Anderson-et-al-1 (1185923), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(4.51) 211 1 Дх(1 4.!.9. Разности против потока Бим и Уорминг [вагш)пд, Веаш, 1975) предложили несколько изменить метод Мак-Кормака, используя как на шаге предиктор, так н на шаге корректор разности назад (разности против потока). При с " 0 этот метод приводит к разностной схеме. Предиктор — со1 Г и"+' =и" — — х(ил — и" ). / ! ох (1 1-1)' (4.52) Корректор » л "Дст» ил+' = — ) и" + илю — — (иле' — и"»')— 1 2! 1 ! ах(1 1 — 1/ (ил 2и» + ил )1 с о1 (4.53) Благодаря тому чго в правую часть уравнения (4.53) включена односторонняя с разностями прот ~в потока аппроксимация второй производной, схема имеет второй порядок точности с погрешностью аппроксимации 0((лг)', (и) (лх), (стх)а). если подставить (4.52) в (4.53), то получится одношаговый алгоритм и"+' =и" — т(и" — и'*,) )- — т(т--!) (и" — 2и", + и",).
(4,54) 1 Первоначально (предиктор) находится оценка и"+' величины и на (и+ 1)-м шаге по времени, а попом (корректор) определяется окончательное значение и нп (и+!)-м шаге по времени. Отметим, что в предикторе прок ~водная ди/дх аппроксимируется разностями вперед, а в корректоре — разностями назад. Можно поступить и наоборот, что бывает полезным при решении некоторых задач. К таким задачам относятся, в частности, задачи с движущимися разрывами. Для линейного волнового уравнения схема Мак-Кормака эквивалентна схеме Лакса — Вендроффа, поэтому у ннх одинаковые погрешность аппроксимации, условие устойчивости, модифицированное уравнение и коэффициент перехода.
126 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений Модифицированное уравнение для рассматриваемой разностной схемы имеет вид ит + си„= (1 — т) (2 — т) и„„,— з (ах)з — т(1 — т)з(2 — т) и,„+ ..., (4.55) При т = 1 и т = 2 схема с разностями против потока имеет бесконечный порядок точности. Коэффициент перехода выражается в виде 0=1 — 2т(и+ 2(1 — т) з(п — 1 з(п' —— я01хВ 2( 2 — (т з)п 6 '(1+ 2(1 — т) з!п' — ~. (4.56) и разностная схема устойчива при О < т < 2. Модуль коэффициента перехода и относительная погрешность в определении фазы показаны на рис. 4.9. Для метода с разностями против н = 0.25 0.50 и= пгз, о.75. г.аа, ~ оо ' т 50 1.75, 1,00 0.00 1.00 2.00 1.00 0,00 1.00 (0! Фе (а) (ь) Рис. 4.9. Схема с разностями против потока (Бима — Уорминга).
(а) Модуль козффнциента перехода; (Ь) относительная погрешность определении фазы. потока при О < т < 1 характерно в основном опережение по фазе, а при 1 < и < 2 — отставание. Отметим, что при О < и < < 1 метод Лакса — Вендроффа и метод Бима и Уорминга с разностями против потока имеют противоположные ошибки по фазе, поэтому дисперсионную ошибку можно существенно уменьшить, применив линейную комбинацию двух этих методов.
Метод Фромма (ггоппп, 1968] с равной нулю средней ошибкой по фазе основан именно на этой идее. $4.1. Волновое уравнение 127 4.!ЛО. Центрярояанная ао яременн неяаная схема Для построения неявной разностной схемы второго порядка точности вычтем два ряда Тейлора 4.57 и заменим (ивв),"+~ на (ивв)в"=(ивв),"+ 51(иввв)в+ "" В результате получим ил+в ил+ [(и )л+(и )~~~) + 0 ((в»в) ) (4 58) Такое выражение для производной по времени называют конечно-разностной аппроксимацией производной по Кранку— Николсону. В случае линейного волнового уравнения ив = — си, имеем л+в ил [(и )л+ (и )"+'~ + 0 ((Ж) ) (4 59) Подставляя вместо членов с производной и, центрально-разностную аппроксимацию второго порядка точности, получаем Г. В В 4 ( В+в В+в В-в В-в)' ил+в ил ~ вгил+в + ил ил+в ил т (4 59) Это схема второго порядка точности с погрешностью аппроксимации 0((вхх)в, (в»в)в).
