Anderson-et-al-1 (1185923), страница 19
Текст из файла (страница 19)
3.3. 3.9. Проверьте соотношенне (3.80) в табл. 3.3. 3.16. Проверьте следующую нонечно-разностную аппроксимацию днфференциального оператора в точке (й/) пря Дх = Ду = й: дзи дзи г -н!-1+ "зьь!+1+ г-цг-~+из-ь!м ич дх + ду 23 + (й)' 3.1!. Постройте в точке (й/) конечно-разностную аппроксимацию производной дзи/дуз на неравномерной сетке с погрешностью аппроксимации 0(Ду), используя иь ь ис ььь иь г ь Примените метод разложения функций в ряд Тейлора. Можете лн вы на неравномерной сетке постронть трехточечную аппроксимацию этой производной со вторым порядком точностн? Прежде чем ответить на этот вопрос, подумайте о возможности компактной неявной записи производной.
3.12. Найдите погрешность аппроксимации в точке (й /) конечно-разностной аппроксимации пронзводной ди/ду на равномерной сетке ди ц/+ "Ь!+~ "г,г+з ду 2Ду Чему равен порядок погрешности авпроксимацнну 3.13. Найдите на равномерной сетке погрешность аппроксимации пронзводной ди [ 1 бхиг,г дх (11 28 1» бз/6' 3.14. Используя разложение функций в ряд Тейлора в окрестности точки (и+ 1/2,/), определите погрешность аппроксимации схемы Кранка — Николсона решения уравнения теплопроводностн (3.71).
Сравните найденную погрешность аппроксимации с полученной прн разложении функций в ряд Тейлора в окрестности точки (и,/). 3.13. Постройте на неравномерной сетке конечно-разностный аналог производной дТ/ду в точке (й/), имеющий погрешность аппроксимации 0(Ду)з, используя Ть ь Ть ььь Ть г+з. ЗЛЗ. Определите погрешность аппрокснмацин в точке (й/) приведенной ниже конечно-разпостной аппроксимацнн производной ди/дх на неоавпомерной сетке: ди 1 "!+1! — (Дхе/Дх )' "г ! г+ [' — (Дх+/~х-)*]'« 3.17.
Пусть нз решеиня разпостных уравнений нам известно распределение температуры вблизи адиабатической стенка (т. е. граничное условне Задачи имеет вид дТ/др=й), но значение температуры на самой стенке мы не знаем (рис. 3-3.1). Однако во многих случаях нам необходимо определить именно температуру стенки. Определите температуру Т, адиабатической стенки по 'значениям температуры Т„ Т, и т. д. во внутренних узлах сетки, предполагая, что вблизи стенки температура (а) меняется линейно, (о) описывается полиномом второго порядка; (с) описывается полиномом третьего порядка (укажите лишь, как вы будете строить этот полинам).
С какой точностью Рис. 3-3.1. в каждом нз этих случаев будет определена величина температуры стенки Т~д 3.18. Рассмотрим задачу определения стационарного поля температуры с теплоотдачей на границе (рис. 3-3.2). В этом случае поле температуры опи- Т,й 2 0 1 йш= йу Рис. 3-3.2. сывается уравнением Лапласа, а граничное условие имеет вид — йдТ(ду( = й(Ть — Т ). Простейшая конечно-разностная аппроксимация этого граничного условия имеет вид — й(((Тз — Т )/Ьу) + 0(йр) й(Тз — Т, ). Определите граничное условие в лежащей на границе точке О, используя метод контрольного объема. Найдите погрешность аппроксимации, предполагая, что уравнение Лапласа выполняется на границе. 3.19.
Процесс распространения тепла описывается уравнением дТ/д1 = = а(УТ/дкз). Используя метод контрольного объема, постройте конечно-раз. постный аналог этого уравнения на неравномерной сетке. 3.20. Рассмотрим установившийся процесс распространения тепла в твер- дом теле в двумерном случае. Используя метод контрольного объема, полу- !04 Гл. 3. Основы метода конечных разностей чите в случае адиабатической стенки выражение для температуры границы изображенного на рнс. 3.7 объема В. 3.2!. Решите одномерное уравнение теплопроводности, используя для аппроксимации производных по времени разности вперед, а производных по пространству — центральные разности, если шаги по временной и пространственной координатам связаны соотношением а(б!/Ьх ) = !/2. Используйте расчетную сетку из пяти точек, дне нз которых лежат на границе, а грив внутри области Температура стенки предполагается постоянной и равной единице, а начальная температура — равной пулю.
