Anderson-et-al-1 (1185923), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Она равна разности точных (без учета погрешностей округления) решений исходного дифференциального уравнения и его конечно-разностного аналога. Следовательно, погрешность полученного на ЭВМ решения уравнения в частных производных равна сумме погрешностей аппроксимации и округления. Точность численного решения уравнения в частных производных определяется погрешностью аппроксимации не только самого уравнения, но и граничных условий.
3.3.6. Стационарные задачи В предыдущих разделах основное внимание было уделено исследованию устойчивости и сходимости маршевых задач (гиперболических и параболических уравнений в частных производных). За исключением задачи с начальными данными, большинство полученных результатов без изменения переносится на стационарные задачи, кроме понятия устойчивости разностной схемы. Однако следует заметить, что понятие согласованности применимо к разностным схемам решения уравнений в частных производных любого типа. Сходпмость разностной схемы к точному решению уравнения в частных производных можно рассматривать как сходимость по ошибкам аппроксимации и сходимость по ошибкам округления.
При конечно-разностном решении стационарных задач (уравнений эллиптического типа) систему алгебраических уравнений необходимо решить лишь один раз, тогда как в случае маршевых задач одну и ту же систему алгебраических уравнений приходится решать на каждом шаге по маршевой координате. Следовательно, непосредственно применить введенное ранее определение устойчивости разностей схемы к стационарным задачам нельзя.
Для сходимости разностной схемы решения стационарной задачи по ошибкам округления достаточно потребовать ограниченности погрешности округления при измельчении сетки. 5 3.3. Конечно-разиостная аппроксимация уравнений 63 3.3.7. Дивергентная форма записи уравнений в частных производных и консервативкость разностной схемы В этом разделе мы обсудим две разные проблемы. Первая из них относится к форме записи уравнений в частных производных. Уравнение в частных производных записано в «дивергентной форме», или, что эквивалентно, в «консервативной форме», если коэффициенты при производных являются либо константами, либо функциями, производные которых в уравнение не входят.
Обычно уравнения в частных производных, описывающие законы сохранения, записываются в дивергентной форме тогда, когда в них явно входит дивергенция той величины, для которой этот закон формулируется. Например, дивергентная форма уравнения неразрывности (описывающего закон сохранения массы) имеет вид — + — + — + — =О. др дри дро дрв дт дх ду да (3.60) Часто при решении стационарных задач применяются итерационные методы (например, метод Гаусса — Зейделя), поэтому необходимо определить условия сходимости итерационного процесса. Обычно предполагают, что итерационный процесс сошелся, если во всех узлах разностной сетки отличие значений искомых функций на итерациях с номерами (й+1) и й не превосходит некоторой заранее заданной малой величины, т.
е. если ~ и,'+' — и~ ~ ~ < е для всех й /. Это называется сходимосгою итерационного процесса. По-видимому (доказательство этого утверждения нам не известно), сходимости разностной схемы по ошибкам округления достаточно для согласованности этой схемы при решении стационарных задач, если только удается доказать сходимость итерационного процесса при любом измельчении сетки. Если для решения систем алгебраических уравнений, возникающих при дискретизации стационарных задач, применяют прямые (не итерационные) методы, то необходимо лишь проверить, что возникающие при расчете погрешности, в первую очередь погрешность округления, остаются ограниченными как при любом измельчении сетки, так и при стремлении числа узлов сетки к бесконечности.
В заключение этого раздела отметим, что итерационный метод решения стационарных задач во многом аналогичен маршевому методу решения задач с начальными данными, поэтому вопросы сходимости итерационных процессов при решении стационарных задач и устойчивости разностных схем для решения маршевых задач близки между собой. 64 1л. 3. Основы метода конечных разностей Последнее соотношение можно записать в векторной форме дР1+т рч=б. др Недивергентной будет, например, такая форма уравнения неразрывности; — +и — +р — +о — +р — +ш — +р — =О. (3.6() дР дР ди др до др дзз д1 дк дк ду ду дх дх В качестве другого примера рассмотрим одномерный процесс распространения тепла в среде с зависящими от координаты плотностью р, удельной теплоемкостью с и коэффициентом теплопроводности й.
Запишем это уравнение в дивергентной форме (3.62) и недивергентной форме дТ д'Т дй дТ рс — = й — + — —. д1 дхз дк дк ' (3.63) Взятая со знаком минус правая часть уравнения (3.62) равна дивергенции вектора теплового потока в одномерном случае. При использовании разностных схем, построенных для записанных в недивергентной форме уравнений в частных производных, часто сложно решать уравнения с разрывными коэффициентами, например проводить расчет течений с ударными волнами. Второй вопрос, который мы рассмотрим в этом разделе, связан с понятием консервативности конечно-разностной схемы. Наша книга посвящена в основном методам решения уравнений, являющихся следствием физических законов сохранения, например законов сохранения массы, импульса и энергии.
