Anderson-et-al-1 (1185923), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Ключевым моментом, определяющим эффективность применения неявного метода переменных направлений для решения эллиптических уравнений, является выбор значений итерационных параметров р». Этот выбор можно осуществлять либо по методике, предложенной Писменом и Ракфордом [Реасешап, цасЬ1огд, 1955[, либо по методике, предложенной Вахспрессом [%аспзргезз, 1966[. Хотя имеющийся опыт применения этих методик не позволяет узнать, какая из них лучше, результаты некоторых исследований указывают на то, что вторая из них предпочтительней. Читателю, который захочет воспользоваться 168 Гл. 4.
Метод конечных разностей длн модельных уравнений неявным методом переменных направлений, мы советуем сначала ознакомиться с работами, посвященными выбору итерационных параметров рь Сопоставить времена счета при использовании точечно- н блочно-итерационных методов с последовательной верхней релаксацией не просто из-за сложности подбора оптимального значения параметра верхней релаксации. Кроме того, результат такого сопоставления во многом определяется конкретными особенностями рассчитываемой задачи, граничными условиями и числом узлов разностной сетки.
Блочно-итерационные методы требуют обычно меньше итераций, чем точечно-итерационныс методы, но, как мы уже указывали, на каждой итерации приходится проводить больший объем вычислений. Имеющийся опыт показывает, что для большинства задач время счета для достижения одинаковой точности при применении методов последовательной верхней релаксации по строкам и Гаусса — Зайделя с последовательной верхней релаксацией практически одинаково. Неявный метод переменных направлений с последовательной верхней релаксацией (при постоянном параметре итераций) позволяет часто сократить время счета на 20 — 40 $ по сравнению с методом Гаусса — Зайделя с последовательной верхней релаксацией. При переменном параметре итераций можно обычно достичь еще большего сокращения времени счета. Сильно неявные методы.
В последние годы разработан новый тип блочно-итерационной процедуры решения системы алгебраических уравнений, возникающей при дискретизации эллиптических уравнений в частных производных. Для иллюстрации этого подхода рассмотрим систему алгебраических уравнений, получающуюся при использовании пятиточечной схемы для решения уравнения Лапласа. Запишем эту систему уравнений в виде [А]и=С, где [А] — сильно разреженная матрица коэффициентов, н — вектор-столбец неизвестных, а С вЂ” вектор-столбец известных величин.
Стоун [Ропе, 1968] предложил решать эту систему уравнений методом факторизации с использованием сильно неявной процедуры. Суть этого метода состоит в замене разреженной матрицы [А] матрицей [А + Р], которая представляется в виде произведения верхней [Ц и нижней [Е] разреженных треугольных матриц. Если матрицы [Е] и [Ц неразреженные, то эффективность рассматриваемого метода оказывается близкой к эффективности метода исключения Гаусса; следовательно, успех применения метода факторизации определяется выбором мат- э 4.3.
Уравнение Лапласа 169 рицы [Р). Важно, чтобы элементы этой матрицы были малы по абсолютной величине, а получающаяся в результате система уравнений должна быть более неявной, чем при использовании метода переменных направлений. Для построения итерационного алгоритма перепишем систему уравнений [А]ц = С в виде [А+ Р]ц"+'=С+ [Р) п".
Представим матрицу [В] = [А + Р) как произведение верхней [0] и нижней [Ц треугольных матриц. Тогда [Ц [и] ц"" = С+ [Р] ц". Если ввести промежуточный вектор Ч"+' =[(7]ци+', то получим следующий двухшаговый алгоритм: Шаг 1 [ь] Ч"+ = С + [Р] ц". [и] и"" = Ч"". (4.!27а) (4.127Ь) Шаг 2 По этому алгоритму расчет проводится на каждой итерации. На шаге 1 осуществляется прямая подстановка, а на шаге 2 — обратная. Стоун [8(опе, 1968) выбрал матрицу [Р) таким образом, чтобы в матрицах [Е] и [(7] было только по три ненулевые диагонали, а главная диагональ матрицы [(7] состояла бы из одних единиц.
Кроме того, элементы матриц [Ц и [Ц были подобраны так, что ненулевые элементы матрицы [А] совпали с расположенными на их месте элементами матрицы [В), т. е. матрица [В] отличалась от матрицы [А] появлением двух новых ненулевых диагоналей. Элементы матриц [ь], [Ц и [Р] можно определить по заданным уравнениям, основываясь на произведении [Ц [Ц.
Подробно этот метод описан Стоуном [8(опе, 1968). Рассмотренный метод неявный как по х, так и по у. Проведенные численные расчеты показали, что время решения уравнения Лапласа этим методом составляет лишь 50 — 607а времени решения неявным методом переменных направлений. Шнейдер и Зедан [ВсЬпе(бег, Еес(ап, 1981] предложили новый способ построения матриц [Ц и [(7], позволяющий сократить время расчета в два — четыре раза по сравнению с методом Стоуна (Яопе, 1968). Получившийся в результате метод авторы назвали модифис(ироеанным сильно неявным методом.
