возможной степени используются физические соображения при формулировке граничных условий в плоскости, касательной к поверхности тела.
Поскольку вычисляемый на последнем шаге процедуры интегрирования вектор скорости не параллелен поверхности тела, то основная идея метода Аббетта состоит в том, что вводится в рассмотрение течение типа простой волны, в котором газ либо сжимается, либо расширяется. При этом поток разворачивается и течет параллельно поверхности. Рассмотрим стационарное сверхзвуковое течение совершенного газа. Пусть мы решаем стационарную маршевую задачу, й 63 Методы сквозного счета и пусть используется ортогональная система координат хь хз, х,, в которой вектор скорости представляется в виде Ч=),и+1,о+ 1~и. (6.69) Компоненты скорости в соответствующих направлениях суть и, о, ю; единичный вектор нормали к поверхности есть и = т г/( ЧР), Касавзевьнов направление ( Раглвз) Рис. 6.12.
Ориентация вектора скорости на поверхности тела. где поверхность тела задается уравнением в' (хи хм хз) = хз — зз (хз, хз) = О. (6.70) Откуда получаем выражение для нормали к поверхности тела 1/Ьз — [()з/Ьз) (д)! дхз) ) — Н)з/Из) (д)/дхзН (6 71) ((/Ьзз + [(1/Ьз) (дЦдх )]~ + ((1/Ьз) (д)/дхз))')цт Вектор скорости можно разложить на нормальную и касательную к поверхности компоненты. Если нормальная скорость рассчитывается в виде и„= (Ч . и) и, (6.72) которую можно переписать в виде яп (ЛО) = (Ч п)/) Ч ).
(6.74) Ориентация вектора скорости относительно поверхности тела показана на рис. 6.12, где изображен также угол ЛО. Вектор скорости Ч построен по значениям скорости на поверхности, рассчитанным в соответствии с принятой схемой интегрирования. Если в качестве последней используется схема Мак-Кормака, то малое угловое расхождение ЛО между вектором скорости и плоскостью, касательной к поверхности, вычисляется по формуле ) яп (гзО) ) = ) п„~Д Ч ), (6.73) 334 Гл. 6.
Численные методы решения уравнений течения то показанный на этом рисунке вектор Ч строится по значениям, полученным на шаге корректор. Напомним, что на поверхности тела следует использовать на шаге корректор разность вперед. Для разворота вектора скорости на угол ЛО так, чтобы он был параллелен поверхности, в поток вводится слабая волна.
Если ЛО положительный, то необходимо, чтобы газ расширялся. Поскольку поток разворачивается на угол Л0, то должно измениться н давление. Для слабых волн давление связано с углом поворота потока следующим образом [см. МАСА Керог1 1135 (Агпез )хезеагсп 51аИ, 1953]: Р' =1 — УМ' АВ+ уМ] (У+1)М' — 4(М* — 1~ ~ Ло'+.... р, з/м — 1 ( 4 (м' — П' (6.75) ] Чя ] = ~/2 (Н вЂ” 1 и ) . (6.76) Теперь могут быть определены компоненты скорости.
Направление нового вектора скорости вдоль поверхности получаем вычитанием нормальной скорости из исходной (т. е. имевшей место до разворота потока) скорости, вычисляемой в процессе решения. В результате получаем выражение Ч,=Ч вЂ” (Ч п)п, (6.77) которое дает касательную компоненту исходной скорости. Полагают, что новый вектор скорости на поверхности имеет то же самое направление, а величина его равна Ч =]Чя]Ч ЛЧ ]. (6.78) Эта процедура расчета граничных условий сравнительно проста в применении и дает отличные результаты (см. Кп(!ег е1 а1,, 1973). Одна из основных трудностей, правда, состоит в опреде- В этом выражении М и р~ — число Маха н давление до поворота потока, ра — давление после того, как поток повернулся.
Определив давление из уравнения (6.75), можно вычислить изменение плотности. В этом месте схема Аббетта требует дополнительной информации. Полагают, что энтропия на поверхности. известна. Величина р/рт известна по крайней мере вдоль линии тока, омывающей тело. Для расчета нового значения плотности ра используются новое значение давления ри и величина энтропии иа поверхности. Величина скорости в касательном направлении вычисляется из стационарного уравнения энергии. Если Н вЂ” полная энтальпия, то скорость вдоль поверхности тела находится в виде 5 6.4.
Метод расщепления матричных коэффициентов 336 ленин надлежащего направления вектора скорости по завершении процедуры. В методе Аббетта полагают, что вектор скорости по завершению процедуры лежит в касательной к поверхности тела плоскости в направлении пересечения касательной плоскости и плоскости, образованной нормалью и исходным вектором скорости. Поправка на то, что это допущение некорректно, не производится. Одна из трудностей постановки граничных условий в методах сквозного счета состоит в обеспечении условий скольжения вдоль поверхности, когда косая ударная волна падает на твердую границу.
Гриффин [Ог)11)п, 1981) получил хорошие результаты, заменяя значение энтропии в последующей точке на поверхности тела (и+ах,0) его значением в предыдущей точке (х, О) плюс изменение энтропии между двумя предыдущими точками в слое над поверхностью тела (х, Лу) и (х — Лх, Ьу). Для стационарных сверхзвуковых течений эта процедура дает оценку значения энтропии на поверхности.
Согласно Гриффину, эта процедура работает очень хорошо при определении корректной величины энтропии на поверхности и дает способ определения граничных условий для областей пересечения ударных волн с твердыми поверхностями.. Кенцер [Кеп1хег, 1970] предложил схему формулировки граничных условий, которая существенно использует соотношения совместности на характеристиках, приходящих к границе из внутренней области, вместе с граничным условием на поверхности. Этот подход аналогичен используемому в неконсервативном методе расщепления матричных коэффициентов, который будет рассматриваться в следующем разделе.
При этом подходе используется условие скольжения вдоль поверхности в дифференциальной форме с соответствующим уравнением совместности. 5 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов Метод расщепления матричных коэффициентов — сравнительно недавнее новшество в классе конечно-разностных методов для решения гиперболических уравнений в частных производных. Введенная Чакраварти [С)та)сгачаг()ту, 1979; СЬаигачаг()ту е1 а1., 1980) в практику исследований схема с расщепленными матричными коэффициентами является недивергентной формой схемы с расщепленнымн потоками, предложенной Стегером [Иедег, 1978).
Метод расщепления матричных коэффициентов использует информацию о распространении сигнала, которую дает теория характеристик. Поэтому мы можем надеяться, что применение этого метода приведет к лучшим результатам по сравнению с теми, которые были получены прежними методами. Так 336 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения оно и оказывается. Рекомендуется применять метод расщепления матричных коэффициентов в тех случаях, когда численно решаются гиперболические уравнения в частных производных, записанные в недивергентной форме. Получили также развитие и другие методы, в которых используется информация, приносимая на характеристиках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
