Anderson-et-al-1 (1185923), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Этот факт изменения типа уравнений послужил толчком к развитию методов решения задач стационарной трансзвуковой аэродинамики, длившемуся многие годы. Для расчета течений невязкой жидкости используются многочисленные упрощенные версии уравнений Эйлера. Для случая несжимаемых жидкостей часто пользуются допущенисм о бсзвихревом характере течения. При этом решение уравнения Лапласа для потенциала Гл. 6. Численные ыетоды решения уравнений течения скорости обеспечивает необходимую информацию. Связана с уравнениями Эйлера и система уравнений для малых возмущений.
Для дозвуковых и сверхзвуковых течений уравнение Прандтля — Глауэрта дает хорошее приближение первого порядка для потенциала. Для трансзвуковых течений уравнение малых возмущений остается нелинейным. В табл. 6.! приведена классификация уравнений движения невязкой жидкости. Таблица й.!. Классификация уравнений Эйлера Дозвуковое течение, м<! Течение со скоростью звука, М ! Свсриввуксввв течение, М > ! Стационарное Нестецнонерное Эллиптическое Гиперболическое Параболическое Гиперболическое Гнперболнческое Гиперболическое Для решения уравнений Эйлера или любых их видоизменений используются самые разные методы. Основная цель настоящей главы — представить получившие наибольшее распространение методы решения задач течения невязкой жидкости.
Так как для нас наибольший интерес представляют конечно-разностные методы, то многие другие методы, интенсивно применяющиеся в последнее время, мы не рассматриваем. Наиболее известным среди них является метод конечных элементов. Он широко применяется для расчетов течений несжимаемой жидкости вокруг конфигураций различной формы. 5 6.2. Метод характеристик В общем случае решений нелинейных гиперболических уравнений в частных производных в аналитическом виде не существует, поэтому приходится прибегать к численным методам для их решения.
Старейшим из них является метод характеристик, который наиболее близок к точному решению гиперболических уравнений в частных производных. Даже если этот метод заменяется новыми наиболее легко реализуемыми конечно-разностными методами, тем не менее в основе этих методов лежат теория характеристик и ее приложения. В гл. 2 мы выяснили, что с гиперболическими уравнениями связаны некоторые направления илн поверхности, которые определяют области влияния. Сигналы распространяются вдоль этих выделенных поверхностей, влияя на решения в других точках внутри областей влияния.
Метод характеристик использует известное физическое поведение решения в каждой точке течения. Понять существенные свойства метода характеристик можно на примере исследования линейного уравнения в частных производных второго порядка. 305 Э бхи Метод характеристик 6.2Л. Линейные системы Рассмотрим стационарное сверхзвуковое течение невязкого нетеплопроводного совершенного газа.
Допустим, что помещенное в однородный набегающий поток тонкое тело только слегка возмущает его, так что течение удовлетворяет предположениям о малых возмущениях (см. п. 5.5.6) и/1/ « 1, о/У « 1, где и и о — возмущенные компоненты скорости. Если исключить из рассмотрения трансзвуковые и гиперзвуковые течения, основные уравнения сводятся к уравнению Прандтля — Глауэрта для сверхзвукового течения.
Если ось х направлена вдоль скорости невозмущенного потока, это уравнение можно записать в виде (1 — М') ф„„+ ф„„=о. (6.!) Число Маха набегающего потока обозначено через М, а возмущенный потенциал скорости — через ф. Начальные условия задаются на гладкой кривой С. В нашем случае в качестве этой кривой принимается прямая х = сопз(.
Граничные условия задаются на у =О. — (х, 0) — У„( — ), ф(0, у) — О. (6.2) 6 — — — =О, т ди до дк ду до ди — — — =0 дк ду (6.3) с начальными и граничными условиями и(0, у)=0, о(0, у)=0, у) О, о (х, 0) = ом, у = О. Чтобы использовать метод характеристик, систему (6.3) следует записать вдоль характеристик. Итак, на первом этапе этой процедуры выписываются уравнения для характеристик. Пусть начальные условия этой задачи заданы на гладкой кривой С.
Рассмотрим методы построения решения уравнения (6.3) вблизи этой кривой. Если решение достаточно гладкое, то первый метод, который следует рассмотреть, состоит в разложе- Чтобы сформулировать задачу для системы уравнений, удобно рассмотреть постановку задачи, почти эквивалентную введенной в гл. 2. Используя возмущенные компоненты скорости и = дф/дх, о = дф/ду и обозначение р'=М~ — 1, уравнение (6.1) можно представить в виде системы Збб Гл. б. Численные метоны решения ураннеиий течения нии в ряд Тейлора в некоторой точке, лежащей на кривой С.