Она безусловно устойчива при любых шагах по времени, однако на каждом новом временнбм шаге приходится решать линейную систему алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Модифицированное уравнение для рассматриваемой разностной схемы имеет вид св (ав)в; с (ах)в ив+ сих = ~ 12 + 0 1иххх— [ ' ' * * ' '1и с(Ах) ( с ( В) (Ьх) ( с ( В) 1 ( (4 51) 120 24 00 '"-- Отметим, что в модифицированное уравнение не входят производные четного порядка, т. е. неявная искусственная вязкость равна нулю. Когда такая схема применяется для решения нелинейных уравнений движения, для предотвращения нелинейной неустойчивости часто необходимо вводить в нее некоторую явную искусственную вязкость, т.
е. «сглаживающий» член. Под- 128 Гл. 4. Метод канечных разностей для модельных уравнений робно этот вопрос будет рассмотрен в и. 4.4.7. Модуль коэффициента перехода 1 — (1т/2) 51п 0 (4.69) 1+ (1т/2) з!и 0 и относительная погрешность в определении фазы показаны на рис. 4.10, Для центрированной по времени неявной разностной схемы можно достичь четвертого порядка аппроксимации по простран- длязсех п 1.00 1 00 0.00 1.00 0.00 1.00 1в[ Ф/Ф (а) (Ь) Рис. 4.10. Центрнроваииая по времени неявная схема. (а) Модуль коэффициента перехода; (Ь) относительная погрешность в определении фазы.
ству, если для конечно-разностной аппроксимации производной и, использовать соотношение (3.31): (и„) = — — —" и + 0 ((Лх)4). 2 Дх 1 + йа/8 (4.63) Модифицированное уравнение и погрешность в определении фазы для получающейся в этом случае схемы можно найти в работе [Веагп, вагш(пд, 1976]. 4.1.11. Метод Русанова (Бйрстейна — Марина) До сих пор мы рассматривали лишь методы первого или второго порядка точности. В литературе опубликовано только несколько методов третьего порядка точности.
В. В. Русанов [1968] и Берстейн и Мирны [Вцгз1е(п, М(г1п, 1970] одновременно создали следующий явный трехшаговый метод: Шаг 1 й,'1„, = '/, (и", + й) — '/зт (й/+, — и"). ии1 = и' — з/зт (и1/0+1 „, — иД„). Шаг 2 4 4.!. Волновое уравнение )29 Шаг 3 и"+' = и" — — т ( — 2и" + 7и" — 7и" + 2ио )— / I 24 ( 1+2 !+! I-! !-2) — /ат (иц' — и'е' ) — 4 (и"„, — 4и", + би," — 4и" + й, ). (4.64) На шаге 3 в уравнение добавлен член, пропорциональный раз- ностному оператору четвертого порядка: 5!ив ио 4ив + бцв 4цв + ил х ! )+е )+! ! )-! )-е умноженному на некоторый параметр со.
Этот член вводится в уравнение для обеспечения устойчивости схемы. Необходимость добавления этого члена очевидна из условия устойчивости рассматриваемой разностной схемы: )т!(1 4те — ч4~(со~(3. (4.65) Если разностный оператор четвертого порядка в уравнение не введен (т. е. ы равно нулю), то при 0 ( у ( 1 не удается удовлетворить условию устойчивости (4.65). Модифицированное уравнение для схемы Русанова имеет вид с(ах)а г св с (Ьх)' + ! О ( — бе+ 4+ 15ч~ — 424)и„„„,„+ ....
(4.66) Для снижения диссипативных свойств схемы можно приравнять нулю коэффициент при четвертой производной, полагая со 4те ча (4.67) Аналогично можно уменьшить дисперсионные свойства разностной схемы, приравняв нулю коэффициент при пятой производной, т. е. (4еа+ !) (4 — еа) (4.68) з Коэффициент перехода для метода Русанова имеет вид О = 1 — — яп й — — яп — — !ч з!п 6 )е! + — (1 — ч ) яп — э!. тв . а 2ц 4 В . Г 2 а аВ" 2 3 2 з 2 ) ' (4.69) б д. Анлерсов н др. тон ! 130 Гл.
