Anderson-et-al-1 (1185923), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. прн 4г„яп' й/2+ 4г„яп' й/2 ~ (2. Последнее условие выполняется лишь при г, + г„(1/2. Возвращаясь к шагам разностной сетки, получим условие устойчивости в виде сй! [1/(Лх)з + 1/(Лу)з[ (~ 1/2. Это условие аналогично полученному в одномерном случае, хотя эффективный шаг по времени в двумерном случае оказывается меньше, чем в одномерном. В рассмотренном примере результат удалось получить довольно легко, но в большинстве случаев провести анализ устойчивости конечно-разностной схемы решения уравнения в частных производных очень трудно для более чем одной пространственной переменной и времени. Условие устойчивости удается часто определить, лишь вычислив коэффициент перехода для различных значений г„ и г„.
3.6.2. Анализ устойчивости систем уравнений в частных производных Описанный в предыдущем разделе метод Неймана может быть' использован и для анализа устойчивости конечно-разностных схем решения систем уравнений в частных производных. Встречающиеся в газовой динамике и теплопередаче системы уравнений можно обычно записать в виде дн дР— + — =-О, дт дх= где Е и à — векторы, причем Г = Г(Е). Обычно система уравнсний являстся нелинейной, а методы анализа устойчивости й 3,6, устойчивость конечно-рааностных схем ных первого порядка — +с — =0 дн до да дх — + с — =О.
до ди др дх В рассматриваемом случае -П Перепишем систему в матричном виде дс +[А] д. — — О, дЕ мдЕ где [А]= '0 Следовательно, максимальное собственное значение матрицы [А] равно с и конечно-разностная схема устойчива при выполнении обычного условия устойчивости КФЛ ~ с — „~(1. Отметим, что описанный выше метод анализа устойчивости конечно-разностных схем не учитывает влияния граничных условий, хотя и использует матричную запись системы уравнений в частных производных. Как учесть влияние граничных условий, будет показано ниже. Соотношение (3616) показывает, что устойчивость конечноразностной схемы определяется видом матрицы перехода. Перепишем (3.116) в виде е"+'(Й) = [6(Ы, л]" [е'(й)].
(3.120) Теперь можно сформулировать условие устойчивости разностной схемы [К!сЫшуег, Мог1оп, 1967]. Оно сводится к требованию существования такого положительного т, чтобы матрица [6(схг,й)]" была равномерно ограничена при 0 < схт < т, 0 < < иИ < Т для любых й, где Т вЂ” максимальное время. Отсюда следует необходимое условие устойчивости Неймана: [о,(Ы, й)[(~-1+0(Ж) при 0<ар< с (3.121) для всех собственных значений и волновых чисел, где гн — собственные значения матрицы [6(И,Й)]. В рассмотренных примерах мы считали конечно-разностную схему устойчивой, если максимальное собственное значение 4 д. Андерсон н др. том ! Гл. 3.
Основы метода нонечных разностей матрицы перехода по модулю непревосходитединицы. Этоусловие более сильное, чем (3.118). Необходимое условие устойчивости Неймана накладывает требование приемлемого роста локальной величины сЫ, что в действительности возможно для решения многих физических задач. Классическим примером, иллюстрирующим это, является разностная схема решения уравнения теплопроводности с источниковым членом.
Пример 3.6. Пусть мы хотим решить уравнение теплопроводности с источниковым членом ди дзи — =а — +си д~ дкз используя простую явную конечно-разностную схему. Применив анализ Фурье, найдем коэффициент перехода б = 1 — 4г з(пз,((1/2) + сдам. Отсюда следует, что решение данного разностного уравнения может расти по времени и удовлетворяет необходимому условию устойчивости Неймана.
Мы видим, что прн анализе устойчивости разностных схем полезно привлекать физические соображения. Следует помнить, что для системы гиперболических уравнений строгое условие заключается в том, что максимальное собственное значение не должно превосходить по модулю единицу. Это связано с тем, что гиперболические уравнения аналогичны волновому и не имеют экспоненциально растущих по времени решений.
Мы исследовали устойчивость различных конечно-разностных схем, используя метод Неймана. Если мы хотим изучить влияние граничных условий на устойчивость конечно-разностной схемы, то мы должны использовать матричный метод. Это проще всего показать на примере применения метода Лакса к решению одномерного линейного волнового уравнения первого порядка ди1 - 'ди — "'"' — +„с — = О. дЗ " дх Пусть сетка по х состоит из яз точек, а граничные условия периодические, т. е. и» и» (3.122) Применяя для решения этой задачи метод Лакса, получим систему алгебраических уравнений вида п"+' = [Х] и", (3.123) э 3.6. Устойчивость конечно-разностных схем где а т и =]иь и„..., и,„], (3.124) 1 та 2 1 — т Π— О 2 1+а 1 — а О 2 2 О 1+ 2 (3225) (х) = Устойчивость конечно-разностной схемы (3.123) зависит от собственных значений матрицы ]Х].
