Anderson-et-al-1 (1185923), страница 38
Текст из файла (страница 38)
4.34. Чему равна погрешность аппроксимация уравнения Пуассона и„+ игз —— к+у по девятнточечной разностной схеме (4.114) при Ьх = Ьу? 30с/и — М Рнс. 3-4.3. Г = 0'С; Ь = = 28 Вт/мз 'С. 4.35. В поперечном сечении, изображенном на рис. 3-4.3, поверхность 1 — 4 — 7 является теплонзолнрованной (аднабатнческой), Коэффициент теплопередачн на поверхности 1 — 2 — 3 равен 28 Вт/мэ.'С. Коэффициент теплопроводности твердого материала равен 3,5 Вт/мг 'С. Используя итерационный метод Гаусса — Зайделя, найдите температуру в узлах 1, 2, 4 н 5. 4.36.
Цилиндрическое ребро в форме иглы (рнс. 3-4.4) прикреплено к стенке, имеющей температуру 200'С, а его поверхность находится в газе с температурой 30'С. Коэффициент теплопередачн равен 300 Вт/и"С. Игла сделана нз нержавеющей стали с коэффициентом теплопроводности 2. Повторите указанное выше сопоставление на более мелкой сетке, полагая Ьх = 0.066667 (т. е. ~ри уменьшении шага в 15 раз). Согласуется ли уменьшение погрешности с порядком аппроксимации 0(Ьх)'? 3. Для Ьх = 0,1 подберите Ы так, чтобы аЫ/(Ьх)з = 0.5г н сопоставьте при / — 1О ч результаты расчетов методами А н В с точным решением.
4. Покажите, что прн аЫ/(Ьх)', больших 0.5, метод А становится неустойчивым. Одним нэ возможных путей решения втой задачи является построение на средней линии тела зависимости температуры от времени при аЫ/(Ьх)' яз 0.6 прн значениях времени 1Π— 20 ч. 5. Для Ьх = 0.1 подберите Ы так, чтобы аЫ/(Ьх)' = 1.0, н сопоставьте прн / из 1О ч результаты расчетов методом В с точным решением. 6. Увеличивая аЫ/(Ьх)э до 2, потом до 3 и т. д., повторите проведенное в предыдущем задании 5 сравнение до тех пор, пока согласованность результатов с точным решением не станет заметно плохой. 4.29.
Повторите задачу 4,28, используя в качестве схемы В схему Кранка — Николсона. 4.30. Повторите задачу 4.28, используя в качестве схемы В простую неявную схему, 4.31. Придумайте метод решения задачи 4.28, используя нонечно-разностную аппроксимацию вторых производных (3.35) с четвертым порядком точности. 4.32.
Используйте конечно-разностную аппроксимацию (3.35) вторых производных д'и 6'„и,, дхз Ьэ (1 + бх/12) 212 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений 18 Вт/м'*С. Разделите иглу на 5 частей и при помощи итерационного метода Гаусса — Зайделя . найдите температуру в узлах сетки. Вычислите скорость теплопередачи со всей поверхности иглы. Прн атом вы можете пренебречь Рис. 3-4.4. потерями тепла через наружный конец иглы (т. е. предположить, что он теплоизолнрован).
4.87. Решите двумерное стационарнбе уравнение теплопроводности в квадратной области 0 < х < 1, 0 < у < 1, используя разностные сетки с шагамн Ьх Ьу = 0.2 и 0.1. Сравните температуру в центре квадрата с точным решением. Граничные условия имеют вид Т О, я=Ох 1, — =О, дТ у=О, ду Т=з!п(нх), у=1. 4.88. Рассмотрим описываемый уравнением Лапласа стационарный процесс распространения тепла в двумерной области, изображенной на рис. 3-4.5. 50'С Рис. 3-4.5.
Сетка квадратная, т. е. йх = Ьу = 0.02 м. Условия на левой границе от точки 0 до следующей нижней точки имеют аид — — й(Т вЂ” Т ), дТ дх «-о Т 800' С, й 250 Вт/мз ° 'С, й =*5 Вт/м ° 'С, 213 Задачи (а) Используя метод контрольного объема, найдите приближенное разностное уравнение для температуры границы в точке 6, (Ь) Построив подходящий конечно-разностный аналог уравнения Лапласа, найдите стационарное распределение температуры итерационным методом Гаусса — Зайделя. 4.39.
Решите задачу 4.38, используя метод итераций по строкам. 4.40. Пусть в стационарном случае требуется оценить распределение температуры в двумерной стенке камеры сгорания, Для такого предварительного анализа ее форма упрощена и показана на рис. 3-4.6. Напишите программу -дхлаждаетая поеепкность канала Теплопэолпроеанные стенки 1 — 20 сля —— 4 Рис. 3-4.6. Для горячего газа: йе = 1000 Вт/м"С, Тэ = 2000'С; для охлаж- даемой поверхности канала: й = 8000 Вт/м"С, Ть = 60'С.
