Anderson-et-al-1 (1185923), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Поэтому термины пограничнотй слой и приближение пограничного слоя трактуются в более широком смысле, что позволяст относить пх к условиям, когда можно вообще не рассматривать уравнение двюксния в поперечном направлении и в оставшемся уравнении (нли уравнениях в трехмерном случае) можно пренебречь членом со второй производной в продольном направлении. В этом более широком смысле эти упрощенные уравнения называются уравнениями тонкого сдвигового слоя. Данный термин кажется более подходящим, особенно для уравнений, описывающих свободные сдвиговые течения, такие, как струи и следы, а также течения вдоль твердых границ. Мы будем использовать оба термина, пограничный слой и тонкий сдвиговый слой, нс делая разницы между ними.
з 5.3. Уравнения пограничного слоя 247 5.3.2. Приближение пограничного сиоя для стационарного течении несжимаемой нсидяости Методику, используемую для получения приближения пограничного слоя для уравнений Навье — Стокса и Рейнольдса, удобно продемонстрировать на примере стационарного двумерного течения нссжимаемой жидкости с постоянными свойствами вдоль изотермичсской поверхности с тсмпсратурой Тм. Прежде всего определим безразмерные переменные и И о * о о и д == — ', р О— Т вЂ” Т (5.95) и введем их в уравнения Навье — Стокса.
В результате получим Уравнение неразросвности ди" до* —, + —,=О. дх' ду' (5.96) Урагнение движения по оси х , ди* ди' др* ! т д'и' дао" х и* — „+ о' —, =- — —. + — ( —,. + —,), (5.97) дх" ду' дх* Ке (, дх'е ду'т ) ' Уравнение движения по оса у , до* „до" др" 1 т дто' д'о' х и' — + о" —, = — —, + — ~ — „+ —,т!. (5.98) дх дУ' дУ' нес ~, дх "~ ду'т / Уравнение энергии дв,дв ! т дав давк Г .др",др*Х + ~ (2(а „)л+2(д .) +(дк' +д *)1, (599) где Вес ==-(ри Т.)/и — число Рейнольдса; Рг = с !с/я — число Праидтля; Ес =2(Та — Т ) /(Т вЂ” Т ) — число Эккерта; и, Т вЂ” скорость и температура нсвозмущснного потока соответственно, а ҄— температура заторможенного потока. Произведенис !се Гг известно также как число Пекле Рс.
Следуя Праидтлю, предположим, что толщины динамического и теплового пограничных слоев малы по сравнению с характерной длиной в продольном направлении, т. е. б/Е « 1 и б~/Е << 1 (рис. 5.5). Положим е -.=- б/1. и е; — — б~//.. Величины е и е~ обе малы; будем считать, что они одного порядка малости, Если дб/дх и дб!/дх всюду малы, то и е и е; малы на всей длине 1., 248 Гл.
5, Основные уравнения механики жидкости и теплообмен На расстоянии Т. от начала пограничного слоя оценим типичные или ожидаемые величины членов в уравнениях. Как правило, мы оцениваем величины производных по «среднему значению», которое получают из конечно-разностного соотношения в ожидаемом диапазоне изменений переменных в пограничном слое. Например, оценим величину дй/дх", заметив, что при обтекании пластины однородным потоком й изменяется р д и Рис.
5.5. Обозначения и система координат для пограничного слоя на плоской пластине. от единицы до нуля при изменении х* от нуля до единицы. Таким образом, мы говорим, что ожидаемый порядок величины дй/дх' равен 1. Другими словами, !%1=! ы1= Множитель порядка двух не имеет значения в наших оценках, тогда как множнтсль порядка 1Π— 100 важен и дает порядок величины. Следует отметить, что скорость на внешней границе может немного отличаться от и (так бывает в случае течений с градиентом давления).
При этом порядок величины ди*/дх* остается прежним. Установив, что ди'/дхе- 1, оценим член дав/ду* из уравнения неразрывности, требуя, чтобы он имел тот же порядок. Поскольку в пограничном слое уе изменяется от 0 до е, то и и* тоже будет изменяться между 0 и е. Итак, и" в.
Если из-за какого-либо возмущающего фактора дб/дх становится локально большой величиной, то в силу уравнения неразрывности и' также может быть локально большой. Очевидно, что безразмерная тепловая величина О изменяется от 0 до 1 в несжимаемой жидкости с постоянными свойствами. Сейчас мы в состоянии установить порядок величин всех членов уравнений Навье — Стокса. Оценки указаны под соответствующими членами уравнений (5.100) — (5.103). й 5.3.