Уравнения в частных производных описывают эти законы сохранения в точке. Конечно-разностная схема обеспечивает близкую аппроксимацию уравнений в частных производных в небольшой области, содержащей несколько узлов разностной сетки. Те же законы сохранения, из которых выводятся уравнения в частных производных, справедливы для любой конечной области (контрольного объема). На самом деле вывод уравнений в частных производных обычно начинают с применения законов сохранения к контрольным объемам.
Если конечно-разностная схема даст близкую аппроксимацию уравнения в частных производных в окрестности каждого узла разностной сетки, то можно ожидать, что законы сохранения будут приближенно выполняться и для большего контрольного объема, содержащего довольно большое число узлов разностной сетки. Консервативной схемой называется разностная схема, обеспечивающая точное выполнение $ 33. Конечно-разностная аппроксннання уравненнй 65 законов сохранения (исключая погрешности округления) на любой сетке в конечной области, содержащей произвольное число узлов разностной сетки.
Для решения некоторых задач можно использовать только консервативные разностные схемы. Главным в определении консервативности разностной схемы является слово «точное». Любая согласованная разностная схема обеспечивает приближенное выполнение законов сохранения в большой области, но лишь консервативная разностная схема обеспечивает точное (без учета погрешности округления) выполнение этих законов вследствие взаимного уничтожения ряда членов уравнения. Проиллюстрируем это на примере решения уравнения неразрывности для установившегося течения: Ч р7 = =О.
Предположим, что мы построили конечно-разностную схему, аппроксимирующую это уравнение, и решили разностные уравнения во всей области течения. Из закона сохранения массы, примененного к любому контрольному объему, который может совпадать со всей областью течения или составлять какуюто ее часть, следует, что суммарный расход газа через границу этого объема равен нулю (сколько вещества втекает в объем столько и вытекает из него). Формально это можно показать, проинтегрировав записанное в дивергентной форме уравнение по всему объему и воспользовавшись формулой Гаусса — Остроградского ~ ~ ~ Ч рЧ сЯ = ~ ~ рЧ и и'о = О. Чтобы показать, что для решения уравнения неразрывности используется консервативная конечно-разностная схема, следует установить, что решение разностных уравнений удовлетворяет конечно-разностному аналогу этого интегрального тождества.
Обычно это проверяется для контрольного объема, совпадающего со всей областью течения. Для этого вычислим интеграл в левой части, просуммировав конечно-разностные аналоги уравнения в частных производных во всех узлах разностной сетки.
Если конечно-разностная схема консервативна, то при суммировании сократятся все члены, кроме тех, которые описывают поток массы через границу. Последние следует перегруппировать так, чтобы эти члены совпали с конечно-разностным аналогом интеграла в правой части закона сохранения массы. Для этого примера результат будет проверкой равенства втекающего в объем и вытекающего из него количества вещества. Если используемая конечно-разностная схема неконсервативна, то внутри области могут появиться источники и стоки небольшой интенсивности.
3 д. Анаерсон н яр. том Гл. 3. Осколы метода консчных разностей Обычно для посгроения консервативных консчно-разностных схем используют записанные в дивергентной форме уравнения в частных производных. Если записать уравнение в дивергентной форме не удается, то для построения консервативной конечно-разностной схемы можно воспользоваться методом контрольного объема (см. п. 3.4.4). Построенная этим методом конечно-разностная схема оказывается, как правило, консервативной, если конечно-разностные выражения для потоков через прилегающие грани контрольных объемов одинаковы. Вся недолгая история вычислительной гидромеханики и теплопередачи сопровождается спорами о том, должна ли разностная схема быть консервативной. Однако не только консервативность определяет достоинства и недостатки разностной схемы.
Уравнения в частных производных описывают не только законы сохранения в точке, но, как было показано в гл. 2, они содержат информацию о характеристических направлениях и областях зависимости. Конечно-разностная схема должна по возможности правильно описывать и эти свойства уравнений в частных производных. На практике часто используют неконсервативные конечно-разностные схемы, которые в ряде случаев оказываются точнее консервативных. Вопрос о том, нужно ли обеспечивать очень точное выполнение законов сохранения в конечной области, зависит от поставленной задачи. Все согласованные конечно-разностные схемы независимо от того, консервативны они или нет, на достаточно мелкой сетке позволяют в большинстве случаев достичь требуемой точности решения уравнения. % 3.4.
Различные методы построения конечно-разностных схем Для данного уравнения в частных производных и данной конечно-разностной сетки конечно-разностный аналог этого уравнения может быть построен разными методами. Укажем на некоторые из них: (а) разложение функций в ряд Тейлора; (Ь) интерполяция функций полиномами; (с) интегральный метод; (с() метод контрольного объема. Иногда все эти методы приводят к одному и тому же конечноразностному аналогу исходного уравнения. Сначала проанализируем подробно метод разложения функций в ряд Тейлора, иногда привлекая для аппроксимации граничных условий интсрполяционные полпномы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
