Anderson-et-al-1 (1185923), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Модуль коэффициента перехода показан на рис. 4.4(а). Относительная погрешность в определении фазы выражается в виде 'а(- ' ь в) Ф р» при этом происходит опережение по фазе, что видно из рис. 4.4(Ь), 4.!.4. Нениный метод Эйлера До сих пор мы рассматривали только явные методы. Рассмотрим неявную разностную схему Ив+1 Ил (4.29) 119 з 4.1. Волновое уравнение Это схема первого порядка точности с погрешностью аппроксимации 0(Ы, (Лх)а). Анализ устойчивости Неймана (анализ Фурье) показывает, что она устойчива при любом шаге по времени, т.
е. абсолютно устойчива. Однако при использовании этой схемы на каждом шаге по времени приходится решать систему алгебраических уравнений. Чтобы проиллюстрировать это, перепишем уравнение (4.29) так, что члены, содержащие значения а+г а+! а к 1-0 ! г и м!! Рис. 4.5. Расчетная сетка. или цца+\ 1 сгца+! 1 Ьца+! — С !+! 1 1-! (4.31) где а=с/2, д= 1, Ь = — т/2, С=ц". Пусть расчет проводится на изображенной на рис.
4.5 сетке, состоящей из М+2 узлов по х. Начальные условия заданы при и =О. На левой границе величина ц"+' задана и равна ио, а значение ц"++', на правой границе можно вычислить в процессе решения методом характеристик. Например, если т= 1, то ц"++',— — и,",. На заданной сетке разностная схема (4.31) сводится к решению системы М линейных алгебраических уравнений на (о+ 1)-м шаге по времени: (А) (и) И иа!! ! с, !1! а! 0 ь! а! аа я+! иа с (4,32) "м-! ч+! !,и! м См, 0 ьм Гм См неизвестных на (и+ 1)-м шаге по времени, будут в левой части, а известное значением" — в правой части уравнения. В результате получим 2 1+! цл+!+ (1) ца+! ' ца+! =цл 1 2 Г ! 1' (4.30) Г20 Гл. 4.
Метод конечных разностей длн модельных уравнений В системе уравнений (4.32) коэффициенты С! и См определяются соотношениями С, = и" — Ьйо+!, ! ! См им аим++! (4.33) где и"+' и и",++', известны из граничных условий. В уравнении (4.32) матрица [А) трехдиагональная. Томас [Т(!ошаз, 1949] предложил метод быстрого решения систем уравнений с трехдиагональной матрицей, который обычно называют прогонкой. При применении этого алгоритма система уравнений сначала приводится к системе уравнений с верхней треугольной матрицей заменой диагональных элементов г/! элементами ь! с4! — — из- !=2 3 ... М и коэффициентов С; коэффициентами С,— — „' С. о з=2,3,...,М. Х-! После этого вычисление неизвестных начинается от значения и на границе и"+' =См/!4м и продолжается по рекуррентной формуле л+! и"+'= ' + /=М вЂ” 1, М вЂ” 2, ..., 1.
С! — а,и!+! ! и,+си,=(/сзЖ)脄— ['/ес(Лх)'+ '/зс'(Л1)з)и„„+ ... (4.34) и, следовательно, не удовлетворяет условию сдвига. Коэффициент перехода ! — Ге з!н р (4,351 ! -1 тамп'й Более подробно метод прогонки будет описан в п. 4.3.3.
При использовании неявных схем иа каждом шаге по времени приходится проводить больше вычислений, чем при использовании явных схем, но зато можно проводить расчет с существенно большим шагом по времени, так как они безусловно устойчивы. Однако при использовании слишком большого шага по времени можно пблучить бессмысленные результаты. Это связано с тем, что при увеличении шага по времени растет погрешность аппроксимации.
Модифицированное уравнение для неявного метода Эйлера имеет вид 5 4.!. Волновое уравнение и относительная погрешность в определении фазы ф агс 1а ( — т 51п р) (4.36) Фе — ()т построены на рис. 4.6. Неявный метод Эйлера ведет к сильной у =а.тэ 1.00 0.00 !.00 1,00 0,00 ! 00 !О! Ф/УЬ (а) (ь) Рис. 4.6, Неявный метод Эйлера. (а) Модуль козффипиента перехода; (Ь) относительная погрешность определения фазы. диссипации при средних волновых числах и значительному запаздыванию по фазе при больших волновых числах. 4.1Л. Метод с перешагивавием (метод счехардаь) До сих пор мы в этой главе рассматривали лишь схемы первого порядка точности решения линейного волнового уравнения.
В большинстве случаев эти схемы ие используются для решения уравнений в частных производных из-за их низкой точности. Простейшим методом второго порядка точности является метод с перешагиваниелг. Применяя его к волновому уравнению первого порядка, получаем явную одношаговую трехслойную по времени разностную схему и" +' — и" (4.37) Метод с перешагиванием называют трехслойным по врелгени, так как для определения значения и на (а+ 1)-м шаге по времени необходимо знать значения и на (п — 1)-м и п-м шагах по времени.
Метод имеет погрешность аппроксимации 0((о()в, (Лх)в) и устойчив при !т~(1. Модифицированное уравнение имеет вид (4.38) !22 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений Главный член в выражении для погрешности аппроксимации пропорционален производной нечетного порядка и„„ поэтому разностная схема должна обладать в основном дисперсионными свойствами. Последнее вообще характерно для схем второго порядка точности. Схему с перешагиванием отличает то, что в правой части модифицированного уравнения вообще нет производных четного порядка, поэтому связанные с диссипацией ошибки вообще отсутствуют.
