Anderson-et-al-1 (1185923), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Модели такого типа были разработаны для расчета перехода, влияния эффектов шероховатости, проницаемости стенок, градиентов давления и качественного учета реламннаризации. Сообщается, что эти модели тестировались в основном на задачах внешнего обтекания, а не на задачах течения в каналах. Хотя модели 5Р, 5Е и 5Г, по-видимому, являются чисто эмпирическими релаксационными моделями или моделями с запаздыванием, было показано ]В(гс)т, 1976], что модели этого типа на самом, деле эквивалентны одномерным вариантам уравнений в частных производных для переноса рассматриваемых величин, за исключением того, что эти уравнения переноса нельзя получить из уравнений Навье — Стокса.
Это не слишком большой недостаток, поскольку их все равно нельзя решать без упрощений эмпирического характера и моделирования членов. В конце концов независимо от своей природы эти уравнении принимают вид, в котором имеются члены, описывающие генерацию, диссипацию, диффузию и конвекцию рассматриваемых величин.
Модель 5Р для пристенных пограничных слоев использует выражение (5.132) для длины пути смешения во внутренней части. Во внешней части длина пути смешения принимается равной (о = 0.12Т, (5.142) 272 Гл. б. Основные уравнения механики жидкости н теплообмеи внешней границей течения, а иа заменяется на продольную скорость, осредненную по сдвиговому слою. Оптимальная оценка мо по-видимому, не найдена. Выражение йт =(Е/5) (]т ]/р„) ыа с успехом применяется для течений вдоль твердых поверхностей, тогда как й, =(т,„/р„)ыа оказалось вполне удовлетворительным для свободных сдвиговых течений. Можно было бы предположить, что последнее выражение будет приемлемым и для пристенных пограничных слоев.
В окончательном виде обыкновенное дифференциальное уравнение для переноса Л в случае пристенных пограничных слоев ]Р!е1сЬег, 1978] и смешивающихся сдвиговых слоев в кольцевых каналах ]Ма!й, Р!е1с)тег, 1978] можно записать в виде и,— „„=1.25~ ™ ~ ~ — — Я ~. (5.144) 5.4.5. Модели с одним уравнением Очевидный недостаток алгебраических моделей турбулентной вязкости, в которых от в выражении для рт = рог1 обычно оценивается по формуле от =1]ди/ду~, заключается в том, что 1ат = йт =О всюду, где ]ди/ду]=О. Это означает, что рт и дт будут нулями на центральной линии трубы, в областях перемешивания пристенной струи с основным потоком и при течении между двумя плоскими стенками, когда одна стенка горячая, а другая холодная, при истечении через круглое отверстие.
ИзмеРениЯ да и зДРавый смысл говоРЯт, что 1ат и дт не Равны нУлю в условиях, когда ди/ду=О. Модели длины пути смешения можно подкорректировать, чтобы преодолеть и это их слабое место, но этот их принципиальный недостаток побуждает к поискам других выражений для 1хт и Фт.
В пользу алгебраических моделей следует сказать, что этот их недостаток не всегда является решающим, так как рейнольдсовы напряжения и тепловые потоки часто бывают малыми, когда ди/ду = О. В работе [Ма1й, Р!е1спег, 1981] приведены примеры, иллюстрирующие это явление. В 40-х годах Прандтль и А. Н. Колмогоров предположили, что в формуле 9, = рот1 скорость и, пропорциональна корню квадратному из кинетической энергии турбулентности й = '/аи',.и„'. Таким образом, турбулентную вязкость можно оценивать как рг =С„р((й)ц' (5.145) и 1хт уже не обращается в нуль, когдка ди/ду = О. Кинетическая энергия я — величина, доступная измерениям, и ее легко интерпретировать с физической точки зрения.
Встает вопрос, как рассчитать й. й бм. Введение в моделирование турбулентности 273 Уравнение для и можно получить (задача 5.18) из. уравнений Навье — Стокса. Для двумерного течения несжимаемой жидкости в приближении тонкого слоя его можно записать в виде ттв дай д —,, —,, —,, ди р — = 14 — — — (ро'й'+ и'р') — ро'и' —— И ду' др ду р[(д ) +(д ) +( д ) 1 (5.1461 которое в свою очередь обычно моделируется уравнением т ("с) й(х, ус)= —, рст/в (5.148) где у,— координата точки внутри области, где, как ожидается, справедливо логарифмическое распределение скорости. Если же у(у„то можно использовать алгебраическую модель типа В этом уравнении члены имеют следующий физический смысл: член слева — приращение я в жидком объеме, первый член справа — скорость диффузии для я, второй член — скорость генерации для й, третий член — скорость диссипации для й.
Это модельное уравнение решается совместно с системой уравнений в частных производных, описывающих рассматриваемое течение жидкости. Заметим, что параметр 1 необходимо задавать алгебраической формулой. В уравнении (5.147) Рта — число Прандтля для кинетической энергии турбулентности ( — 1.О), а Со — 0.164, если 1 считать обычной длиной. пути смешения. Приведенное выше модельное уравнение справедливо только для полностью развитых турбулентных течений, т. е. вдали от демпфирующего влияния стенки.
