Anderson-et-al-1 (1185923), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Йеь = —. рсо Если эту процедуру применить к уравнениям Навье — Стокса для сжимаемого газа (5.43) и (5.44), то получим следующие безразмерные уравнения: д0' ди' дг' дб' — + —, + —, + —. =. О, д1" дх' др* да' (5.45) где р -р"и' р*о' р гд' Ес йа Уравнения динамики жидкости часто приводят к безразмерному виду. Преимущество такой формы записи в том, что такие характеризующие течения параметры, как число Маха, число Рейнольдса, число Прандтля и другие, могут варьироваться независимым образом. К тому же после приведения уравнений к безразмерному виду параметры потока «нормализуются», так что их величины изменяются в обозначенных пределах, например между О и 1.
Возможны разные процедуры обезразмеривания. Например, 223 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен р"и' ри-+ р — тхх р"и'о* — т* ХУ рию — т «7 (Е; + р') и' — и'т,'„— о*т„*„— ю'т„", + д„" (5.46) р"о' рио — т ХЮ Ро +р тию р'о со* — т* ЯХ р ео р'и и' — т* «7 р'о"ео" — т* и« (Е*, + р") ео' — и'т„', — о'т„', — ео'т*„+ д,' *(,+ и' +о" +в' ) Компоненты тензора напряжений н вектора теплового потока в безразмерном виде суть 2р' 7 ди' до' дм" ~ т" ~2 —. — —. — — ), «х Зйе 1, дх ду' дх )' 2р* Г дм' ди" дп' ~ 3 йе (, дг" дх" ду' ) ' (5.47) й 5.1, Основные уравнения 229 дТ' Р (т — !) М йе Рг дх' р дт' Чав (т — 1) Мз Нес Рг ду' РЯ дТ' Ч (т — 1) Мз Деь Рг да' где М вЂ” число Маха, посчнтанное по параметрам невозмущенного потока М„= У„Кувт„, н уравнение состояния совершенного газа (5.39) приводится к виду 5.1.7.
Криволинейные ортогональные координаты Уравнения динамики жидкости могут быть записаны в любой системе координат. Ранее мы выписали этн уравнения для декартовой системы координат. Во многих приложениях удобнее пользоваться какой-либо другой ортогональной системой коордннат. Определим криволинейную ортогональную систему коордннат общего вида хь хз, хз, начало которой находится в точке Р, н пУсть (ь 1з, (з — соответствУющие единичные вектоРы (рнс. 5.2). Координаты декартовой прямоугольной системы связаны с криволинейными координатами общего вида соотношеннямн Х=х(21, Хз Хз) у='у(х„хз, х,), 2= 2 (Хы Хз, Хз). Если якобнан д(х, у, 2)/д(хьх„хз) отличен от нуля, то х, =х,(х, у, 2), ха=хе(х, и, 2), хз=х,(х, У, 2).
(5.49) тМз р' р' = (у — !) Р*е", Т = —. р Заметим. что безразмерные уравнения (5.45) н (5.46) идентичны размерным уравнениям (5.43) н (5.44), если в записи уравнений опустить звездочку. Для сокращения записи звездочки в безразмерных уравнениях можно опускать, что обычно н делают. 230 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен Длина элемента дуги в декартовых координатах равна (Ыз)з = (с(х)т + (Нд)з + (Нг)т. (5.50) Если уравнения (5А8) проднфференцировать и подставить в уравнение (5.50), то получим (с(з)з=(Ь, дх1)з+ (ЬзЫхз)з+ (Ьздхз)з, (5.51) где Пусть 15 — произвольный скаляр, А — произвольный вектор, тогда для градиента„ дивергенции, вихря и оператора Лапласа Рис.