Следовательно, метод с перешагиванием нейтрально устойчив и любые появляющиеся при расчете ошибки, например ошибки от неточного задания граничных условий яя1 1.00 0.00 1.00 1.00 0.00 1.00 Щ ф/ф (и) (ь) Рис. 4.7. Схема еяехардаь. (а) Модуль ковффиниента перехода; (Ь) относительная погрешность определения фазы. или от округления, не затухают (предполагается, что граничные условия периодические, а )я~~ 1). Коэффициент перехода 0= ~ (1 — ч'з(птр)пе — (т з!и б (4.39) и относительная погрешность в определении фазы Ф агс !К ( — т и!и р/~ (1 — тя я!ия ()) !!т) Фв — ()т (4.40) построены на рис.
4.7. Хотя метод с перешагиванием имеет второй порядок точности и не вносит в решение диссипацию, он обладает рядом недостатков. Прежде всего начальные условия необходимо задать на двух временных слоях. С этой проблемой можно справиться, используя двухслойную схему на первом шаге по времени.
Второй недостаток метода связан именно с «перешагиванием» (т. е. с тем, что и"+' не зависит от и"), которое приводит к появлению при расчете двух независимых решений. И наконец, метод с перешагиванием предъявляет более высокие требования к памяти ЭВМ, так как является трехслойным по времени. Необходимую для расчета память ЭВМ можно существенно сократить, если вместо величины и" ' записать величину и"+!.
4 4.1. Волновое уравнение 4.1.6. Метод Лакса — Вендроффа Схему Лакса — Вендроффа [).ах, %епйгоИ, 1960] можно псстроить, исходя из разложения в ряд Тейлора: и"+' =и" + Миг+ 1(в((э()ви„+ 0((сэ()а). (4.42) Перепишем уравнение (4.41) в виде и"+!=и" — с(в(и +!/всв(Ж)ви +0((Ж)в) (4.43) и заменим производные и, и и,, используя центральные разности второго порядка. В результате получим широко известную схему Лакса — Вендроффа ил+! ил '(ив ил ) + в (ил ! 2ил+ иа ) (4 44) Это явная одношаговая схема второго порядка точности с по- грешностью аппроксимации 0((Лх)в, (И)в), устойчивая при !т~( 1.
Модифицированное уравнение в этом случае имеет вид и, + си, = — с — (1 — тв) и„„„— — т (1 — т ) и,„„„+ .... (ох) в с (ох) в (4.45) Коэффициент перехода 0 =! — тв(1 — совр) — (т ейп р (4.46) и относительная погрешность в определении фазы Е агс 1К(-т в!и р(11 — в~(1 — сов 0Ц) (4.47) Фв — ()т Из волнового уравнения следует иг = — си„, ии — — с и„„. 2 1.00 0,00 1.00 1.00 !61 (а) Рис. 4.8. Схема Лвкса — Веидроффв (а) Модул~ (Ь) относительная погрешность определения фазы.
0.00 1.00 рафе (Ь] коэффициента перехода; 124 Гл. 4. Метод конечных рам!остей! длв модельных уравнений изображены на рис. 4.8. Для схемы Лакса — Вендроффа харак- терно запаздывание по фазе, исключение составляют лишь гар- моники с большими волновыми числами при 1/0.5 < т < 1. 4.1.7. Даухгдагоаый метод Лакса — Вендроффа Для решения нелинейных уравнений, например уравнений, описывающих движение невязкой жидкости, можно использовать двухшаговый вариант метода Лакса — Вендроффа.
Применяя этот метод для решения волнового уравнения, получаем явную двухшаговую трехслойную по времени разностную схему: Шаг 1 о+!!2 Г л и1„!! — (и!+ ! а!12 Шаг 2 а+! о иу — и! йг !)/ +е !+' ! =0 (448) Ьх о+!М л+!!2 !+Не ~1-!!2 +с ах (4.49) 4.1,8. Метод Мак-Кармана Метод Мак-Кормака (МасСогшас!с, 1969) широко применяется для решения уравнений газовой динамики. Фактически это один из вариантов двухшагового метода Лакса — Вендроффа, не требующий вычисления значений искомой функции в точках 1+ 1/2 и 1 — 1/2. Благодаря этому метод Мак-Кормака особенно удобен для решения нелинейных уравнений в частных производных, как это будет показано в и.
4.4.3. Применяя явный метод предиктор-корректор к линейному волновому уравнению, получаем следующую разностпую схему: Предикгор 7 и о1 и" +! = и" — е — 1иь — и"1 Ах ( !+! !)' (4.50) Эта схема имеет второй порядок точности с погрешностью аппроксимации 0((бх)х, (И)е) и устойчива при (ъ(< 1. Шаг !в это просто метод Лакса, использованный для построения разностного уравнения в точке 1+!/2 на полушаге по времени, а шаг 2 — метод с перешагиванием, примененный на оставшемся полушаге по времени.
В случае линейного волнового уравнения первого порядка двухшаговый метод Лакса — Вендроффа эквивалентен описанному в предыдущем разделе методу Лакса— Вендроффа. В этом легко убедиться при помощи подстановки (4.48) в (4.49). Так как оба метода эквивалентны, то и модифицированное уравнение, и коэффициент перехода у них будут одинаковы. 4 4.1. Волновое уравпсапе 125 Корректор ил+' = †(ил + ил+' — с в (ила' — ил+')1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
