Anderson-et-al-1 (1185923), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(4.109) При втором проходе величина узлах сетки (в тех узлах сетки, и,"+! вычисляется в оставшихся где (с+)+п) — нечетное число) по простой неявной схеме о+! я и,с — исс „+, =а(баас,с + + блие~). (4.110) Второй проход кажется неявным, но решать систему алгебраических уравнений не надо, так как величины и",++,' ич+' и"ч.с, и" т! нам уже с — с, с~ с, с+!' с, с-! известны из первого прохода, т. е.
рассматриваемая схема явная. Погрешность аппроксимации метода «классики» равна 0(схс, (Лх)я, (Лу)х). 2 3 4 с=О Рис. 4.!7. Схема расчета «классики». Крестики для нечетных (С+ С'+ о); 4.2Л4. Дополнительные замечания кружки для четных (!+ С+ л). Выбор наилучшего метода решения уравнения теплопроводности является нелегким делом из-за того, что существует большое разнообразие приемлемых методов. Обычно неявные методы больше подходят для нх решения, чем явные методы. Для решения одномерного уравнения теплопроводности мы рекомендуем схему Кранка — Николсона, так как она обеспечивает второй порядок точности по времени и пространству.
Для двух- и трехмерного уравнений теплопроводности превосходные результаты получаются прн использовании как неявного метода переменных направлений Дугласа и Ганна, так и блочного метода Келлера или модифицированного блочного метода. 4 4.3. Ураппепие Лапласа 147 5 4.8. Уравнение Лапласа Уравнение Лапласа является модельным уравнением для эллиптических уравнений в частных производных. В декартовой системе координат двумерное уравнение Лапласа имеет вид (4.111) Некоторые важные задачи, часто встречающиеся в приложениях, сводятся к решению одного эллиптического уравнения в частных производных. К ним относятся задачи расчета дозвукового безвнхревого (потенциального) течения газа и определения стационарного поля температуры в твердом теле.
Уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости— пример более сложной системы уравнений, имеющей эллиптический характер. Стационарные уравнения Навье — Стокса эллиптические, но их эллиптичность проявляется довольно сложным образом, так как эллиптический характер уравнения определяется и производными скорости, и производными давления. Не- стационарные уравнения Навье — Стокса являются уравнениями смешанного эллиптически-параболического типа. Смешанный характер уравнений Навье — Стокса лучше всего подтверждается тем, что при численном решении этих уравнений они преобразуются к системе уравнений, из которых хотя бы одно параболическое, а одно — эллиптическое уравнение Пуассона вида (4.112) Итак, уравнения в частных производных эллиптического типа встречаются в задачах гидродинамики и теплообмена довольно часто, поэтому мы внимательно рассмотрим различные методы решения нашего модельного эллиптического уравнения.
4.3Л. Конечно.раэностные аналоги урааненна Лапласа Методы решения уравнения Лапласа, да и вообще большинства эллиптических уравнений различаются не столько методом построения конечно-разностного аналога (хотя и эти методы отличаются), сколько методом решения получающейся системы алгебраических уравнений. Пятиточечная схема. Наиболее часто для построения конечноразностного аналога уравнения Лапласа используется пятиточечная схема, предложенная Рунге в 1908 г.: и, — 2и, +и,, и, — 2иг ~+и (ах)е + (ьу)е ' — 0 (4 118) 148 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений с погрешностью аппроксимации 0((тхх)а, (оу)а). Модифицированное уравнение имеет вид 1 ихх + ИРР = — (л [И„„хх (Ьх) + ивана (оэ) ] + .... Девятиточечная схема.