5;2. Ортогональная криволинейная система координат в криволинейных координатах общего вида имеем следующие выражения: рр = — — 1, + — — 1 + — — 1з,, (5.52) 1 дФ 1 дФ 1 дФ Ь! дх~ Ьз дхз Ьз дха ту ° А = Ь ь Ь ~ дх (ЬзйзАД + дх (ЬзЬ1Аз) + дх ~Ь~ЬзАо)), (5.53) $5.!. Основные уравнения 231 (5.55) з ХА = и ии и, (Ь~! дх ",(ЬзАз) — д (ЬзАз) ~ 1з + 1 д д + Ьз ~ д (ЬзА1) д» (ЬзАз)1 'з + (5.54) Выражение У УУ, входящее в член )зЧ~01 уравнения движения, можно представить в виде где иь из, из — компоненты вектора Ч понаправлениям хьхз,хз. Учитывая, что единичные векторы суть функции координат, по- лучим 1 из диз Нз ди, из ди, изин даз У ЧУ=~ — — 4- — — + — ' — + — — + ~ Из дхз Из дхз Из дхз Изаз дхз и,из дИ из дИ изз даз ~) з и~ диз из диз из днз из даз +( + + — ' — — — + ~ И, дх, Из дхз Из дхз Изаз дхз нгнз дьз нзнз даз нз даз У + + 12+ Изаз дх~ Изаз дхз Изаз дхз ( ( нз диз нз д«з нз диз и, дИ, 2 +( + ' + — — —— ~И! дхз Из дхз Из дхз Изаз дх, нз даз из из длз изин даз 1 + + )1з.
Изаз дхз Изаз дх, Изаз дхз ) Компоненты тензора напряжений (5А5) можно выразить через координаты хз, хз, хз следующим образом: 2 Пх,х, — — — р+ — 1з(2е„,„, — е„.„, — е„„,), 2 П,„„= — Р+ — 1з (2е,, — ехнн — е,,„,), 2 П„„, = — р+ — 1з(2ехх, — е„,„, — е„,), (5.56) П„, = П„, = 1зех,х, П„,„, = П.„, = Рнх.х„ П„,„:, = П„„, = ре „„ 232 Гл. о. Основные уравнения механики жидкости и тенлообмЕН где выражения для компонент тензора скоростей деформаций записываются в виде 1 аиэ из дь! из дь~ — — + — — + —— Ь, ах, Ь,ьз ах, И,Ь ах, 1 диз и, дИв и, аьз — — + — .1- Ьв ахз Ьзьз ахз ЬэЬв дхэ ' 1 диз иэ дьз из дьэ — — + — — + —— Из дхз И|Из дхэ Ьвьз дхв ' е„„= е„„= е„.„ = (5.57) ех,х, = е„„,= е„„, = Компоненты з Пп суть <р = !з [й (е'„„+ е',„+ ез ) + е„' + е'„„, + е,'„,— — — (е„„+,е„, +е.
х,) 1. (5.59) х!. '— ~ д. (ЬвьзПх'х') + дх !Ь!ЬЗПхх) + ах (ЙэьзПхаэ)) + ! г д д а + Пх,х,— — + Пх,э,— — — Пхх: — —— 1 дЬ| 1 дь~ ! дьз "'"' Ь!Из ахз "'"' И~Из дхз "'"' И~Из дх1 аи, — П,»,— —, ' И~ьэ ах~ хз' ( д (ИзИЗПх х ) + д (МЗПхл.) + д (Ь!Ь2Пхээ )1 + дхэ + Пхх,— — + Пххз — — — Пхх,— — — (5.58) 1 дьз 1 аьз 1 дИ, "" ЬИ, ахэ ""- И и, ах, "" Ьзьз ах, 1 дЬ! Пх,х, Ьи !~в ! 1 д хз.. — Ли и ~ — (ЬвьэПх,х,)+ а (ЬьзПх,хэ)+ ах (Ь!ЬвПхвх.)~+ д а 1 дьз 1 аьз 1 аь1 + Пх,х, — — + Пх,хз — — — Пх,э, — —— х,х, Ьзьз ах эх, Изьэ ахз х~х' Ь,ьэ ахз 1 аИв — Пх.,э, ' ' Ьвьз ахз В криволинейных координатах диссипатнвная функция прини- мает вид Г> 5.2.