Так как заданы периодические граничные условия, то в матрице 1Х] существенны лишь элементы на трех отмеченных в соотношении (3.123) диагоналях и два угловых элемента. Такая матрица называется апериодической ]1лтах е1 а1., 1970]. Для матрицы вида (34 26) ат аа О аа а, собственные значения имеют внд 2я 2м йч — — а, + (по+ а,) соз — (] — 1) + 1(ав — ' ав) з1п — (1 — 1), 1=1, лт. В рассматриваемом случае 1+в аь аи О ' ' ао аа а1 аг О О ао 1-а 2 1эа — О 2 Гл. 3. Основы метода конечных разностей и собственные значения имеют вид 2н 2н Л! — — соз — (1 — 1) + Рр з(п — (1 — 1). нз нз (3. 127) !+т ! — т — О 2 2 Π— О !+т 2 ! — ч 2 О О 1 О Собственные значения этой матрицы легко вычисляются.
Они равны А! — — 1, Аз — — О, Аз,ч=:Ь 2 Ч(1 — т)(З+ т). Условие )).((1 приводит к тем же ограничениям на т, что и условие КФЛ: ! т ! ( 1. В рассмотренном примере граничные условия не изменили условия КФЛ устойчивости схемы. Однако граничные условия обычно изменяют условия устойчивости и этого следует ожидать. Итак, конечно-разностная схема устойчива при !т(( 1, т. е. при выполнении условия КФЛ. Это показывает, что матричный анализ устойчивости схемы Лакса привел к тем же результатам, что и метод Неймана для простого волнового уравнения. При периодических граничных условиях матричный метод и метод Неймана приводят по существу к тождественным результатам.
Проиллюстрируем влияние граничных условий и разностной сетки на другом примере. Пусть, как и в предыдущем примере, метод Лакса применяется к решению одномерного линейного волнового уравнения первого порядка. Ограничимся случаем, когда для решения уравнения используются лишь четыре точки по пространственной координате. В первой и четвертой точках зададим граничные условия. Предположим для простоты, что в первой точке величина и постоянна для всех времен, тогда граничное условие можно записать в виде и",+' = и",. Так как мы ищем решение волнового уравнения, то граничное условие в четвертой точке на правом конце не может быть произвольным, а должно быть согласовано с направлением распространения волны.
Зададим его в виде и",+!ч и", т. е. будем определять значение функции и на границе по ее значению во внутреннем узле сетки на предыдущем слое. При таких граничных условиях матрица [Х] имеет вид 1 О О О )0( Задачи Ясно, что матричный метод анализа устойчивости разностных схем учитывает заданные на сетке граничные условия, Это означает, что при матричном методе анализа влияние граничных условий автоматически учитывается. К сожалению, определить аналитически собственные значения матриц при произвольно заданных граничных условиях обычно не удается. В этом разделе проведен анализ устойчивости конечно-разностных схем при помощи метода Фурье (метода Неймана) и матричного метода.
Эти два метода широко применяются для анализа устойчивости разностных схем. Однако разработаны и часто используются и другие методы. В этой связи укажем на работы (Н!г1, 1968] и 1%агш)пд, Нуе(1, 19741. Наиболее всесторонний математический анализ устойчивости конечно-разностных схем с доказательством многих теорем изложен в монографии Рихтмайера и Мортона [Рс!сЫгпуег, Мог1оп, 1967). Задачи ЗЛ. Покажите, что дзи ~ гт,иг > з — = — + О (йх). дхз ( (Ьх)з 3.2. Рассмотрите функцию 1(х) = е". Определите на сетке с шагом Ьх = Од производную 1'(х) при х = 2, используя разности вперед (3.26), пентральные разности (3.28) и трехточечную аппроксимацию второго порядка (3.29).
Сравните полученные результаты с точным значением производной. Повторите вычисления при Лх = 0.2. Правильно ли описывает точность аппроксимации производной порядок погрешности аппроксимации? Проанализируйте полученный результат.
3.3. Проверьте, является ли консервативной конечно-разностная схема для уравнения неразрывности двумерного стационарного движения несжимаемой жидкости (и +и — иг — и ) (ог à — о г Г >) 2Ьх ад О, где и, о — составляющие скорости по асям х и у соответственно, 3.4. Задание то же, что и в задаче 3.3, по для разностной схемы (игь> г "; >!) (ог >,г ог! >) 2Ьх — О. 2ау 3.3. Рассмотрите нелинейное уравнение ди дзи и — =и— дх дра с постоянным козффнцпентом р. (а) Записано ли оно в ливергентпой форме? Если нет, то ма>кете лч вы записать его в днвергсптиой форме? 102 Гл. 3.
Основы метода конечных разностей (Ь) Постройте конечно-разностный аналог этого уравнения, используя интегральный метод. 3.6. Проверьте конечна-разностиую аппроксимацию (3.50) для производной дзи/дхду. 3.7. Проверьте конечно-разностную аппроксимацню (3,40) для производной д'и/дхз. 3.8. Проверьте соотношение (3.79) в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
