Anderson-et-al-1 (1185923), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Поскольку ударная волна есть слабое решение гиперболических уравнений Эйлера, мы можем применить к уравнению (5.192) изложенную в 9 4.4 теорию слабых решений. В нашем случае это дает !Е) =О, Е1= Еь Таким образом, Р,и~ = Раня* Р~ + Р1и~ = Ра + Рви>, Р и~о~ = Реиаоь (Еь + р,) и, = (Еь + ре) и,. После простых преобразований находим р,и, = р,и„ р, + р,и~ = р, + р,и, (5.206) п1 == рь 2 а, п1 ' + 2 е + 2 Решая зти уравнения относительно перепада давления на удар- ной волне, получаем ря (т + )) ре (т 1) р~ (5.207) (т + !) 91 — (т — !) ра й 5.6. Преобрвзоввнне основных урввненнй 291 Это уравнение, связывающее термодинамические параметры по обе стороны от ударной волны, получило название соотношения Гюгонио — Рэнкина. Термин соотношения Гюгонио — рэнкина часто применяется ко всем уравнениям, связывающим параметры потока по обе стороны от ударной волны.
Для ударных волн, расположенных под углом к набегающему потоку, т. е. косых ударных волн, изменения параметров потока задаются уравнениями РУл, = Рх)'«„ е 2 Р1 +Р~)хл = Рв+Рекл„ 1хе 1хе 2 в 2 (5.208) где 1'„и )х~ — нормальная и тангенциальная компоненты скорости соответственно. Эти уравнения можно применять также к движущимся ударным волнам, если компоненты скорости измерять относительно движущейся ударной волны. В этом случае нормальная компонента скорости потока перед ударной волной (измеренная относительно ударной волны) может быть связана с давлением за ударной волной (5.209) Последнее соотношение оказывается полезным в численных рас- четах, когда движущиеся ударные волны рассматриваются как разрывы (см.
гл. 6). 9 5.6. Преобразование основных уравнений 1Ол В настоящей главе приведены классические уравнения динамики жидкости. Они были записаны либо в векторной, либо в тензорной форме. В п. 5.1.7 было показано, как эти уравнения могут быть записаны в любой ортогональной криволинейной системс координат. Во многих задачах удобнее, однако, пользоваться исортогональными системами координат. В данном разделе мы покажем, как преобразуется вид уравнений при переходе от декартовой системы координат к неортогональной (или ортогональной) системе координат общего вида.
По ходу изложения мы покажем, как можно использовать простые преобразования для сгущения узлов сетки в областях больших градиентов параметров потока (в пограничных слоях) и как преобразовать непрямоугольную расчетную область в физической 292 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмеи плоскости к прямоугольной сетке с равномерным размещением узлов в вычислительной плоскости. Эти последние преобразования будут представлены простыми примерами, взятыми из очень важного раздела вычислительной динамики жидкости — методов построения расчетных сеток. Подробно методы построения расчетных сеток будут рассмотрены в гл.
!О. 5.6.1. Простые преобразования В этом разделе простые преобразования переменных применяются для того, чтобы показать, как при этом преобразуется внд уравнений. В качестве первого примера рассмотрим задачу сгущения узлов сетки вблизи стенки. В большинстве случаев 1.В (Ь) [а) Рис.
5.5. Распределение узлов сетки вблизи стенки. (а) Физическая пло- скость (х, у); (Ь) вычислительная плоскость (х, у). измельчение сетки совершенно необходимо для разрешения деталей течения в пограничном слое. На рис. 5.8(а) показана сетка для расчета течения на плоской пластине с однородным размещением узлов по направлению х и со сгущением узлов по направлению у по мере приближения к стенке. Так как шаг сетки по направлению у неравномерный, то удобно преобразовать координату у так, чтобы уравнения можно было рсшать на равномерной сетке в вычислительной плоскости (х, у), как показано на рис.
5.8(Ь). Подходящим для такой двумерной погранслойной задачи является преобразование 1. Преобразование 1 х=х, !п ([[) +! — (у/й) 1/[[) — 1+ (у/5В) 1 (5.21О) ! [(5+ !)/(5- 1)1 4 5.6. Преоорааованне основных уравнений 293 Это преобразование растяжения размещает тем большее число точек вблизи у = О, чем ближе параметр р к 1. Чтобы применить это преобразование к уравнениям динамики жидкости, выпишем следующие частные производные: д дх д ду д — = — =+ — =, дх дх дх дх ду ' д дх д ду д — = — =+ — = ° ду ду дх ду ду ' (5.211) где — =1, — =О, дх ду дх ' дх дх ду 2Р ду ' ду й(йа — 11 — (у!Ь))а) )н((Р+ Ц)(Р— !Ц В результате выражения для частных производных упрош ются: д д дх дл ' Если сейчас применить это преобразование к стационарному двумерному уравнению неразрывности для несжимаемой жид- кости, записанному в декартовых координатах ди до — + — =О, дх ду то преобразованное уравнение будет выглядеть так: д ( (д ) д =О.
