Anderson-et-al-1 (1185923), страница 36
Текст из файла (страница 36)
4. Метод конечных рааностей для модельных уравнений Формально это схема первого порядка точности с погрешностью аппроксимации 0(М, (Лх)а), однако стационарное решение определяется с погрешностью аппроксимации 0((бх)а). Точность разностной схемы по времени может быть повышена, если для аппроксимации производных по времени использовать центрированные разности или если ввести еще один временной слой, как это было уже сделано в случае схемы Бима — Уорминга.
Например, применяя для аппроксимации производных по времени в уравнении (4.172) центрированные разности, получаем "";," Фв, е,"1=-, ~( —:.),.( —.':.Л (4.209) Поступая так же, как в раньше, получаем следующую разностную схему второго порядка точности: вл+ л Рл Рл 4л ( «Н л ) А~ ( ~М л ) Ьа 2 ах 4 ох (~ „, Ц~Ь~и)т + (Ь~и)4 3. (4.210) Обе разностные схемы (4.208) и (4.210) безусловно устойчивы и приводят к системам линейных алгебраических уравнений с трех- диагональной матрицей, которые можно решать прогонкой.
Метод Брили — Макдональда тесно связан с методом решения уравнений Навье — Стокса, разработанным Бимом и Уормингом (Беат, 'ттагш(пд, 1978]. Разностные схемы, полученные при решении этими методами уравнения Бюргерса, могут быть приведены к одному и тому же виду. Для этого записанные в дельта-форме члены в схеме Бима — Уорминга надо выразить через неизвестные (т. е. заменить Ьи" на (и~+' — ил)).
Метод Бима — Уорминга решения уравнений Навье — Стокса описан в гл. 9. 4.6.8. 'Метод Мак-Кармана с расщеплением по времени Для иллюстрации применения численных методов, предназначенных специально для решения многомерных задач, рассмотрим двумерное уравнение Бюргерса Если ввести А, равное дР/ди, н В, равное д0/ди, то уравнение (4.211) можно переписать в виде и, + Аих + Виа = р (и„, + ила). (4,212) $4.б. Ураввсвие Б~оргерса (ввввос тсчевис) 203 с граничными условиями (О ( 1 ( оо) и(0, у, /) = Р(" "1, и(1, у, /)=О 1 — ехр ( — о/)с) н начальным условием и(х, у, 0)=0 (О <х(~1, О < у(!). решение имеет вид '-( —: и 1 — ехр !(х — 1) с/р! ) Г 1 — ехр((у — 1) в/)х! ) 1 — ехр ( — с/р) ! (, 1 — ехр ( — в/)е) Отметим, что записанное в таком виде решение легко обобщается на случай трехмерного линеаризованного уравнения Бюргерса. Все рассмотренные методы решения одномерного уравнения Бюргерса применимы и для решения двумерного уравнения Бюргерса, однако при решении многомерных задач используют обычно модифицированные алгоритмы.
Это связано с тем, что условия устойчивости явных схем становятся более жесткими, а при использовании неявных схем желательно свести задачу к решению систем уравнений с трехдиагональной матрицей. В качестве примера такой модификации рассмотрим явный метод Мак-Кормака с расщеплением по времени. Метод Мак-Кормака с расщеплением по времени [МасСогтас1с, 1971; МасСогтас)с, Ва!дтч!п, 1975[ так «расщепляет» оригинальную схему Мак-Кормака, что решение многомерной задачи сводится к последовательному решению одномерных задач. Благодаря этому условие устойчивости разностной схемы становится менее жестким. Другими словами, расщепление позволяет получить решение в каждом направлении с максимально допустимым шагом по времени.
Особенно заметно преимущество расщепления в том частном случае, когда максимально допустимые шаги о времени /)/„, А1в сильно отличаются друг от друга из-за различия шагов Лх, Лу разностной сетки. Чтобы записать метод расщепления, воспользуемся одномерными разностными операторами 7. (б/,) и /.в(ех/в). Если оператор 1.
(ц/ ) применяется к величине и",, то выражение и, '= /.„(И„) и", (4.216) Рей [Ка!, 1982[ получил точное стационарное решение двумерного линеаризованного уравнения Бюргерса и, + си, + с/ив = )е(их, + и„в) (4.213) 204 Гл. 4. Метод конечных разностей дли модельных уравнений по определению эквивалентно следующей двухшаговой формуле: л а/л ! л л "2 л и!, ! = ис, ! — — „(Р!+ ь, ! — Р!. !! + р /й/лбли!, /, (4.217) и!,/= 2 [и!",!+и!,/ — а4 (Р!,! — Р!-/,!)+ р/й/ блп!,!1. Ьл Верхним индексом л обозначен фиктивный временной слой. Ана- логично определяется и оператор Ьу(/з/у).
Выражение и'! = Л„(ж„) и", (4.218) по определению эквивалентно л а!у ! л л ъ "2 л й!,/ = и!,! — — Ф/,!+/ — О!,!! + /ь!й/убуи!,!, ау 2 и!, / = 2 ) и!, / + //!, ! — а Ф/, / — О!, /-/) + и !~/у буи!, !1. ау (4.219) Применяя к величине и,"! операторы Е, и 1чо разностную схему второго порядка точности можно построить следующим образом: пл+! 7. ( ) х (/з/) 2 ( ) ил (4 229) //л+/=7. ( — ) / ( — )7. ( — ) 7. ( — ) пл, (4.221) / л+! [7 ( )~ / (л/) [7 ( )~ пл где и †цел. Последнее выражение особенно полезно в случае Лу « Лх. Эта разностная схема имеет погрешность аппроксимации 0((Ы)2, (Ьх)2, (Ау)2).
