Anderson-et-al-1 (1185923), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Задачи 4.1. Выведите соотношение (4.!9). 4.2. Получите модифицированное уравнение для схемы Лакса решения волнового уравнения, Сохраните члены вплоть до и 4.3. Повторите задачу 4.2 для неявной схемы Эйлера. 4.4. Получите модифицированное уравнение для схемы с перешагиванием (схемы «чехарда»). Сохраните члены вплоть до и» 4.6. Повторите задачу 4.4 для схемы Лаков — Веидроффа. 4.6. Определите погрешность вычисления амплитуды и фазы при () = 90' после 10 шагов по времени, если волновое уравнение решается методом Лаков с т = 0.5.
4.7. Повторите задачу 4.6 для метода Мак-Кармана. 4.8. Пусть метод Лаков используется для решения волнового уравнения (с = 1/2) с начальным условием и(х, О) = з(п(2пх), 0 ( х ~ (2, и периодическими граничными условиями при ах = 0.02 и Ы = 0.02. (а) Используя коэффициент перехода, найдите погрешность определения амплитуды и фазы после 20 шагов по времени. (Ь) Используя модифицированное уравнение, найдите (приближенно) по. грешность определения амплитуды после 20 шагов по времеяи. Указание, Точное решение линейного уравнения Бюргерса и + сп Иная 208 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравненнй с начальным условием и(х, 0)= з(п(йх) н перяодяческнмн граничными условиями имеет внд и (х, 1) ехр ( — й>91) з(п [й (х — с1)].
4.9. Найдите коэффициент перехода прн решения волнового уравнения методом с перешагнваннем (методом «чехарда>) я определите условия устойчивости получающейся разностной схемы. 4.10. Повторите задачу 4.9 для метода с разностями против потока. 431. Покажите, что прн решения волнового уравнення методом Русанова получается разностная схема, эквивалентная следующей одношаговой разностной схеме: и" и" — т (Р Ь ) ~1 — — ) и! + т 6 1ь — + — ~ и!в тз (!эх) ! 24 х!' 4.12. Используя метод Неймана, найдите условие устойчивости разностной схемы, получаемой пря решении волного уравненкя методом Русанова. Ухизание: см.
задачу 4.11. 4ДЗ. Кроули [Сгом!еу, 1967] предложил явную разностную схему второго порядка точности для решения волнового уравнения и(+' — — и! — т(Р„Ь„) и!+ — (Н„Ь„) и! — 8 т (рхб„) и(. (а) Получите моднфннярованное уравнение для этой схемы, сохранив члены вплоть до и, *, . (Ь) Найдите необходимые условия устойчнвостн этой схемы. (с) Определите погрешность вычисления амплитуды и фазы после 10 шагов по времени прн 9 = 90Г, если прн решении волнового уравнения ч = 1. 4.14. Решите на ЭВМ волновое уравнение иг+и,=О, используя (а) схему Лакса; (Ь) схему Лаков — Вендроффа пря начальном условии и(х, О) = = з(п 2лп(х/ь), 0 ( х «(., н периодических граничных условиях.
Исполь. зуйте сетку, состоящую кз 41 точки при Ьх = 1, н проведите расчет до 1= 18. Решите зту задачу для л = 1, 3 и т 1.0, 0.6, 0.3; полученные результаты сопоставьте графически с точным решеннем. Определите значения й для и= 1 н и = 3 н вычислите погрешность в определении амплитуды я фазы для каждой нз схем прн т = 0.6. Сравняте этн ошибки с ошибками, найденными нз графиков. 4.15.
Повторите задачу 4.14 для следующих схем: (а) схемы с разностямн протяв потока; (Ь) схемы Мак-Кормака. 4.!6. Повторите задачу 4.14 для следующих схем: (а) схемы Мак.Кормака, (Ь) схемы Русанова (о1 = 3). 4.17. Решите на ЭВМ волновое уравненне иг+ и, = О, используя (а) схему с разностями против потока, (Ь) схему Мак-Кормака, если заданы начальные условия и (х, 0) = 1, х ~ (1О, и (х, 0) = О, х ) 1О.
и граничные условия Дирихле. Используйте разностную сетку, состоящую нз 4! узла прн бх = 1, и проведите расчет до значений ! = !8. Решите эту Задачи из Игв а-1; Обратите внимание на то, что члены этого ряда образуют геометрическую 2. 3 4 прогрессию, сумма которой известна. 4.24. Используйте неявный метод переменных направлений для решения волнового уравнения и найдите и"+' во внутренних узлах нзона рнс. 3-4.2 сетки прн г„ = 㫠— — 2, если заданы начальные 4=! 2=1 Рис. 3-4.2 двумерного браженной условия и 1 — — на ляпин л х зйх д=О, и ! — — на линяя х О, л 2Ьу и" = 0 всюду вне этих лнняй, а граничные условия сохраняются равными нх начальным значениям.