Алгоритм решения уравнений этим методом также описывается соотношениями (4.127а) и (4.127Ь); улучшение же достигнуто благодаря распространению метода Стоуна на девятиточечную схему 170 Гл. 4. Метод нонечных разностей длн модельных уравнений решения уравнения Лапласа. Модифицированный сильно неявный метод можно использовать и для решения разностиых уравнений, получающихся при применении пятиточечной схемы, при этом, как уже отмечалось, время расчета сокращается в два— четыре раза. По-видимому, новый метод является эффективным и довольно общим методом решения алгебраических уравнений.
Подробно он описан в приложении С. (4.128) Первое и второе слагаемые в левой части этого уравнения являются соответственно нестационарным и конвективным членами, а в правой части стоит вязкий член. Если вязкий член не равен нулю, то уравнение (4.128) параболическое; если же он равен нулю, то в уравнении остаются лишь нестационарный и нелинейный конвективный члены. Такое уравнение гиперболическое и имеет вид — + и — =О. ди ди д~ дх (4.129) Его можно рассматривать как модельное для уравнений Эйлера, описывающих движение идеального газа. Уравнение (4.129) есть нелинейное уравнение конвекции и обладает некоторыми математическими особенностями, к рассмотрению которых мы сейчас перейдем.
После этого мы опишем различные разностные схемы, используемые для решения невязкого уравнения Бюргерса. При этом будут приведены типичные результаты, полу- 9 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение) Мы изучили различные конечно-разностные методы и применили их к решению простых линейных задач. Это позволило нам лучше понять эти методы и познакомиться с их основными специфическими особенностями.
К сожалению, в гидромеханике обычно приходится решать нелинейные задачи, так как давление, плотность, температура и скорость должны быть определены из решения нелинейной системы уравнений в частных производных. Полезно сначала изучить какое-то одно простое нелинейное уравнение, аналогичное уравнениям гидромеханики. Это уравнение должно включать в себя члены, описывающие те же физические процессы, что и члены, входящие в уравнение гидромеханики, т. е. конвективный, диффузионный или диссипативный и нестационарный члены.
Такое простое нелинейное уравнение было предложено Бюргерсом [Впгйегз, 1948). Оно имеет вид ди- Ь ди дзи — -+ и — =И вЂ” ° дт ' дк дкв ' й 4.4. Уравнсние Ьюргерса (невинное течснис] В общем случае и неизвестная и, и функция Р(и) — векторы. Перепишем уравнение (4.130) в виде — +А — =О, ди дн д1 дх (4. 131) где в общем случае А = А(и) — матрица Якоби дР;/диь а в нашем простом примере А = с(Р/с(и. Так как наше уравнение (или система уравнений) в частных производных гиперболическое, то все собственные значения матрицы А вещественные.
Гладким называется такое решение уравнения (4.131), когда функция и непрерывна внутри области, а ее производная может иметь разрыв на границе (т. е. решение уравнения является непрерывным по Лнпшицу). Слабым называется решение уравнения (4.131) гладкое всюду, кроме некоторой поверхности в пространстве (х, 1), на которой функция и может иметь разрыв. На величину скачка функции и при переходе через поверхность разрыва накладываются определенные ограничения.
Пусть се — произвольная непрерывная векторная функция с непрерывной первой производной, равная нулю вне некоторой ограниченной области, тогда и называется слабым решением уравнения (4.130), если ~~ (ао,и+ се,Р) с(хе(1+ ~ св(х, 0)ф(х) с(х= О, (4.132) о причем ф(х)=и(х,О). Гладкое решение всегда является одновременно слабым решением, а всякое непрерывное слабое чаемые при расчетах по многим широко используемым разностным схемам, и выяснена роль нелинейных членов. Уравнение Бюргерса будет рассмотрено в $4.5. Уравнение (4.129) можно интерпретировать и как нелинейное волновое уравнение, при этом скорость распространения волны в различных точках будет разной.
В противоположность этому в ранее изученном линейном одномерном уравнении конвекции (линейном волновом уравнении) (4.2) скорость распространения любых возмущений была постоянна. Так как скорость распространения возмущений меняется, то характеристики начинают пересекаться и в решении возникают разрывы, аналогичные ударным волнам в газовой динамике. Следовательно, рассматриваемое одномерное модельное уравнение позволяет изучать свойства разрывных решений. Нелинейные гиперболические уравнения в частных производных обладают решениями двух типов согласно Лаксу [1ах, 1954].
Поясним это на примере простого скалярного уравнения (4.130) 172 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений решение является гладким. Подробно теория слабых решений изложена в прекрасных книгах ['(1ьг)11(Ьагп, !974) и 1Лейгеу, Тая)ц(1, 1964). Теория слабых решений гиперболических уравнений в частных производных — относительно недавно созданная математическая теория. Одним из примеров слабого решения являются ударные волны, возникающие в сверхзвуковых течениях невязкой жидкости. Интересно заметить, что решения уравнений газовой динамики с ударными волнами были известны за 50— 100 лет до того, как была построена теория слабых решений систем гиперболических уравнений в частных производных.
рис. 4.23. Типичная задача о распространении разрыва для уравнений Бюр- герса. Вернемся к невязкому уравнению Вюргерса и найдем условия существования слабого решения этого уравнения, т. е. необходимые условия существования решения с разрывом, как изображено на рис. 4.23. Пусть ш(х,() — произвольная непрерывная функция, имеющая непрерывную первую производную. Кроме того, пусть она обращается в нуль на границе В области Р и вне Р (на дополнении к Р); Р— произвольная прямоугольная область в плоскости (х,1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