Эта схема представляется наиболее логичной, если мы хотим решить уравнение Лапласа по схеме 1) высокого порядка точности. Пусть Лх = й, тху = К тогда разностная схема имеет внд иьг!;4!+ и;,;„+ +и,+, 1 !+и, ла — бях — 2 х )а (И; !!+И! !1)+ 5)тх — да +2 -„ †, ††;у-(и,;„, + и,; ,)— — 20и, 1 —— О. (4.114) (а) Погрешность аппрокси- мации этой схемы имеет по- 9 рядок 0(йа, йа), однако на квадратной сетке этот поря- 1-! 'т! 1+1 '+1 док повышается до 0(йа). Найти погрешность аппрокау бх симации и получить модифицированное уравнение мы предложим читателям в задачах к этой главе.
Девяти- точечная схема кажется до- 1-! 1-1 вольно привлекательной для уравнения Лапласа из-за подходящей ошибки аппроксимации, но для уравнений более общего вида (в том ) числе и для уравнения Пуас- сона, содержащих другие Рис. 418 шаблоны, испольауемые для соне)' сод Р 1 дРУ расчета по двум пятиточечным схемам члены, Оиа Имебт пегрешпри ах = Лу. (а) Пятнточечная схема; ность аппроксимации лишь (Ь) диагональная пятиточечная схема. 0(йх ьх) Другие разностные схемы для уравнения Лапласа.
Так как оператор Лапласа инвариантен относительно поворота системы координат, то не удивительно, что на квадратной сетке (тхх = 149 5 4.3. Уравнение Лапласа = йу = й) вместо четырех точек шаблона схемы (4,113) можно использовать точки, в которые они переходят при повороте на 45' относительно узла (1, !) и одновременном увеличении шага сетки до )/2 Ь. В результате получается диагональная пятиточечная схема решения уравнения Лапласа: и,+, !е, + и,е, г, + ис, г, + ис-к!+1 — 4и,, г — — О.
(4.115) На рис. 4.18 показано расположение узлов разностной сетки, используемых при аппроксимации оператора Лапласа по двум пятиточечным разностным схемам. Погрешность аппроксимации диагональной пятиточечной разностной схемы составляет 0(йа) (см. задачу 3.10). В литературе приводятся и другие разностные схемы решения уравнения Лапласа (см., например, [Тпош, Аре!1, 196!)), но ни одна из них не обладает сколь-нибудь заметными преимуществами перед приведенными пяти- и девятиточечной схемами. Для повышения порядка аппроксимации приходится увеличивать число точек в шаблоне, поэтому при использовании таких схем трудно обрспечить высокий порядок точности вблизи границ.
4ЛД. Простой прнмер применения ревностной схемы для решения ураанепня Лапласа Рассмотрим задачу нахождения функции и, удовлетворяющей уравнению Лапласа даи/дха+ даи/дуа =0 в квадрате 0 < < х < 1, 0 < у < 1, если на границе заданы условия Дирихле. Решение поставленной задачи можно найти в виде суммы ряда (используя метод разделения переменных), коэффициенты которого подбираются так, чтобы удовлетворить заданным условиям для и на границе. Такое решение приведено в большинстве книг, посвященных теплопередаче (см., например, !Спаргпап, 1974)), и может быть использовано для проверки конечно-разностных схем. Есть и другой способ проверки разностной схемы.
Возьмем какую-нибудь простую функцию, являющуюся решением уравнения Лапласа в квадратной области, например функцию и =ха — ут, и используем ее для задания граничных условий при конечно-разностном решении этого уравнения. Тогда результаты расчета можно сравнить с функцией и =ха — уа. В этом примере мы используем пятиточечную схему (4.113), положив Лх = Лу = 0.1, т. е. построим равномерную сетку 11~(11 в квадратной области (рис. 4.19). При бх = сау разностные уравнения имеют вид и,е, !+ и,, г+ и, ге, + и~ ! 1 — 4и, ! =0 (4.1!6) 1оО Гл.
