Anderson-et-al-1 (1185923), страница 54
Текст из файла (страница 54)
23! ) Таким образом, т).ч,а=усу, Ус учхс усач (хчхс хсхч) =,à — (у гс — усхс) хсгс — хсгс у,зч — унес — (хсхч — хчхс) хчус хсуч — (х ус — хсус) . (5.232) хсу — хчус Следовательно, метрические коэффициенты имеют вид сх = т(учхс усач) св = т(хчхс хсхч) за = Г(х,ус — хсуч) т)„= — Х (у хс — усас), ив=У(хеопс — хсзр ), ч, = — У (хсу — хсдс), ~. = ((Усач - учхс), ~„= — Х (хсгч — х„хс), 1, = У (хсуч — хчус), (5.233) где У вЂ” якобиан преобразования: ьх ьу ьа (5.234) 298 Гл. б. Основные уравнения механики жидкости и теплообмеи 300 Гл. 5.
Основные уравнения механики жидкости и теплообмен (5.233). Если теперь опрсдслить величины 0 Ц= —, у ' Е, = — (Е5, + Г$„+ бй,), Г = у (Ет),+ Гт)я+ бт),), б, = — (Е9„+ Г9я+ б~,) (5. 239) и подставить их в уравнение (5.238), то уравнение в строго дивергентной форме будет выглядеть следующим образом: — + — + — + — =О. д()~ дЕ~ др~ дб1 дт дй дч дй (5. 240) Необходимо помнить, что векторы Е!, Г! и б! содержат частные производные в членах с вязкостью и теплопроводностью, которые должны быть преобразованы в соответствии с уравнениями (5.228).
Например, сдвиговые напряжения т „будут преобразованы к виду ди ди ди до до до Х ".=~(~.—,5+ ).— „+~.— „+~.— „+ ).—,„+~.— „). (5.241) Строго дивергентная форма записи уравнений удобна при составлении разностных схем. Следует, однако, быть внимательным при ее использовании на сетках с переменным шагом. В этом случае во избежание внесения ошибок в решение при дискретизации метрик необходимо соблюсти ограничение, называемое геометрическим законом сохранения (ТЬотаз, 1отЬагг(, 1978). Оно будет обсуждено в гл.
10. Задачи 5.1. Проверьте равенство (5.9). 5дь Покажите, что для несжимаемой жидкости с постоянными свойствами уравнение (5.18) сводится к уравнению (5.21). 5.3. Проверьте равенство (5.30). 5.4. Используя процедуру обезразмеривания, описанную в п. 5.1.6, выведите уравнение (5.47). 5.5. Запишите уравнение энергии (5.33) для осесимметричного течения в координатах, связанных с телом.
5.6. Запишите уравнение Навье — Стокса (5.х!) для несжимаемой жидкости в сферической системе координат. Задачи 30! 555 Покажите, что р'и" = р'и'. 5яй Покажите, что й — й = р'и'/р. 5.9. Проверьте, что и" = — р'и"/р. 5.10. Исходя нз уравнения (5.80), покамгите все шаги получения уравнения (5.8!). 5Л1. Получите уравнение (584) подстановкой с,Т = // — Рйй>/2 в уравнение (5.81). 5.12. Пока>ките все этапы получения уравнения (5.75) из уравнений Навье — Стокса. 5.13. Оцени~с по порядку величин члены двумерного уравнения Навье— Стокса для несжимаемой жидкости в случае двумерной ламинарной струи и покажите, какими членами можно пренебречь. 5.14.
Объясните, почему уравнения пограничного слоя можно применять в случае развивающегося течения в трубе. 5.15. Укажите граничные условия для уравнений тонкого сдвигового слоя для случая двумерного сдзигозого слоя, образованного слиянием двух однородных потоков со скоростями (>, н (>ь 5.16. Уравнения пограничного слоя (5.104) †(5.!06) были получены для чисел Прандтля порядка единицы. Для ламинарного течения на нагреваемой плоской пластине покажите, какие изменения в эти уравнения следует внести, чтобы они были пригодны для чисел Прандтля порядка е, е', 1/е, 1/ет.
5.17. Используя уравнения Навье — Стокса, получите точные уравнения переноса рейнольдсовых напряжений для несжимаемого турбулентного пограг> пичного слоя, т.е. получите выражения для р0и>и//М. Покажите все этапы процедуры. 5.18. Используя выражения для переноса напря>пений Рейнольдса из задачи 5.17, положите в них 1 = /, чтобы получить выражение для переноса кинетической энергии турбулентности. 5.19. Используя модельные формы уравнения кинетической энергии турбулентности (5Л47), покажите, что, иогда конвенция и диффузия иинетической энергии турбулентности пренебрежимо малы, то модель кинетической энергии турбулентности сводится к формуле Прандтля для длины пути смешения.