(5.214) (5.213) где М! и )у! — число узлов сетки в направлениях х и у соответственно. Заметим, что в выражении для метрического коэффициента ду!ду содержится у, поэтому мы должны уметь выражать у как функцию у. Это называют обратным преобразованием. В нашем примере обратное преобразование легко находится в виде х=х, (р+ ц (р ц (1(р+ цдр — ц)!-У) (5.216) ПВ+ Ц!(Р— Ц1' н+ ! Это уравнение можно дискретизировать на равномерной сетке в вычислительной плоскости. Шаги сетки равны Лх=-,, Лу= (5.215) 294 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и тсплообмен Обсуждаемое здесь преобразование растяжения принадлежит к более общему семейству преобразований растяжения []хоЬег[з, 1971]. Другое преобразование этого семейства измель- У У !.0 (Ь) Рис.
5,9. Распределение узлов расчетной сетки в канале. (а) Физическая плоскость (х, у); (Ь) вычислительная плоскость (я, у). чает сетку у стенок канала (рис. 5.9). Оно обозначается как преобразование 2. Преобразование 2 х=х, т (п ([() + [у (2а + 1)/а] — 2а)7[р — [у (2а + 1)/а] + 2а)) у=а+(! — а) (п [(]) + 1)/(Р— 1)1 (5.217) Если а = О, то сетка будет измельчаться только вблизи у = 6, тогда как если а = 1/2, то сетка будет измельчаться как вблизи у=О, так и вблизи у = л. Гобертс показал, что параметр растяжения 5 приближенно связан с безразмерной толщиной пограничного слоя 6/й следующим образом: 5=(1 — брт) и', 0 < бр!< 1, (5.
218) где й — размер сетки в направлении у. Величина растяжения для разных значений 6/й показана на рис. 5.10 для случая а =О. Для преобразования, задаваемого уравнением (5.217), метрика ду/ду есть ду 2Р (1 — а) (2а+ 1) (5.219) ду а ([)Я вЂ” [у (2а+ 1)/а — 2а)а) 1и [(р+ 1)/(]) — 1)] ' а обратное преобразование выражается в виде х=х, й (р+ 2а) [([)+ 1)/([) — 1)]19 "у(' а) — 6+ 2а (5.220) (2а+ ц(1 1 [(р 1 !у(]) 1)]!а-а)Л!-а1) 296 Гл. б.
Основные уравнения механики жидкости и теплообмен Полезным будет преобразование для измельчения сетки вблизи внутренней границы (рис. 5.11). Преобразование 3 х=х, у = В + — аг з)! ~( — — 1) зЬ (тВ)1, где 1. 1+ (е т — !) (Ус/а) .1 Здесь параметр растяжения т изменяется от нуля (нет растяжения) до больших значений, которые производят измельчение 1.0 (и) (Ь) Рис. 5.12. Получение прямоугольной расчетной сетки. (а) Физическая плоскость (х, у); (Ь) вычислительная плоскость (х, У). вблизи у = у,. Метрики ду/ду и у суть ду вЬ (тВ) ду тус ч/1+ 1(у/ус) — Ц вьс(тВ) (5. 222) (5.223) В качестве последнего примера рассмотрим простое преобразование, которое переводит непрямоугольную область в физической плоскости в прямоугольную область в вычислительной плоскости, как показано на рнс.
5.12. Оно обозначается преобразованием 4. Преобразование 4 х=х, у=у/й(х). (5.224) $ 5.6. Преобразование основных уравнений 297 Расстояние между нижней и верхней границами, измеряемое вдоль линии х=сопз(, обозначено через Ь(х). Необходимые частные производные записываются в виде д д й'(х) д — о дх дх У Ь(х) ду ' д 1 д ду й(х) ду ' (5.225) где й'(х) = ЙЬ(х)/с(х.
Отсюда двумерное стационарное уравне- ние неразрывности для несжимаемой жидкости, записанное в де- картовых координатах, преобразуется к виду ди й' (х) ди 1 до = — у ==+===О. дх й (х) ду й (х) ду (5.226) 6.6.2. Преобразование общего вида Выше мы рассмотрели простые преобразования независимых переменных, которые позволяют решать задачу на равномерной сетке. Рассмотрим теперь преобразование общего вида $=$(х, У, 2), т)=т)(х, у, 2), ~=~(х, У, 2), (5. 227) которое отображает физическую плоскость (х, у,2) на вычислительную плоскость (9, т), ь).
по правилу дифференцирования сложной функции имеем (5.228) Возникающие в этих выражениях метрические коэффициенты $ т)к, ьк, вг, т)г, ьд вк, т)„ьк могут быть найдены следующим образом. Запишем сначала выражения для дифференциалов С$ = $к ттх + Ьу ттУ + Ь Гтх, втт) = т)„т(х + пв т2у + т), Ы2, сто = ~» с(х + ~» тту + ~» тт2, (5.229) — =$ — + д д дх "д$ д д — =$ — + ду "д$ д д — =$ — + дг кд$ д д ч — +1— кдт) «дн д д ч — +1 —. " дп " дь ' д д ч.— + 1 —. дп к дн ' или в матричной форме (Ч = Ч.Ч т). ау (5.230) Аналогичным образом можно записать Ф = ус уч ус (ч . (5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