4. Метод конечных разностей для модельных уравнений Модуль коэффициента перехода и относительная погрешность в определении фазы приведены на рис. 4.11. Из рисунка видно, У=0.50, а) =1.5 и = 1.'00', а/=3Л =05 У=О. «) 2.5 и 0 У=1.0 1.00 0.00 1.00 1.00 1.00 !О! 1а! Рис. 4.11. Схема Русанова, (а) Модуль коэффициента перехода; (Ь) относительная погрешность определения фазы. что при использовании метода Русанова опережение илн запаздывание по фазе определяется величиной параметра о).
4.1.12. Метод Уорминга — каспера — Ломакса Уорминг и др. !%агш)пй е1 а1., 1973! предложили метод третьего порядка точности, который на первых двух шагах по времени совпадает с методом Мак-Кормака и на третьем— с методом Русанова: Шаг 1 цо) = ца — — у /цл — ця! / 3 ! /+! //. Шаг 2 и!') = — ~и" + и!') — — ч) /и!') — и!') 1~. Шаг 3 и"+!=ин — — т( — 2ин +7и" — 7и" +2и" / 24 ', /+2 /+1 /-! /-2) — 3 и (и~+) ! — и!/х) !) — 4 (и~+я — 4и/+, + би" — 4и/, + и/„,). (4.70) Условия устойчивости рассматриваемого метода такие же, как и метода Русанова. Кроме того, в случае волнового уравнения первого порядка и модифицированное уравнение совпадает с (4.66). Метод Уорминга — Катлера — Ломакса обладает перед методом Русанова теми же преимуществами, что и метод МакКормака перед двухшаговым методом Лакса — Веидроффа.
э 4,2. Уравнение теплопроводностн При использовании методов третьего порядка точности за увеличение точности алгоритма приходится расплачиваться увеличением времени счета и усложнением разностной схемы. Это необходимо тшательно учитывать при выборе метода решения уравнения в частных производных. Обычно для большинства приложений достаточную точность позволяют получить методы второго порядка точности. При решении одномерного линейного волнового уравнения первого порядка явные методы второго порядка точности, например методы Лакса — Веидроффа илн Бима — Уорминга, дают прекрасные результаты с минимальными вычислительными усилиями.
Неявные методы для решения этого уравнения использовать нецелесообразно, так как решение нестационарно, и нас обычно интересуют значения величин через небольшие промежутки времени. 5 4.2. Уравнение теплопроводности является параболическим уравнением в частных производных. Оно описывает одномерный процесс распространения тепла или одномерную диффузию в однородной изотропной среде. Это уравнение является простейшим модельным уравнением для параболических уравнений. Точное решение уравнения теплопроводности с начальным условием и(х,О) = ~(х) и граничными условиями и(0,1) = и(1,1) = О имеет вид ОЭ и (х, 1) = ~ А„е-'и' з! и (йх), л ! (4.72) где ! А„=2~1(х)з!п(йх)!тх, й=пп.
о Перейдем теперь к изучению некоторых наиболее важных разностных схем решения уравнения теплопроводности. 4.2.1. ПростоА явнмА метод Явный одношаговый метод и1+' — и! 1+! — 2 !+йт ! м ~(~П (4.73) имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации Одномерное уравнение теплопроводности (уравнение диффузии) ди дти (4.71) 132 Гл. 4. Метод конечных ревностей для модельных уравнений 0(о(, (Лх)е). В стационарном случае погрешность аппроксимации равна 0((Ьх)э). Как показано выше, такая разностная схема устойчива при 0(г~('/т, (4.74) где (4.75) г = а Ы/(Лх)' Модифицированное уравнение в рассматриваемом случае имеет вид 1 я а(ах)~ 1 ие — аи„л = ~ — — а Лг + ~ и„„„„+ + ГЗ а'(Ж)' 1'2 'ъ'Л'(Л~)'+ ЗЕО а(Лх)'3~"'""""+ .... (4.70) Отметим, что при г = 1/6 погрешность аппроксимации равна 0((Ы)Я, (Лх)4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