решения этой задачи на ЭВМ методом Гаусса — Зайделя с последовательной верхней релаксацией. Особое внимание обратите на уравнения на границе области. Положите шаг сетки равным 2 см (Ьх Ау), в результате получите сетку 6 Х 11. (а) Вычислите стационарное поле температуры. (Ь) Вычислите скорость теплопередачи на верхней стенке и проверьте, как близко она совпадает с теплом, снимаемым охладителем.
(с) При одном и том же условии сходимости итераций проведите расчеты для трех различных значений релаксационного параметра и. Если вы можете использовать больше времени ЭВМ, то проведите более подробный поиск оптимального значения этого параметра ю,рь 4.41. Решите задачу 4АО, используя метод итераций по строкам. 4.42. Решите задачу 4.40, используя неявный метод переменных направлений. 4.43.
Используйте схему Лаков для решения невязкого уравнения Бюргерса на сетке, содержащей 51 узел в направлении оси х, Решите уравнение для движущегося вправо разрыва, если и = 1 в первых 11 узлах сетки и и = 0 в остальных узлах. Повторите расчеты при числах Куранта, равных 1.0, 0.6, 0.3, и сравните полученные численно решения с аналитическим решением в те же моменты времени. 4.44. Повторите задачу 4.43, используя схему Мак-Кормака. Примените ' оба варианта этой схемы с чередованием на шагах предиктор и корректор производных вперед — назад и назад — вперед.
4.45. Повторите задачу 4.43, используя схему Уорминга — Катлера — Ломакса. 4.46. Повторите задачу 4.43, используя схему Бима — Уорминга. 214 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений 4.47. Найдите решение невязкого уравнения Бюргерса для течения с разрежением. Начальные условия заданы так: и = 0 в первых 21 узлах разностной сетки и и = 1 всюду вне этих узлов. Примените оба варианта схемы Мак.Кормака с чередованием на шагах предиктор и корректор производных вперед в назад и назад — вперед. Сравните результаты, полученные при двух различных числах Куранта, с точным аналитическим решением.
4.48. Повторите задачу 4.47, используя центрированную по времени схему Бима — Уорминга и неявную схему Эйлера. 4.49. Решите уравнение Бюргерса для неподвижного разрыва в вязкой жидкости, Начальные условия заданы так; и = 1 в левой граничной точке, и = — 1 в правой граничной точке и и = 0 в остальных точках. Используйте для решения этой задачи схему Мак-Кормака. 4.50. Повторите задачу 4.49, используя схему Бима — Уорминга. 4.51. Постройте графически точное стационарное решение уравнения (4.158) с граничными условиями и(0,1) = 1, и(1,1) = 0 при р = 0,1.
4.52. Проверьте, что соотношение (4.169) является точным стационарным решением уравнения (4.!68). 4.53. Найдите условия устойчивости разностной схемм, полученной при решении одномерного линейного уравнения Бюргерса методом ВВЦП. 4 54. Найдите условия устойчивости схемы с разностями против потока (4.186) .
4.55. Используя метод ВВЦП для решения линейного уравнения Бюргерса с начальным условием и(х, 0) = О, 0 ( к ( 1, и граничными условиями и(0, 1) = 100, и(1, !) = 0 на разностной сетке, состоящей из 21 узла, найдите стационарное решение при следующих значениях параметров: (а) г = 0.50, ч = 0.25; (Ь) г = 0.50, ч = 1.00; (с) г = 0.10, ч = 0.40; (4) г = 0.05, т = 0.50 и сопоставьте результаты численных расчетов с точным решением. 4.56. Повторите задачу 4.55, используя схему (4.188). 4.57.
Повторите задачу 4.55, используя схему ечехарда» Дюфорта— Франкела. 4.58. Повторите задачу 4.55, используя схему Аллена — Чена. 4.59. Определите методом Неймана условия устойчивости разностной схемы (4.188). 4.60. Найдите модифицированное уравнение для схемы Аллена — Чена, сохранив члены до и „включительно. 4.61. Используйте схему Бранловской для решения линейного уравнения Бюргерса на приведенной на рис.
3-4.7 сетке н покажите, что стационарное значение и при 1 = 2 равно 'г~ 1 3 лз — — 8 го э-ь о 3" ! 2 ! 1 213 Задача ГРаничные УсловиЯ имеют вид ил! — — 3/2= из, а начальное Условие имеет вид из — — 1. Для решения втой задачи использовать ЭВМ не надо. ! 4.62. Используйте схему Бима — Уорминга с аппроксимацией производных по времени неявным методом Эйлера для решения линейного уравнения Бюргерса на сетке, изображенной на рис.
3-4.8. Определите стационарные и=1 йм( Ж ,)=1 2 3 4 Рис. 3-4.8. с = 2 м/с, > = 2 мз/с, Ь» =! м. 2 3 Рис, 3-4УА с = 1 м/с, р = 1/3 мз/с, т=!,Ь»=!м. значения и при ! = 2 и ) = 3. Граничные условия имеют вид и~! — — 1, иа 4, а начальные условия — вид их — — 0= из. Для решения втой задачи использо! ! вать ЭВМ не надо. 4.68.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
