Anderson-et-al-1 (1185923), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Примените двухшаговую схему Лаков — Вендроффа к уравнению в частных производных "г+ г» где Р = г" (и). Получите конечно-разностные уравнения. 4.64. Решите линейное уравнение Бюргерса, используя (а) схему ВВЦП, ((!) схему с разностями против потока (4.!86), (с) схему Леонарда (4388). Пусть задано начальное условие и(», 0) = О, 0 ( к < 1, а граничные условия имеют вид и(0, !)= 100, и(1, !) = О. Расчет проведите на сетке, состоящей из 2! узла. Найдите стационарное решение при г = О.!О и т = 0.40.
Сопоставьте численное и точное решения. 4.66. Повторите задачу 4.64, используя следующие схемы: (а) схему «чехарда» Дюфорта — Франкела, (Ь) схему Аллена — Чена, (с) схему Мак-Кормака (4.198). 4.66. Повторите задачу 4.64, используя схему Брили — Макдональда с ап. проксимацией производных по времени неявным методом Эйлера, ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ К УРАВНЕНИЯМ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА Глава 5 Основные уравнения механики жидкости и теплообмена В этой главе речь пойдет об основных уравнениях механики жидкости, и теплообмена (т.
е. динамики жидкости). Мы полагаем, что читатель имеет некоторое начальное представление об обсуждаемых в данной главе вопросах, поэтому не приводим подробного вывода уравнений. Уравнения рассматриваются в порядке убывания сложности. В большинстве случаев приводятся только общепринятые формы записи. В последующих главах будут представлены другие формы записи основных уравнений динамики жидкости, специально упрощенные для целей вычислений. В эту главу включен также раздел, являющийся вве: дением в моделирование турбулентности.
и б.1. Основные уравнения Фундаментальные уравнения динамики жидкости основаны на универсальных законах сохранения: сохранения массы, сохранения количества движения и сохранения энергии. Уравнение, получающееся в результате применения закона сохранения массы к потоку жидкости, называется уравнением неразрывности. Закон сохранения количества движения — это второй закон Ньютона. Его применение к потоку .жидкости дает векторное уравнение, известное как уравнение количества движения или как уравнение импульса. Закон сохранения энергии тождествен первому закону термодинамики и в динамике жидкости уравнение, являющееся его выражением, называется уравнением знер- 5 зя, Основные уравнения 217 гни. Для замыкания системы к уравнениям, полученным из упомянутых выше законов сохранения, следует добавить соотношения, устанавливающие связь между свойствами жидкости.
Примером такого соотношения может быть уравнение состояния, связывающее термодинамические параметры жидкости: давление р, плотность р и температуру Т. Исторически сложились два подхода к получению уравнений динамики жидкости: феноменологический и использующий кинетическую теорию. В первом случае постулнруются определенные соотношения между механическим напряжением и скоростью деформации, между потоком тепла и градиентом температуры, после чего уравнения динамики жидкости выводятся из законов сохранения. Требуемые константы пропорциональности 'между напряжением н скоростью деформации и между потоком тепла и градиентом температуры (называемые коэффициентами переноса) в этом подходе должны определяться экспериментальным путем.
Во втором подходе (называемом еще математической теорией 'неоднородных газов) уравнения динамики жидкости получают с коэффициентами переноса, которые определяются в рамках некоторых интегральных соотношений, возникающих при рассмотрении динамики сталкивающихся частиц. Слабая сторона этого подхода состоит в том, что при вычислении интеграла столкновения необходимо определить силы взаимодействия между частицами. Таким образом, неопределенность феноменологического подхода, обусловленная экспериментом, сменяется неопределенностью математического свойства в кинетическом подходе.
Эти два подхода приведут к одним и тем же уравнениям динамики жидкости, если прн их выводе делаются равнозначные допущения, Мы не будем здесь выводить основные уравнения динамики жидкости. Вывод вы найдете в монографиях Шлихтинга (феноменологический подход) [ЗсЫ!сЫ!па, 1968[ и Гиршфельдера (кинетическая теория) [Н(гзсЫе!бег е! а1., 1954].
Мы же приведем уравнения для случая однородной жидкости без диффузии и химических реакций, протекающих с конечной скоростью.Для включения этих эффектов необходимо рассматривать уравнения неразрывности для каждой нз компонент реагирующего газа, а в уравнение энергии добавить диффузионные члены. Подробные сведения о течениях с химическими реакциями можно найти в книге Дорранса [?)оггапсе, 1969). 6.1.1. Уравнение нервврмвнестн Применяя закон сохранения массы к жидкости, протекающей через фиксированный бесконечно малый контрольный объем а!З Гл. б.