Уравнения Рейнольдса для турбулентных течений 233 Все выписанные выше формулы можно использовать для получения уравнений динамики жидкости в любой криволинейной ортогональной системе координат. Ниже приведено несколько таких примеров. 1. Декартовы координаты х, = х, Ь, = 1, и, = и, хз = у, Ь, = 1, из = и, хз=х Ьз=1, из=из. 2. Цилиндрические координаты х,=г, Ь,=!, х,=й, Ьз=г, ха=а, Ь,=1, 3.
Сферические координаты х,=г, Ь,=1, х,=Е, Ь,=г, хз >г> Ьз=г зш и,=и„ из = ив, из — — иа, = ит > = ио, = ио. и1 из из 4. Двумерные осесимметричные связанные с поверхностью тела координаты х, = в, Ь, = 1+ К (й) т),, и~ = и, х,=т), Ь,=1, "з= в> хз = Ф Ьз =(г (з) + т) соз а ($)), „из —— и> = О, где К(й) — локальная кривизна поверхности тела, г(й) — радиус цилиндра (рис. 5.3) и О для двумерного течения, ги = 1 для осесимметричного течения. й 5,2. Уравнения Рейнольдса для турбулентных течений 5.23.
История вопроса Более пятидесяти лет тому назад стало понятно, что наши знания о турбулентности далеки от полноты. Датированное 1932 годом высказывание Г. Ламба остается актуальным и поныне: «Я старый человек и, когда после смерти попаду на небеса, то спрошу у Всевышнего две вещи: что такое квантовая электродинамика и что такое турбулентность. В отношении пергого я наст)тоен более оптимистически», 234 Гл.
5. Основные уравнения механики жидкости н теплообмен (а) (Ь) Лп .-(о) Рис. 5.3. Криволинейные системы координат, (а) Цилиндрические координаты (г, й, г); (Ь) сферические координаты (г, 3, сь); (с) связанные с поверхностью тела координаты в двумерном нли осесимметричном случае (5,ч Ф) $5.2. Уравнения Рейнольдса длн турбулентных течения 235 Приведем цитату из классической работы Хинце !Н)пхе, 1975): «Турбулентное течение жидкости есть форма нерегулярного ее движения, в котором параметры потока изменяются случайным образом во времени н пространстве вокруг некоторых своих средних значений». Все мы знакомы с различиями между ламинарным и турбулентным течениями.
Обычно в турбулентном потоке происходит большее падение давления и наблюдается большее трение. Скорость диффузии некоторой скалярной величины, как правило, больше в турбулентном потоке (большее «перемешнванне») н в турбулентных потоках более сильный шум. Турбулентный пограничный слой до отрыва способен преодолевать более протяженную область с положительным градиентом давления, нежели ламинарный пограничный слой. Игроки в гольф, использующие пупырчатые мячи, хорошо знают это. Считается, что нестационарные уравнения Навье — Стокса полностью описывают турбулентные течения. Если это так, то интересно знать, почему нельзя рассчитывать на ЭВМ турбулентные течения столь жс эффективным образом, как и ламинарные. Ведь тогда можно было бы раз и навсегда демонтировать аэродинамические трубы.
Дело в том, что временной и пространственный масштабы турбулентного движения столь малы, что требуемое количество узлов расчетной сетки и малый размер шагов по времени делают этн вычисления практически нереализуемыми на современных ЭВМ ввиду ограниченности ресу!юов последних. Хотя оценки разных авторов и различаются, но считается, что требуется по крайней мере 10 узлов сетки для разрешения движения турбулентного вихря. Масштаб самых мелких вихрей обычно в 1000 раз меньше размера области течения вдоль твердой поверхности. Для типичных течений может потребоваться 10' точек для разрешения области течения объемом 1 сма. Авторитеты расходятся во мнениях, когда компьютерная технология достигнет в своем развитии этапа, на котором расчеты турбулентных течений станет возможным проводить «в лоб», Некоторые считают, что никогда нс удается рассчитать мелко- масштабную структуру турбулентности на основе нестацнонарных уравнений Навье — Стокса в задачах, представляющих практический интерес.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
