Anderson-et-al-1 (1185923), страница 13
Текст из файла (страница 13)
4 3.4. Рззлнчпые методы построения конечно-рззностпыз схем 67 3.4Л. Рззложенне функций н рнд Тейлора (3.64) (3.65) Требуемую конечнозразностную аппроксимацию удается часто получить путем наблюдения или простой подстановкой. Чтобы произвести подстановку, выразим производную ди/дх(ь! из соотношения (3.64); тогда ди ) ии и! т( дзи — — — + — Лх + 0 (Лх)з. дх (! ( 2ах 2ах дхз Порядок аппроксимации 0(бх) определяется членом (д'и/дх') Ьх, содержащим вторую производную. Подставляя дзи/дхз из соотношения (3.65), получаем требуемузо аппроксимацию производной ди/дх. Иногда для построения конечноразностной аппроксимации используют более формальный подход.
Для этого сложим умноженное на а уравнение (3.64) с умноженным на Ь уравнением (3.65). При — 2а — Ь = 1 коэффициент при (ди/дх)!,;)бх будет равен 1, а при 2а+ Ь/2 =0 члены, содержащие дзи/дхз(; ! и обусловливающие погрешность аппроксимации 0(бх), будут из уравнений исключены. Гешая систему уравнений — 2а — Ь= 1, 2а + Ь/2 = О, находим, что а = 1/2, Ь = — 2.
Итак, если сложить умноженное на 1/2 уравнение (3.64) с умноженным на — 2 уравнением (365) и разрешить полученное уравнение относительно да/дх(ь ь В этом разделе мы покажем, как можно формально получать конечно-разностные выражения, удовлетворяющие заданным условиям, используя для этого ряды Тейлора. Пусть мы хотим построить конечно-разностную аппроксимацию производной ди/дх)с ), имеющую погрешность аппроксимации 0(бх)', используя лишь значения и! г, ь и;-!, ь иь !.
Проще всего для этого представить и; з; н и; !, ! с помощью ряда Тейлора для функции и в точке (з,)) и попытаться выразить из полученных соотношений производную ди/дх) с; с требуемой точностью: ди ! дзи ! (2 ах)з и! з )=и! (+ — ~ ( — 2бх)+ — з~ дх )з,) дхз )з! 2! + + дзи ( ( — 2ах)з дхз )Ь, 3! ди ! дзи ! (ох) дхз )! ! 3! й 3.4. Различные методы построения конечно-разностных схем 69 односторонних разностных производных с весами, пропорциональными шагам разностной сетки: ду 1 ! лу, (ау,+ау )+ лу (ау,+ау )+ (3.66) Как и раньше, сложим умноженное на а уравнение (3.67) с умноженным на Ь уравнением (3.68) и выразим из полученного уравнения ди/ду)е, Требование равенства единице коэффициента при члене ди/ду~стйу приводит к соотношению асс— — Ь = !.
Чтобы порядок аппроксимации был не хуже, чем 0(Лу)а, необходимо, чтобы коэффициент при члене, содержащем иан, был равен нулю, т. е, ссаа+ Ь =О. Решение этих двух алгебраических уравнений легко получается в виде а = 1/(а(а+ + 1) ), Ь = — се/(а + 1). Следовательно, ди ! а Х уравнение (3.67) + Ь Х уравнение (3.63) + о(лу)-. ду(! ! ау Окончательно имеем ди ( и! +,+(аа — !)и! ! — ааи, ! ду (! ! а(а+ !)ау (3.69) Последнее соотношение можно привести к виду (3.66).
Мы показали, как, используя разложение функций в ряд Тейлора, строить конечно-разностные аналоги отдельной производной. Но нас в основном интересует построение конечно-разностного аналога всего заданного уравнения в частных производных, обеспечивающих его аппроксимацию во всех точках заданной области. Поэтому все члены уравнения надо расклады- Справедливость этого соотношения может показаться некоторым очевидной, однако это можно проверить, разложив функцию и в ряд Тейлора в окрестности точки (61). Полагая а = Луе/Лу и используя для сокращения записи обозначение дифференцирования при помощи индексов (иа — — ди/ду(си и„„= даи/дух~с ! и т.
