Anderson-et-al-1 (1185923), страница 34
Текст из файла (страница 34)
169) которое при 44 = 1/4 показано на рис. 4.37. Следовательно, если начальное распределение для и задано соотношением (4.169), то точное решение не меняется по времени, а остается равным заданному начальному распределению. Другие точные решения уравнения Бюргерса можно найти в работе [Веп(оп, !з!а!хшап, 1972], в которой приведено 35 различных точных решений. где с и Ь вЂ” свободные параметры. При Ь = 0 получаем линей- ное уравнение Бюргерса, а при с = 0 и Ь = 1 — нелинейное уравнение Бюргерса. Если с = 1/2 и Ь = — 1, то обоб!ценное уравнение Бюргерса имеет точное стационарное решение $4.5.
Уравнение Вюргерса (вязное теченис) 191 Уравнение (4.168) можно записать в дивергентной форме и,+ Р„=О, (4.170) где г" определяется соотношением Р =си г Ьит/2 — ри„. (4.171) Уравнение (4.168) можно записать и по-другому: (4.172) и, + Р„ = )ьи„„, Р = си + Ьит/2. где (4. 173) Для линейного случая (Ь = 0) выражение для Р упрощается и 2.0 3.0 т-ш о -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 Рис.
4.37. Точное решение уравнения (4.168). Для нелинейного уравнения Бюргерса (с= О, Ь = 1) А равно и, а для линейного уравнения (Ь = 0) А равно с. В последующем при анализе разностных схем мы будем использовать уравнение Бюргерса как в виде (4.172), так и в виде (4.!74). 4ЗЬ1. Метод разностей вперед по времени и центральных разностей по пространству (ВВЦП) ' Методом ВВЦП Роуч [ноас)те, 1972) назвал метод, полу. ченный при применении к линеаризованному уравнению Бюргерса (к уравнению (4.174) при А = с) разностей вперед по времени и центральных разностей по пространству.
Полученная сводится к виду Р = си. Если ввести А = дг/ди, то уравнение (4.172) примет вид иг+ Аи„= ри,„. (4. 174) !92 Гл. 4 Метод конечных разностей длн модельных уравнений в рсзультатс разностная схема имсет вид »+1 а л л ~ 2» 1 л — н.175) Это — явная одношаговая схема первого порядка точности с погрешностью аппроксимации 0(Лг, (Лх)в).
Выпишем модифицированное уравнение +, ( — — — — 2т+ 1Отг — Зтз) и„„„„+ .... (4.176) Для уравнения Бюргерса г = рЛг/(Лх)', а т = сЛг/Лх. Отметим, что при г = 1/2, о = 1 коэффициенты при первых двух членах в правой части модифицированного уравнения обращаются в нуль. К сожалению, при этом исчезает вязкий член 1ьи»» в рассматриваемом уравнении в частных производных. Следовательно, метод ВВЦП при г = 1/2 и т = 1 приводит к неприемлемой конечно-разностной аппроксимации уравнения Бюргерса, так как в этом случае разностная схема принимает вид и"+' = й ! ггп Из описанного ранее эвристического анализа устойчивости следует, что для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы коэффициент при и,„ был больше нуля.
Следовательно, свЛ!/2( 1т, или (214-(а )а-. Последнее соотношение можно переписать в виде тв ( 2г. (4.177) Очень полезным параметром, который естественно появляется при численном решении уравнения Бюргерса, оказывается сеточное число Рейнольдса, определяемое. соотношением (4.178) Кед, = с Лх/1ь. Этот безразмерный параметр, характеризующий отношение конвекции к диффузии, играет важную роль при определении характера решения уравнения Бюргерса.
Сеточное число Рейнольдса (называемое также числом Пекле) можно выразить через о и г следующим образом; сЬ» со! (Ь»)» Йеа» = — =- — — = — ° »вЂ” $ 4.5. Уравнение Вюргерса (вязкое течение) 193 Следовательно, условие устойчивости (4.177) можно записать в виде )хеа (2/т. (4. 179) Мы уже отмечали раньше, что эвристический анализ устойчивости не всегда позволяет определить все условия устойчивости разностной схемы. В рассматриваемом нами сейчас случае так и произошло.
Чтобы получить все условия устойчивости, воспользуемся фурье-анализом (методом Неймана). Для схемы ВВЦП коэффициент перехода 6=1+ 2г(созб — 1) — (т(з!п Р) (4.180) построен на рис. 4.38(а) для данных т и г. Уравнение для О описывает эллипс с центром в точке (1 — 2г) вещественной оси. ед !е Ед зе (ь! (а) Рисе 4.38. Условие устойчивости схемы ВВЦП. (а) т < 1, г < 1/2, те < 2г; (Ь) т<!,г<1/2,те)2г. Большая и меньшая полуоси эллипса равны 2г и т соответственно. Кроме того, эллипс касается единичной окружности в точке пересечения этой окружности с положительной вещественной осью. Необходимое условие устойчивости ~ 6 ~ ( 1 эквивалентно требованию, что эллипс целиком содержится внутри единичной окружности.