задачу для ч = 1.О, 0.6, 0.3; полученные результаты сравнмте графически с точным решением. 4.18. Используя схему с разностями против потока, найдите решение двумерного волнового уравнения и +с!и„+и )=0 н условна устойчивости полученной разностной схемы. 4.19. Получите модифицированное уравнение для простого неявного метода решения одномерного уравнения теплопроводностн. Сохраните члены, включающие производные до и, 4.20. Определите условия устойчивости разностной схемы, полученной прн помощи комбинированного метода В к решению одномерного .уравнения теплопроводности. 4.21. Определите козффнцнент перехо- 4 дц для явной схемы переменных направлений Саульевз и .найдите условия устойчивости этой схемы. 3 4.22. Покажнте, что для узлов сетки с четными номерами (!+!+и) построен- 2 ная методом «классики» разностная схема принимает внд я=1 — ~- ш ид и = 2ип! — иг, 1 л+! и+! л 11 2 3 4.28.
Используйте простой явный ме- Рнс. 3-4.1. тод для решения одномерного уран. пеняя теплопроводностн на разностной сетке, которая показана на рнс. 3-4.1, при граничных условиях и! 2 = из н начальных условиях и! 2 = из> л л ! 1 У из !. Покажите, что прн г = 1/4 ! стационарное значение и в точке 1 = 2 3 равно 210 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений 4.25. Решите на ЭВМ уравнение теплопроводности и! = 0.2и„, используя (а) простую явную схему, (Ь) явную схему переменных направлений (Вага1са1, С!аг!г, 1966], если заданы начальные условия и (л, 0) = 100 з!и (ях/5), 5 = 1, и граничные условия и(0, !) = и(7., !) = О. Проведите расчеты до ! = 0.5 при приведенных в табл.
3-4.! параметрах (если это возможно) и полученные результаты сравните графически с точным решением. Таблица 3-4.1. Лт варианта Количество толов сетки г 0.25 0.50 0.50 1.00 2.00 11 11 16 11 11 4.26. Повторите задачу 4.25 для схемы Кранка — Николсона. 4.27. Повторите задачу 4.25 для схемы Дюфорта — Франнела. 4.28. Уравнение теплопроводности дТ двТ вЂ” =а— д! длв à — аяв! т . ял Т(А л)=секр~ ) Мп— тв Положим с = 100'С, 7.
= ! м, а = 0.02 мв/ч. Рассмотрим два явных метода решения этой задачи: (А) простую явную схему (4.73), устойчивую при ай!/(Ах)т < 1/2; (В) явную схему переменных направлений (4.107), предложенную в работе (Вагайа(, С!аг!г, 1966]. Прн использовании этой схемы уравнение для р!~~ решают явным методом, начиная с границы х = О, л+! а уравнение для 41 — начиная с границы л = 5. При использовании этой в+ ! схемы условие устойчивости не ограничивает величину шага по времени. Составьте программы решения на ЭВМ рассматриваемой задачи указанными методами А и В.
Кроме того, для сравнения методов вам придется вычислить точное решение. Сопоставьте эти методы хотя бы в следующих случаях: !. Для Ал = 0.1, А! = О.! (соответствующее значение аЫ/(ох)т = 02) сопоставьте результаты, полученные методами А и В, с точным решением при ! = 1О ч, Сравнение проводится графически. описывает изменение по времени температуры в однородном твердом теле с постоянными свойствами, если изменение температуры яроисходят лишь в одном направлении. Физически зто почти точно можно осуществить в длинном тонком стержне или в очень большой (бесконечной) стенке конечной толщины. Рассмотрим большую стенку толщины 7.
с начальным распределением температуры Т((,к) = сз!п(пх//.). Если температура поверхностей стенки и в дальнейшем поддерживается равной 0; то решение для температуры при !>0,0<х<Д равно 2!1 Задачи для построения конечно-разностного аналога уравнения Лапласа прн Ьх=Ьу. Используя значения и в узлах разностной сетки, перейдите к явной записи разностной схемы. Чему равна погрешность аппроксимации такой разностной схемы? 4.33. Найдите погрешность аппроксимация конечно-разностнон схемы (4.114) решения уравнения Лапласа прн (а) Ьх = Ьу; (Ь) Ьх чь Ьу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