В общем случае разностная схема, полученная при применении такой последовательности операторов, удовлетворяет следующим условиям: (1) устойчивости, если для каждого оператора шаг по времени не превосходит максимально допустимый для этого оператора; (2) согласованности, если суммы шагов по времени для каждого оператора совпадают; (3) аппроксимации со вторым порядком точности, если последова'тельность операторов симметрична.
Приведем другие последовательности операторов, удовлетворяющих перечисленным условиям: й 4.5. Уравнение Бюргереа (вяакое течение) 205 4.5.9. Неявные методы переменных ссассравленна Для решения уравнений Навье — Стскса движения газа Б. И. Полежаев [1967) предложил модифицированный неявный метод переменных направлений Писмена — Ракфорда. Применяя этот метод к решению двумерного уравнения Бюргерса (4.212), получаем разностную схему [+т(" А- ')1' = — — (Вь с — "„— Ь„)~ и,, [1 + — (Вс, с — „" — )сЬ'„) ~ йс,сс' = = [1 — 2 (Ас,С 2܄— )сбл)1ис,С ° (4.222) [1 + Ж ( —; Ас, с — )сЬ'„)1 йс, с = = [1 — Ь1 ( 2 ь Вс, с — )сбв)1 ис, с + (Ж) Яс, с, (4.223) [1+Ы(2" Вс,с — )сб,)1ис,+с'= =ис,с — Ьс( — "Ас,с — )сЬ,,)ис,с+ЛЮс,с, (4.224) где С)л ЬВ в Ьл с в в ъ ЬВ с в и Зс, с = — — Рс, с — — есс, с + — (А с, сис, с) + — (Вс, си с, с).
2Ьх ' 2Ьу ' 2Ь» ' ' 2Ьу Это схема первого порядка точности с погрешностью аппроксимации 0(Ь(, (Ьх)в(Лу)Я). В линейном случае она безусловно устойчива. Очевидно, на каждом шаге по времени необходимо решать систему алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Если разностную схему Брили — Макдональда (4.208) прямо применить для решения двумерного уравнения Бюргерса, то задача сведется к решению системы алгебраических уравнений, матрица которой отлична от трехдиагональной. От этого недостатка схемы можно избавиться, воспользовавшись двухшаговым методом переменных направлений Дугласа — Ганна (1)опп1аз, Оопп, 1964) 206 Гл. 4. Метод конечных разностсй для модельных уравнений 4.5ЛО. Мноюнтерацнонный метод преднктор-корректор Рубин и Лин (КпЬ(п, 11п, 1972) предложили многоитерационный метод преднктор-корректор для расчета параболнзованных уравнений Навье — Стокса.
Этот метод исключает одновременное появление в уравнениях значений функций в узловых точках по нормальному у и поперечному а направлениям, а для достижения приемлемой точности используются итерации. Для иллюстрации этого метода применим его к решению трехмерного линейного уравнения Бюргерса и, + си„+ Ни, = 1й (и„„+ и„), (4.225) Тогда в уравнение (4.226) при т= О входят лишь три неизвестные ит+ь у+ь й~ и~+к ь й иььк у-ь ы (4.227) которые могут быть найдены из решения системы алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. В плоскости с номером 1+ 1 расчет проводится в направлении от столбца с номером А = 1, на котором заданы граничные условия, до последнего по й столбца узловых точек.
На этом первая итерация заканчивается. На следующей итерации (т = 1) в уравнение (4.226) также входят три неизвестные: ~1+1 у+1 й ~а+1 у й ~а+~ у-ьй. (4.228) которое является модельным уравнением для параболизованных уравнений Навье — Стокса. В результате применения к этому уравнению многоитерационного метода предиктор-корректор получим разностную схему и'"+' =и — — — (и т' — им+' )— с ах гьььй ььй в ар ( 8+ну+на гььт-ьй пах + — "(и'"+' — 2и"+' + и'"+' ) + (ар)а ( 1+ь!+вй ььььй тенг-ьй) + (ак)к (и'"+, + — 2и'"++', + и.. ь,), (4 226) где индексом т обозначен номер итерации, х= Их, у=)бу, а = лйа.
На первой итерации лт полагается равным нулю, а соответствующие члены уравнения аппроксимируются либо простой линейной подстановкой и,'+, й — — и, й, либо с использованием разложений в ряд Тейлора, таких, как иоь, —— 2и „вЂ” и,, „+ О ((Лх)а). Задачи Итерационный процесс продолжается.до тех пор, пока решение в плоскости 1+ 1 не сойдется. 'Обычно для достижения приемлемой точности достаточно двух итераций (гп = О, ги = 1). После этого переходят к расчету в плоскости 1+ 2.
$ 4.6. Заключительные замечания В этой главе мы попытались привести основные конечноразностные методы решения простых модельных уравнений. При этом не ставилась задача описать все известные методы решения этих уравнений, поэтому некоторые довольно полезные методы не приведены. Однако представленные методы являются разумной предпосылкой для анализа методов решения более сложных задач, описанных в гл. 6 — 9. Из представленной в этой главе информации видно, что для решения одной и той же задачи можно использовать множество различных численных методов. Отличие в качестве решений, получаемых этими методами, часто невелико, поэтому выбрать оптимальный метод довольно сложно. Однако выбрать наилучший метод можно при помощи опыта, полученного при программировании различными численными методами и последующем решении на ЭВМ модельных уравнений, описанных в этой главе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