Последнее условие накладывает следующие ограничения на длины большой и малой полуосей эллипса: р(1, 2г ~(1. (4.! 81) Однако и при выполнении этих условий разностная схема может быть неустойчива, как видно из рис. 4.88(Ь). Конечно, полное условие устойчивости можно найти, исследуя обычным образом выражение для модуля коэффициента перехода. Проведя такой анализ, получим та(2г, г~(1(2. (4.182) 7 Д.
Андерсов в др. Тои 1 194 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений Первое условие уже было получено раньше на основе эвристического анализа устойчивости. Комбинируя эти два неравенства, можно определить еще одно: ч ( 1, которое уже было получено на основе графического анализа. Условия устойчивости накладывают следующие ограничения на величину сеточного числа Рейнольдса: 2т ~~йед. (2/о.
(4.183) Следует заметить, что в некоторых работах правая часть последнего неравенства ошибочно записывается как йед, (2. Важной характеристикой конечно-разностных схем, используемых для решения уравнения Бюргерса, является появление осцилляций (всплесков) решения. Очевидно, при расчете течений жидкости 'мы хотели бы избежать появления таких осцилляций. При решении уравнения Бюргерса методом ВВЦП осцилляции возникают, если сеточное число Рейнольдса расположено в диапазоне 2 .. йед, ( 2/т.
или, что эквивалентно, в виде ив+1= — (2 — йед„)ин +(1 — 2г)и" + — (2+йе „)и" г (4.185) Теперь предположим, что мы хотим найти решение уравнения Бюргерса с начальным условием и(х,0)=0, 0 ( х ( 1, и граничными 'условиями и(0,1)=0, и(1, !) = 1 на сетке, состоящей из 11 узлов. На первом шаге по времени все значения и на (и+1)-м временнбм слое равны нулю, кроме значений в узле /= 10, где и"+' = — (2 — йедл) (1) + (1 — 2г) (О) + — (2+ йедл) (О) = т .= — (2 — йед,), 2 и на границе (/= 11), где иы равно заданному значению 1. Если йед, больше двух, то величина ив+' будет отрицательна, что и вызовет осцилляции решения, как показано на рис.
4.39(а). Если сеточное число Рейнольдса немного больше 2/о, то эти осцилляции в конце концов приведут к «взрыву» решения, как и следовало ожидать из проведенного выше анализа устойчивости. Чтобы найти причину возникновения осцилляций, перепишем уравнение (4.175) в виде инт+' =- (г — о/2) ин + (1 — 2г) и" + (г+ о/2) и" „(4.184) $ 4.5. Уравнение Бюргерса (вязкое течение) Этот рисунок построен для случая т = 0.4, г = 0.1, Кеа„ = ( — =О., Ке =4( ( 2/Ч. Прн ЭТИХ ПараМЕтраХ ив!0+1 раВНΠ— О.1. На СЛЕдуЮщЕМ шаге по времени осцилляция продвигается еще на одну точку дальше от правой границы. Значения и при !' = 9 и ! = 10 равны ид+9 =+ 0.01, ма+Я = — 0.18, а вид решения показан на 1О рис.
4.39(Ь). Постепенно осцнлляции распространяются до другой границы, но при этом остаются ограниченными по величине 1.0 0.9 0,0 0,7 0.5 0.5 0.4 0.3 0.2 ол -ал -0.2 -0.3 1 3 5 7 9 11 1 3 5 7 9 11 ! 9 (а) (ь1 (о1 Рис. 4.39. Возникновение осцилляцнй при численном решении уравнения Бюргерса. (а) (л + !)-й слой по времени; (Ь) (и + 2)-й слой по времени; (с) (и + 3)-й слой по времени. в течение всего решения, пока нтерационно не получится стационарное состояние. Рассмотренные осцилляции аналогичны тем, которые возникают в рамках невязкого уравнения Бюргерса при расчете движущегося разрыва по схемам второго (или более высокого) порядка точности. Лучше понять причины возникновения осцилляций можно, также изучив коэффициенты уравнения (4.188) с физической точки зрения.
Мы видим, что если Кеа, больше двух, то коэффициент при и +, с тановится отрицательным. Следовательно, чем б ольше и+,, т м ем меньше и"+1. Для вязких задач такое пове- ! дение решения не имеет физического смысла, так как с ростом иа ВЕЛИЧниа ив+1 дОЛжНа «тяиутЬСя» За НЕй ВСЕ СИЛЬНЕЕ И !+1 ! 7$ 196 Гд. 4. Метод конечных разностей длн модельных уравненнй Схема первого порядка точности подавляет осцилляции благодаря введению в решение дополнительной диссипации.
К сожалению, вносимая диссипация делает разностную схему настолько неточной, что разностная схема (4.186) не может рассматриваться как схема решения уравнения Бюргерса. Вносимая в решение большая диссипация очевидна из анализа модифицированного уравнения для этой схемы ат+ си, = ~)4(1 + 2') — — ]и„„+ ... (4.187) и сравнения его с модифицированным уравнением для схемы ВВЦП; В уравнении (4.187) в выражении для коэффициента при члене, содержащем и„, появляется дополнительное слагаемое 4ьцед,/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