Уравнения пограничного слон Уравнение неразраевности ди* до" — „+ — „= О. дх" ду" ! ! (5. 100) Уравнение движения по оси х , дн* . дй др' ! / д'и' д'и* '! дх" ду" дх* йес 1 дх" духа). е !ге ! е' ! !/е-' (5.101) Уравнение движения по оси у и' — „+ о* — „= — —. + — ~ — „, + — ', ). (5.102) , до" * до' др* ! т део" „део' х с У* дУ нес !, дх"а ду*е) е ! е е' е !/е ! е Уривнение энергии е Ие е' Л Це-' е е + — „" [2 ( — '„".)'+ 2(д .)'+ ( —,'". +,'™,)'~. (510З) ! ! е' ! !ге Несколько замечаний о процедуре оценки членов.
В уравнении (5.101) порядок величины градиента давления устанавливают, замечая, что на внешней границе вязкой области уравнения Навье — Стокса переходят в уравнения Эйлера (см. $ 5.5). Градиент давления должен уравновешивать инерционные силы. Поэтому порядок величины градиента давления и инерционных членов должен быть одинаков. Требуем также, чтобы наибольший из вязких членов был одного порядка с инерционными членами. Для этого порядок величины Кее должен быть 1/ен, как можно видеть из уравнения (5.101). Порядок величин всех членов уравнения (5.102) можно установить прямым путем, за исключением градиента давления.
Так как градиент давления должен быть уравновешен другими членами этого уравнения, то его порядок не может быть больше порядка остальных членов уравнения (5.102). Поэтому его максимальный порядок должен быть е. В уравнении энергии мы до некоторой степени произвольно положим, что порядок числа Эккерта равен единице. Следует считать это значение типичным. Число Эккерта в некоторых приложениях имеет порядок больший или меньший. Порядок величины числа Пекле Ре = !те.
Рг, как установлено, равен 1/е'. Так как при рассмотрении уравнения предполагалось 250 Гл, 6. Основныс урввнспнп мехаппкп жпдкостп и тсплооомсн Уравнение неразрывности ди до — + — =-О. дх ду (5.104) Уравнение движения и — +о — = — — — — + т —,. ди ди 1 др дхи (5.105) дх ду р дх дуе ' Уравнение энергии дТ дТ деТ рги др р т ди Хе и — + и — = а —, + — — + — ~ — ~, (5.106) дх ду дух рср Их рос ~ ду ! где т = 1х/р — коэффициент кинематической вязкости и а = = я/ре — коэффициент температуропроводности.
Уравнение энергии можно обобщить на случай неидеального газа путем введения коэффициента объемного расширения ~ др':1 р дТ ~р' Для идеального газа р = 1/Т, где Т вЂ” абсолютная температура. Следует подчеркнуть, что последние два члена в уравнении (5.106) сохранены на том основании, что Ес 1.' Если для некоторого частного случая течения порядок величины Ес стано- Кех- (1/е'), то это дает Рг — 1. Это полностью соответствует нашей исходной гипотезе о том, что е и е~ обе малы, т. е. 6 ж 6ь Другими словами, мы считаем, что числа Пекле и Рейнольдса имеют одинаковый порядок величины. Следует ожидать, что настоящие результаты применимы для потоков, в которых число Прандтля нс сильно отличается от единицы.
Точные границы такого анализа должны быть установлены сравнением с экспериментальными данными. Для.последнего члена в квадратных скобках уравнения (5.103) указано три порядка: порядок 1 относится к оценке величины удвоенного произведения, возникающего при возведении в квадрат. Выполнив перемножение, видим, что все члены уравнения движения по направлению х имеют один порядок величины, за исключением члена со второй производной (диффузия) в п(годольном направлении, порядок которого вв. В уравнении движения по направлению у нет членов, порядок которых больше а.
В уравнении энергии несколько членов имеют порядок величины, равный единице, хотя порядок членов, связанных с работой сил давления и вязкой диссипацией, меньше. Сохраняя в уравнениях лишь члены, порядок которых равен 1, получим уравнения пограничного слоя. Ниже они записаны в размерных переменных. й 5.3. уравнения пограничного слоя 25) (5.107) Не составляет труда получить уравнения пограничного слоя для течений жидкости с переменными свойствами и/или сжимаемой жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