Пусть мы интересуемся решением в малой окрестности этой точки, поэтому оставляем в разложении в ряд только члены с первыми производными. Тогда решение для и либо для о может быть записано в виде "(х+ст» у+оу)=п(х у)+ох д„(х у)+сху д (х у)+ ° °" (6.5) Ии ди Их ди ду + Иа дх да ду да Ио до Нх до ду — = — — + — —. да дх Ыа ду да ' (6.6) Система из четырех уравнений для неизвестных производных (6.3) и (6.6) может быть решена любым стандартным методом, например по правилу Крамера. Очевидно, что определитель коэффициентов этой системы не должен обращаться в нуль.
Если это происходит, то кривая С совпадает с одной из характеристик системы и в соответствии с материалом, изложенным в гл. 2, производные нельзя определить однозначно. Уравнения характеристик получаются из приравнивания нулю определителя системы: ΠΠ— 1 Π— 1 1 О дх ду. — — О О' да На О О Нх 4у да да (6.7) Раскрывая этот определитель и решая характеристическое уравнение, получаем выражения Иу/ах=~ Щ, (6.6) которые являются дифференциальными уравнениями характери- стик, показанных на рис. 6.1. Так как р — константа, то эти урав- нения можно проинтегрировать, что дает (6.9) $ = х — 6У, ч1 = х + ру.
В этом выражении точка с координатами (х,у) находится на кривой, где заданы начальные данные для и и о, т. е. и и о известны на кривой С. Требуется вычислить первые производные в разложении в ряд Тейлора. Если через з обозначать длину дуги вдоль кривой С, то можно записать э б.2. Метод характеристик 307 Исходныс дифференциальные уравнения, записанные вдоль характеристик, называются уравнениями совместности. Их можно вывести, решая исходную систему уравнений для первых производных. Вдоль характеристических направлений определитель коэффициентов системы обращается в нуль.
Если мы ищем решение для любой из первых производных, например для ди/дх, и требуем, чтобы они были по крайней мере ограниченными, то Рис. бя. Характеристики уравнения Прандтля — Глауврта. должен обращаться в нуль и определитель матрицы, образован- ной любыми четырьмя столбцами расширенной матрицы. Это может быть записано в виде 0 0 0 — 1 0 -1 1 0 Фи ду ва ла (6.10) 0 0 нх Ву 0 о'а Ва Раскрывая этот определитель, получаем уравнения совместности или — (йи — о) = О ва (6.12) вдоль распространяющейся влево характеристики Ыу/Нх = 1/6. — „, (1)и+ о) =О (6.11) вдоль распространяющейся вправо характеристики Ну/с(х = = — 1/р и зоа Гл, б.
Численные методы решения уравнений течения Более общая процедура отыскания характеристик описана в книге Уизема [ЮЬ11Ьат, 1974). Ниже мы приведем детали этой процедуры, опуская выкладки. Чтобы найти характеристики системы (6.3), запишем эти уравнения в векторном виде — + [А] — =О, дш дч~ дх ду где (6. 14) Собственными значениями этой системы являются собственные значения матрицы [А]. Последние определяются корнями характеристического уравнения матрицы [А).
Итак, мы записываем 1 — Л [ [А] — Л [!] [= О или 2 = О. — 1 — Л Это приводит к квадратному уравнению Ли — 1фи = О, корни которого суть Л, = 1/6, Ля = — 1ф. Эта пара корней образует дифференциальные уравнения характеристик (6.8), которые мы уже вывели. Так как исходное уравнение Праидтля — Глауэрта есть всего лишь волновое уравнение для 1й, мы могли бы выписать дифференциальные уравиеиия характеристик, используя результаты нашего обсуждения дифференциального уравнения в частных производных второго порядка (2.15).
Следующий шаг состоит в получении уравиеиий совместности. Следуя Уизему, эти уравнения можно получить, умножая систему (6.13) иа левый собственный вектор матрицы [А). Это приводит к уравнениям, записанным вдоль характеристик. Пусть 1.' — левый собственный вектор матрицы [А], отвечающий Л1, и 1.Я вЂ” левый собственный вектор, отвечающий 4. Собственные векторы матрицы [А] находим из уравнения [1. ] [А — Л,!] =О. (6.15) Если положить то $ б.2, Метод характеристик 309 Это приводит к уравнениям ! — + !а=О, р 1! ! ! — + ==О, ра которые эквивалентны, как и ожидалось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