Проведите расчет для десяти шагов но времени. Сравните полученный вами результат с полученным в примере 5 3.3. 3.22. Покажите, что коэффициент перехода разностной схемы решения уравнения теплопроводности (3.!01) можно получить прямой подстановкой решения такого вида: +С ии,~ ~" С ~лезвии Здесь С вЂ” коэффициенты Фурье начального распределения температуры, а л — коэффициент перехода. Проверьте, совпадает ли полученное выражение для л„ с (3.!Об).
Рассмотрите вопрос о сходимости разностной схемы, воспользовавшись для этого теоремой Лакса. 3.23. Используя метод Неймана, покажите, что если для аппроксимации производных по пространству применяются центральные разности, то явный метод Эйлера решения одномерного волнового уравнения неустойчив. Разностные уравнения в этом случае имеют вид и л ль! л Ы ! !+! 1-! ) и! и! — с — ~ Ьх ь 2 Покажите, что аналогичный неявный метод ~ ил+1 ил+1 1 .+!, й! ! и!+! иг-~ 1 и! =и! с !ь йх~ 2 устойчив.
3.24. Найдите необходимые условия устойчивости конечно-разностной схемы ии+! ии-! = — (и +! — и! — и! + и,), получающейся при решении уравнения теплопроводности методом Дюфорта — Франкла. 3.25. Покажите, что условие КФЛ является условием устойчивости схемы Лаков — Вендроффа решения одномерного волнового уравнения первого порядка. Конечно-разностное уравнение в рассматриваемом случае имеет вид и! — — и! — — (и!+! — и,) + (и!+! — 2и -(- и !). и+1 л сух! и и с'(й!) и л л 105 Задачи 3.26.
Определите необходимое условие устойчивости конечно разиостной схемы решения волнового уравнения с источниковым членом ди даи — = — а+ яи д1 дхз при использовании центральных разностей по пространству и разностей вперед по времени. Имеет ли для таких уравнений физический смысл необходи. мое условие устойчивости Неймана 13.121). 3,27.
Используйте матричный метод для исследования устойчивости схемы Лакса решения одномерного волнового уравнения первого порядка на сетке, состоящей из двух внутренних и двух граничных точек, причем предполагается, что граничные условия имеют вид инп = 1, инею = О. 3.28. Используйте матричный метод анализа устойчивости конечно-разностной схемы задачи 3.21 прн решенвн уравнения теплопроводности на сетке, состоящей из пяти точек. Сколько гармоник надо ввести в этом случае? 3.29.
Пусть конечно-разностиая схема решения уравнения в частных производных имеет вид и~+' =1А1 и1, где у 1+я ч 0 1А1=~ 0 1+в Л вЂ” 0 1+ ч./ Определите условие устойчивости этой схемы. Глава 4 Применение методов конечных разностей для решения модельных уравнений ф 4.1. Волновое уравнение Одномерным волновым уравнением называется следующее гиперболическое уравнение в частных производных второго поядка: Р дии з д~и — р.
= С Это уравнение описывает распространение звуковых волн в однородной среде со скоростью с. Существует уравнение первого (4.1) В этой главе описаны и подробно изучены различные конечно-разностные схемы, с помощью которых можно решать простейшие модельные уравнения. Мы ограничимся рассмотрением следующих модельных уравнений — волнового уравнения первого порядка, уравнения теплопроводности, уравнения Лапласа и уравнения Бюргерса. Эти уравнения называются модельными, так как они используются для изучения свойств решений более сложных уравнений в частных производных.
Так, уравнение теплопроводности можно рассматривать как модельное для других параболических уравнений в частных производных, например уравнений пограничного слоя. Все рассматриваемые модельные уравнения имеют аналитические решения при некоторых граничных и начальных условиях. Зная эти решения, легко оценить и сопоставить различные конечно-разностные методы, используемые для решения более сложных уравнений в частных производных. Из множества существующих конечно-разностных методов решения уравнений в частных производных в этой главе описаны в основном такие методы, которые обладают свойствами, характерными для целого класса аналогичных методов. Некоторые из этих свойств нежелательны, однако в учебных целях мы рассматриваем н эти методы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