5.20. Полагая, что конвенция и диффузия кинетической энергии турбулентности малы внутри области логарифмического закона скорости для пристенного турбулентного пограничного слоя, найдите выражение для кинетической энергии турбулентности на внешней границе области логарифмического закона скорости в терминах сдвиговых напряжений на стенке. Сравните эту оценку с экспериментальными намерениями Е, которые выполнил Клебанофф (см. [Н!пхе, !975)). 5.21. Считая формулу Прандтля длины пути смешения справедливой для пристенного турбулентного пограничного слоя, получите выражение для отношения кажущейся турбулентной вязкости к молекулярной вязкости для области логарифмического закона, 5.22.
Проверьте граничное условие для й на внутренней границе, задаваемое уравнением (5.!48). 5.23. Определите функцию тока стационарного двумерного течения сжимаемой жидкости, рассматриваемого в связанных с поверхностью тела ноординатах. 302 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен 5.24.
Получите уравнение (5.220). 5.25. Проверьте уравнение (5.222) и (5.223). 5.20. Преобразуйте двумерные уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости (5.21), используя преобразование (5.217]. 5.27. Покажите, что преобразование х=гсозй, у=гз|пй, г=г будет переводить трехмерное уравнение неразрывности сжимаемого газа, записанное в цилиндрических координатах, в уравнение неразрывности, записанное в декартовых координатах. 5.28. Последовательно примените преобразования (5.224) и (5.210) н уравнению энергви невязкого газа (5.179), записанному для стационарного двумерного течения.
5.29. Преобразуйте двумерцос уравнение неразрыгиюсти др дри дрс — + — + — =0 01 дх ду к вычислительной плоскости (т, $, т)), используя преобразование т=г, 5=3(1, х, у), т)=т1((, х, у). Воспользуйтесь методикой Вивьяна, чтобы записать преобразованное уравнение в дивергентной форме. 5.30.
Преобразуйте стационарные уравнения Эйлера (5.!92) к координатам (3, ть ь), используя преобразование В=х, т1=т1(х, у, г), 9=9(х, у, г). Воспользоваться методикой Вивьяна, чтобы записать преобразованные уравнения в дивергентной форме. 5.31. Рассмотрите преобразование т=г, э=я(1, х, у, г), з) = т) (1, х, у, г), ь=к(й х, у, г). (а) Определите выражения для якобиава этого преобразования, а также для метрических коэффициентов.
(Ь) Выполните это преобразование для уравнений Навье — Стокса для схспмаемого газа, записанных в векторной форме (5.44). Глава 6 Численные методы решения уравнений течения невязкой жидкости 6.1. Введение Уравнения Навье — Стокса описывают течения жидкости в задачах как внутренней, так и внешней аэродинамики. Численное решение уравнений Навье — Стокса зачастую невозможно или по крайней мере нс представляет практического интереса, а во многих задачах в нем просто нет необходимости. результаты, полученные из решения уравнений Эйлера, имеют практическую значимость на стадии предварительного проектирования, когда требуется только знание распределения давления.
В задачах расчета трения и теплопередачи решение уравнений пограничного слоя дает адекватные результаты. Однако на первом этапе анализа требуется найти граничные условия на внешней границе опять-таки из решения уравнений течения невязкой жидкости. Уравнения Эйлера представляют и самостоятельный интерес, поскольку в них содержатся основные элементы динамики жидкости. Например, в течениях жидкости часто возникают внутренние разрывы, такие, как ударные волны или контактные разрывы.
Известные соотношения Гюгонио — Рэнкина связывают конечные параметры газа по обе стороны от ударной волны. Эти соотношения содержатся в решениях уравнений Эйлера. Уравнения Эйлера описывают течения невязкого нетеплопроводного газа и имеют различный тип при разных режимах течения. Если в нпх сохрапсны зависящие от времени члены, то тип получающихся нестационариых уравнений гиперболический для любых чисел Маха и они могут быть решены с использованием маршевых по времени процедур. Совсем другая ситуация имеет место при рассмотрении стационарных течений. В этом случае тип уравнений Эйлера эллиптический на дозвуковых режимах течения и гиперболический на сверхзвуковых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