д.), получим (аду )а и, , = и! + и„а йу + и„„ , + (азу )з (аиду )4 + иууу з + итеую 4~ + ..., (3.67) ( — ау )а и,,=и,+и„( — Лу )+ и„„, + ( — ау )з ( — ау )4 + иууа з. + исеыу 4, + .... (3.68) Гл. 3. Основы метода конечных разностей 70 вать в ряд Тейлора в одной и той же точке. При таком подходе к построению разностной схемы погрешность аппроксимации уравнения в частных производных равна сумме погрешностей аппроксимации его членов. Разложение функций в ряд Тейлора не обязательно проводить в узле (й /) разностной сетки. Проиллюстрируем это двумя примерами. Используемые при построении конечно-разностной аппроксимации производных узлы разностной сетки (шаблон) и ° ° )+1 ° ° и+1 ° и точка, в которой проводится разложение функций в ряд Тей- лора, показаны на рисунках. Полностью неявная разностная схема для уравнения теплопроводности (3.55) имеет вид „я+! „л = — Гинею — 2и""'+ и"з'~ (3.70) йт (йх)а ( ье т ! — !)' погрешность аппроксимации схемы равна 0(Л1, (Лх)х).
Используемый шаблон и точка (и+ 1,1), в которой удобнее всего проводить разложение функции в ряд Тейлора, показаны на рис. 3.4. Схема Кранка — Николсона для уравнения теплопроводности тогда имеет вид и" + — и" а ! ! , (итя+,' + и", — 2 (и"+ ~ + и") + и" +1' + и," (3.71а) Рис. 3.4. Шаблон, используемый при решении уравнении тенлопроводности по йеявпой схеме; крестиком указана точка, в которой проводится разложение в ряд Тейлора. Рис. 3.5. Шаблон, используемый при решении уравнения теплопроводности по схеме Крепка — Николсона; крестиком указана точка, в которой проводится разложение в ряд Тейлора.
э ЗЛ. Различные мстохы ностроевсн конечно.рааносткых схем 7! погрешность аппроксимации схемы 0((Лт)а, (Лх)а). Используемый шаблон и точка (и+ 1/2,1), в которой удобнее всего проводить разложение решения в ряд Тейлора, показаны на рис. 3.5. Интересно отметить, что погрешность конечно-разностной аппроксимации всего уравнения в частных производных (но не его отдельных членов) не зависит от выбора точки, в которой проводится разложение решения в ряд Тейлора. Покажем это на примере схемы Кранка — Николсона.
Обычно погрешность аппроксимации для этой схемы определяют путем разложения решения в ряд Тейлора в окрестности точки (и +-1/2, 1). Использование этой точки приводит к исключению максимального числа членов из разложения Тейлора путем сокращения. Покажем, что при разложении решения в ряд Тейлора в окрестности точки (а,1) или даже точки (и — 1,1) погрешности аппроксимации не изменятся. Для этого мы должны весьма тщательно проанализировать погрешность аппроксимации.
Разложим функции и" ы и" ы и"+,', и"++,', й+' в ряд Тейлора в точке (а,1); после несложных преобразований из (3.7! а) получим ит — ии = — ии — + иитхх — + О (бх)'+ 0 (й!)' (3 71Ь) Так как в правую часть этого уравнения входят члены — ии(хЦ2 и ссиы,М/2, то на первый взгляд кажется, что погрешность аппроксимации уравнения равна 0(Ж)+ 0(Лх)а. Однако сумма указанных членов равна — М/2(д/д1) (иа — схи„), где под знаком производной стоит левая часть уравнения (3.71Ь). Продифференцировав (3.71Ь) по ! и умножив обе части полученного уравнения на — И/2, получим — б!/2 (д/д() (и, — аи„„) = 0 (б!)а+ 0 (Лх)а. Следовательно, погрешность аппроксимации уравнения теплопроводности при использовании схемы Кранка — Никольсона равна 0(М)а+ 0(Лх)а независимо от того, в какой точке проводится разложение функций в ряд Тейлора: (и+ 1/2, 1) или (и,1). Порядок аппроксимации уравнения не изменится при разложении функций в ряд Тейлора в окрестности любой другой точки.