Основные уравнения механики жидкости и теплообмек (рис. 5.!), получим уравнение неразрывности дт +р, (рч)=0, (5.1) где р — плотность жидкости, а У вЂ” ее скорость. Первый член этого уравнения дает увеличение плотности в контрольном объеме за единицу времени, второй — поток массы через поверхность вороненая онрхнпамь Рис. 5.1. Контрольный объем прн использовании подхода Эйлера. для преобразования уравнения (5.1) к виду ф+ р (р Ч) = О. (5 3) Уравнение (5.1) было выведено с использованием подхода Эйлера.
В этом подходе фиксируется контрольный объем и рассматривается баланс жидкости, протекающий через его поверхность. В альтернативном подходе Лагранжа изменения свойств некоторого жидкого элемента фиксируются наблюдателем, движущимся вместе с этим элементом. Обычно в задачах механики жидкости подход Эйлера удобнее. В декартовой системе координат, где и; и, ы суть компоненты скорости по осям х, у, г, уравнение (5.1) принимает вид д) + д (ри)+ д (рп)+ д (ртп)=0.
др д ° д д (5.4) контрольного объема за единицу времени, отнесенный к единице объема. Удобно воспользоваться понятием субстанциональной производной — — — +У т( ) В( ) д( ) (5.2) э ЗЛ. Основные уравнения 2Г9 Заметим, что уравнение (5.4) записано в форме закона сохранения (дивергентной форме). Жидкость, плотность которой остается постоянной, называется несжимаемой. Математически это означает, что — =О. Ор Вт (5.5) Тогда уравнение (5.3) сводится к уравнению 7 ° Ч=О (5.6) или для декартовой системы координат ди до дв — + — + — =О.
дх ду дх Для воздуха при Р ( 100 м/с или М ( 0.3 предположение о несжимаемости жидкости является хорошим приближением. (5.7) ЗЛ.2. Уравнение количества движенчи Применение второго закона Ньютона к жидкости, протекающей через бесконечно малый фиксированный контрольный объем, приводит к уравнению количества движения — (рЧ)+7 рЧЧ вЂ” р$+7 Пп. д (5.8) Первый член этого уравнения дает отнесенное к единичному объему изменение количества движения в контрольном объеме за единицу времени. Второй член есть отнесенное к единичному объему изменение количества движения в контрольном объеме за счет конвекции в единицу времени.
Заметим, что рЧЧ вЂ” тензор, поэтому 7 рЧЧ не есть просто дивергенция. Однако этот член можно разложить на два слагаемых: 7 ° рЧЧ = рЧ ° ЧЧ + Ч (7 ° рЧ). (5.9) Когда это выражение подставляется в уравнение (5.8), то с использованием уравнения неразрывности последнее упрощается и уравнение количества движения принимает вид р — =р~+ 7 и„. ВУ (5.10) Первый член в правой части уравнения (5.10) есть отнесенная к единице объема массовая сила.
Массовые силы действуют на расстоянии и приложены ко всей массе тела. Чаще всего это— сила тяжести. Тогда сила 1, отнесенная к единичной массе, просто равна ускорению свободного падения д: рт=рй. (5.11) 220 Гл. о, Основные уравнения механики жидкости и тенлооомен Второй член в правой части уравнения (5.10) дает отнесенные к единице объема поверхностные силы. Эти силы суть механические напряжения, действующие на выделенный жидкий объем со стороны внешней по отношению к нему жидкости. Они образованы нормальными и сдвиговыми напряжениями и задаются компонентами тензора напряжений Пц. Приведенное выше уравнение выписано для общего случая и пригодно как для течений с разрывами, так и без таковых.
Но, как только для тензора напряжений мы принимаем какую- либо аппроксимацию, уравнение (5.8) теряет свою общность. Для всех газов, которые можно считать сплошной средой, и большинства жидкостей замечено, что напряжение в некоторой точке линейно зависит от скорости деформации жидкости. Такая жидкость называется ньютоновской. При этом допущении можно вывести [8сЫ1сЫ(пд, 1968) общий закон деформации, который связывает тензор напряжений с давлением и компонентами скорости. В тензорных обозначенияхонзаписываетсяввиде Г ди дну~, ди Пц = — РЬц+ И ~ — + — ) + Ьцр' —, 1, /, й = 1, 2, 3, \,дк дх, / дх (5.12) где Ьц — символ Кронекера (Ьц — — 1, если 1=/, и Ьц —— О, если )М/); иь ия, иа — компоненты вектора скорости У; хь хт, хв— координаты радиус-вектора точки; р — коэффициент динамической вязкости; р' — второй коэффициент вязкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