Для типичных пристенных течений это означает, что у+ должно быть больше 30. Для задания внутренних граничных условий для й часто используют пристенные функции (Еанпбег, Зра!61пд, 1974). Другой способ задания внутренних граничных условий для й основан на известном экспериментальном наблюдении, что вблизи стенки конвекция и диффузия й обычно малы.
Поэтому генерация и диссипация Л уравновешивают друг друга и можно показать (задача 5.19), что модель для кинетической энергии турбулентности сведется при этих условиях к модели длины пути смешения (5.131). В области, где диффузией и конвекцией можно пренебречь, в качестве внутреннего граничного условия для л можно использовать (задача 5.22) 274 Гл, З. Основные уравнения механики жидкости и тенлооомен модели Прандтля [(5.131) и (5.!32)]. В работе [1аппдег, Зра!- с!!пд, !972] можно найти дальнейшие подробности применения моделей из одного уравнения для течений несжимаемой жидкости.
Не так давно модель турбулентности с одним уравнением была распространена на случай течения сжимаемой жидкости [КиЬез!п, 1976], и полученные к настоящему времени результаты выглядят обнадеживающе. Представляется очевидным, что для течений, где есть взаимодействие с ударной волной, которое заметно влияет на уровень турбулентности в потоке, расчеты по модели Губезина с одним уравнением являются определенным улучшением по сравнению с расчетами по алгебряическим моделям. В целом, однако, качество большинства моделей с одним уравнением (как для несжимаемой жидкости, так и для сжимаемой) оставляет желать лучшего даже в тех немногочисленных случаях, когда применение этих моделей дает лучшие результаты по сравнению с расчетами по алгебраическим моделям.
На самом деле некоторые течения могут быть рассчитаны с большей точностью по моделям с одним обыкновенным дифференциальным уравнением, нежели по модели с одним уравнением типа Прандтля — Колмогорова, которая просто дает изменение скорости турбулентности в выражении для турбулентной вязкости. Причина этого может лежать в том, что для большинства течений улучшение в задании величины характерной длины ! дает больший эффект, чем изменение скорости турбулентности о,.
Многие из моделей с одним обыкновенным дифференциальным уравнением, перечисленные в табл. 5.3, дают ббльшую точность масштаба длины. Были предложены и другие модели с одним уравнением, отличающиеся от уравнений, основанных на подходе Прандтля— Колмогорова. Наиболее известна из них модель Брэдшоу [ВгадзЬачт е! а1., !967]. В модели Брэдшоу используется уравнение для кинетической энергии турбулентности, но моделируется она иным способом. Также иначе записано и уравнение движения, в котором турбулентные сдвиговые напряжения предполагаются пропорциональными !е. Подробности модели здесь обсуждаться не будут, однако интересной чертой модели Брэдшоу является то, что как следствие формы моделирования членов турбулентного переноса тип системы становится гиперболическим и она может быть решена методом, аналогичным методу характеристик.
Модель Брэдшоу с успехом применяется для расчета пристенных пограничных слоев, но при всем этом результаты ненамного лучше результатов расчета по алгебраическим моделям или моделям с одним обыкновенным дифференциальным уравнением.
й 5.4. Введение в моделирование тррбулевтвости 275 5.4.6. Модели с однвм уравнением и одним обмановеннмм дифференциальным уравнением и модели с двуми уравнениями При переходе от моделей длины пути смешения к моделям с одним уравнением принципиальный шаг вперед состоял в том, что последние допускают изменение параметра, описываемое уравнением модели. В моделях с одним уравнением характерная длина по-прежнему задается алгебраическим выражением и зависит только от локальных параметров течения.
Однако исследователи турбулентности интуитивно чувствовали, что масштаб длины в турбулентных моделях также должен зависеть и от предыстории течения, а не только от локальных условий. Очевидный способ учесть более сложную зависимость 1 от картины течения заключается в том, чтобы записать уравнение переноса для изменения 1. Если в систему добавляется обыкновенное дифференциальное уравнение, как, например, (5.144) для модели 5Р, то результирующую модель можно было бы назвать моделью с одним уравнением и одним обыкновенным дифференциальным уравнением. Такая модель использовалась для расчета отрывных турбулентных пограничных слоев в задачах внешнего обтекания [Р)е!с!тег, 1978), для течений в круглых каналах с тепло- передачей [Ма!!!4, Р!ес!тег, !981], для плоских и круглых струй [М!па!е, Г!е!с!тег, 1982).
Когда для масштаба длины получают уравнение в частных производных, то такую модель часто называют моделью турбулентности с двумя уравнениями. Хотя можно получить уравнение в частных производных для масштаба длины, члены его не так просто моделировать; в некоторых работах добились большего, решая уравнение переноса для параметра, связанного с масштабом длины, а не для самого масштаба длийы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