Рассмотренный пример показывает, что при анализе точности разностной схемы необходимо тщательно проверить, не являются ли коэффициенты при главных членах в выражении для погрешности аппроксимации произведением некоторойфункции на производную исходного дифференциального уравнения. Если это так, то для определения погрешности аппроксимации необходимо рассмотреть члены более высокого порядка. 72 Гл. 3. Основы метода монетных разностей 3.4.2.
Интерполяция фуннций полиномамн Интерполяция полиномами имеет много приложений в вычислительной гидродинамике и теплопередаче. Эту технику можно использовать для построения конечно-разностного аналога уравнений в частных производных, однако обычно ее применяют лишь для записи граничных условий или получения более подробной информации вблизи границ при известном численном решении задачи. Рассмотрим несколько характерных примеров. Пример 3.1.
В этом примере мы построим конечно-разностные аналоги всех входящих в уравнение производных, предполагая, что решение этого уравнения локально аппроксимируется полиномом. Значения полинома в прилегающих к узлу (1,1) узлах разностной сетки должны совпадать с решением уравнения. Достаточное для точного определения коэффициентов полинома число узлов разностной сетки определяется степенью полинома. Продифференцировав интерполяционный полнном, можно найти требуемую аппроксимацию входящих в уравнение производных. Рассмотрим уравнение Лапласа, описывающее стационарное двумерное распределение температуры в твердом теле: дтТ д'Т вЂ” + 2-=0.
длт ду (3.72) Предположим, что в окрестности узла (1,1) зависимость температуры от х и у описывается полиномами второго порядка. Например, зафиксировав у, будем считать, что изменение температуры по х вблизи узла (1,1) описывается полииомом Т (х, у,) = а+ Ьх + сх'. Для удобства положим, что х = О в точке (1, 1), а Лх = сопз1. Очевидно, Коэффициенты а, Ь, с можно определить, зная температуру в конкретных узлах сетки и шаг сетки Лх. Для этого сначала надо выбрать используемые при интерполяции средние узлы разностной сетки, т. е, задать геометрическое расположение точек, определяющих разностный шаблон и характер разностной аппроксимации производных: вперед, назад или центрально-разностная аппроксимация.
Выбрав узлы (1 — 1, /), (1,1) и (1+ 1,1), 5 3.4, Различные методы построения конечно-разностных схем 73 получим Т (1, !) = а, Т(1+ 1, 1) =а+ ЬЛх+ с(Лх)', Т(( — 1, 1) =а — ЬЛх+с(Лх)з. Решив эти уравнения, найдем 1 дтТ ) Т,+, ~ — 2Т1 т+Т вЂ” 2,ха ),— — ' 2(Дх)а Следовательно, дтт ! тз ~ т — 2т~ .+ т, 1 т (3. 73) дхт ~; т Полученное выражение является точным, если зависимость температуры от х действительно описывается полиномом второго порядка.
В общем случае мы лишь предполагаем, что полипом второго порядка является хорошей аппроксимацией решения. Погрешность аппроксимации производной (3.73) можно определить подстановкой разложений в ряд Тейлора в окрестности точки (~',1) для Таин; и Т; ь; в (3.73). Она равна 0(Лх)т, причем в выражение для погрешности аппроксимации входят лишь производные температуры четвертого и более высоких порядков, которые равны нулю, если зависимость температуры от х описывается полиномом второго порядка. Аналогично можно построить конечно-разностную аппроксимацию производной дтТ)дуа. Рассмотренный пример показывает, что при использовании интерполяции полиномами приходится произвольно выбирать ряд параметров, влияющих на погрешность аппроксимации уравнений с частными производными и вид разностной схемы, в том числе и используемый шаблон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