4. Метод конечных разностей для модельных уравнений во всех узлах сетки, в которых величина и неизвестна, т. е. для рассматриваемой задачи с граничными условиями Дирихле в 81 узле. В каждом из этих узлов должно удовлетворяться разностное уравнение, поэтому одновременно надо решить 81 линейное алгебраическое уравнение с 81 неизвестным и; ь Математически такую систему уравнений можно записать в виде апи,+а„и,+........ а,„и„=со аз1и, + атзиз +........ аз„и„= сз, (4.117) а„,и, + а„зиз+ ........
а„„и„=с„, или более компактно: [А]п = С, где [А] — известная матрица коэффициентов, н — вектор-столбец, элементы которого надо оп- [О,1) (0,0) (1,0) %' Рис. 4.19. Конечно-разностная сетка для решения уравнения Лапласа. ределить, а С вЂ” известный вектор-столбец. Стоит заметить, что матрица коэффициентов разреженная, так как 78 из 81 величины а в каждой строке равны нулю. Для того чтобы получить наиболее простую систему алгебраических уравнений, положим Лх = Лу. Если Лх Ф Ьу, то выражения для коэффициентов уравнения становятся немного более сложными, но система алгебраических уравнений остается линейной и также может быть записана в виде [А]н = С.
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на прямые и итерационные. Прямыми называются методы, позволяющие за конечное число заранее опре- з 4.3. Уравнение Лапласа ПП деленных операций найти точное (если пренебречь ошибками округления) решение системы уравнений. Алгоритм получения решения такими методами обычно оказывается довольно сложным. Итерационные методы сводятся к последовательному применению относительно простого алгоритма, они позволяют получить точное решение лишь в пределе. Однако если итерационный процесс сходится, то результат, отличающийся от точного решения на величину, меньшую некоторого наперед заданного значения а, можно получить за конечное, хотя заранее и неизвестное, число операций.
Приведем несколько примеров прямых и итерационных методов решения систем линейных уравнений. 4В.З. Прямые методы регления систем линеАных алгебраических уравнениА Правило Крамера. Это один из самых простых методов. Все студенты наверняка слышали о нем, и большинство из них знакомы с процедурой этого метода. К сожалению, он требует чрезвычайно больших затрат машинного времени. Число операций, необходимых для решения системы уравнений, пропорционально (Аг+ 1)1, где )т' — число неизвестных.
Много ужасных историй рассказывалось о большом времени, затрачиваемом на решение уравнений по правилу Крамера. Излюбленный пример приводится Роучем 1йоас)те, 1972]. Для решения по правилу Крамера системы 26 уравнений с 26 неизвестными на ЭВМ СВС6600 потребуется 1О'в лет. Это в 10в раз больше оцениваемого современной наукой времени существования Вселенной! Не вызывает сомнения, что до тех пор, пока выбор метода в наших руках, мы никогда не воспользуемся для решения уравнений правилом Крамера.
Метод исключения Гаусса. Метод исключения Гаусса — очень полезный и эффективный метод решения многих систем алгебраических уравнений, особенно систем уравнений с трехдиагональной матрицей. Однако для систем алгебраических уравнений более общего вида, возникающих при конечно-разностной аппроксимации уравнений в частных производных, он уступает в быстродействии некоторым другим методам. При решении этим методом системы )У уравнений требуется примерно )та операций.
Кроме того, накапливающаяся при выполнении большого числа операций ошибка округления иногда приводит к снижению точности получаемых результатов, если У велико. На самом деле точность метода во многом определяется конкретным видом системы уравнений, и вопрос о точности метода слишком сложен, чтобы можно было ответить на него простым утверждением общего характера. Вели преобразовать систему уравнений так, 152 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений чтобы наибольшие по абсолютной величине коэффициенты были, насколько это возможно, расположены на главной диагонали, то точность получаемых методом Гаусса результатов повысится. В дальнейшем мы будем использовать метод Гаусса для решения систем уравнений с трехдиагональной матрицей, возникающих при применении неявных разностных схем к решению маршевых задач. Пока же покажем, как применяется метод исключения Гаусса для решения систем алгебраических уравнений общего вида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
