Anderson-et-al-1 (1185923), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.6 т (хо,то) х -с$ — 1 Рис. 2.6. Характеристики волнового уравнения. показаны характеристики, проходящие через точку (хо, 1о). Тангенс угла наклона правой характеристики равен +(1/с), а тангенс левой равен — (1/с). Решение и(х, 1) в точке (хо, 1а) зависит лишь от начальных значений в интервале хо — с1о < х ( < хо+ с1о.
Первое слагаемое в решении (2.34) описывает перенос начальных данных вдоль характеристик, а второе — вклад начального распределения на конечном замкнутом интервале (отрезке). Продемонстрированная в примере 2.5 ограниченность области зависимости решения является характерной особенностью гиперболических уравнений в частных производных. В этом примере область зависимости ограничена характеристиками, проходящими через точку (хо, 1о), так как решение в этой точке определяется лишь условиями на ограниченном этими характеристиками интервале. Это означает, что' никакое возмущение, возникающее вне указанного интервала, не может влиять на решение в точке (хо, 1о).
Это свойство решений характерно для всех 2 д. Анаерсоя н ар. том ! Гл. 2 Уравнснив в частных производных гиперболических уравнений в частных производных и объясняет, почему задача с начальными данными для гиперболических уравнений называется маршевой или эволюционной: начальные данные задаются, а решение определяется последовательным продвижением (решение маршевым методом) по времени или играющей его роль координате. Имена многих выдающихся математиков связаны с постановкой различных задач для уравнений в частных производных. Для гиперболических уравнений наиболее известной является задача Коши: найти решение уравнения в частных производных с начальными данными, заданными на кривой С. Доказана очень важная теорема (она называется теоремой Коши — Ковалевской) о существовании решения задачи Коши.
Эта теорема утверждает, что если начальные данные в окрестности точки (хо,уо) — аналитические функции, а функция и, (для частного случая, рассмотренного в примере 2.5) аналитична в этой точке, то в окрестности точки (хв, ув) существует единственное решение и дифференциального уравнения в частных производных, являющееся аналитической функцией. Рассмотрим подробнее допустимые для гиперболических уравнений постановки задач. Например, для волнового уравнения начальные данные (значения искомой функции и ее производных) можно задавать на любой кривой С, направление которой не совпадает с направлением характеристик.
В примере 2.6 будет показано, что если начальные данные заданы на характеристике, то единственное решение задачи Коши найти нельзя. Такая задача называется некорректно поставленной. Подробно мы рассмотрим вопрос о корректности постановки задач в $2.4. Пример 2.6. Решить записанное в характеристической форме волновое уравнение ивв = 0 с начальными условиями и(0, и) = = Ф(ч), ит (О Ч) = Ф ()) Решение. Линии $ = сонат и и = сопят являются характеристиками рассматриваемого уравнения; следовательно, в нашем примере начальные условия заданы на характеристике.
Разложим решение для и в ряд Тейлора по $ в окрестности линии с =О, на которой заданы начальные условия: и($, т)) =и(0, т))+ 5ит(0, П)+ — иЫ(0, т))+ .... ввв Из начальных условий нам известны функции и(0, и) и ит(0 и) Остается найти итт(0, и). Из исходного дифференциального уравнения следует, что итп(0, П) =О. Из начального условия получим, что и „(О, и) = ч(з' (Ч) = О, $2,3.
Математическая классификация уравнений 35 и, следовательно, тр (Ч) = сопз1 = сь Мы можем, кроме того, написать Ич Ю„ да дч Проинтегрировав это уравнение, получим ите=1($). Если теперь учесть начальные условия, то получим и33(0, Ч)=сопз1=с,. Следовательно, и(в' Ч) Ф(Ч) +»С! + 2 СЗ еез и(5 ч)=Ф(ч)+а(5). т. е. В случае когда начальные данные заданы вдоль характеристики $ = О, определить вид функции д($) нельзя. При решении уравнений в частных производных необходимо правильно задавать начальные и граничные условия, так как лишь в случае корректно поставленных задач решение непрерывно зависит от граничных и начальных условий [Набашагс), 1952[. Понятие «корректно поставленная задача» одинаково подходит как для гиперболических, так и для параболических и эллиптических уравнений в частных производных.
Пример задачи для уравнения эллиптического типа будет приведен ниже, в $ 2.4. 2.3.2. Параболические уравнения в частных производных В предыдущем разделе мы изучили основные свойства гиперболических уравнений на примере простого уравнения в частных производных. Поступим аналогично и при изучении параболических уравнений. Уравнение (2.15) является параболическим, если йт — 4ас = О. Уравнение характеристик в этом случае имеет вид др Ь дх 2а ' Для приведения уравнения (2.15) к канонической форме Фы = а(Ф3, Ф„Ф, $, ч) (2.36) пеРейдем к переменным $, Ч по формулам в=к «чу» Ч=х азу 36 Гл.
2. Уравнения в частных производных Коэффициент Л! определяется нз уравнения (2.35). Так как в случае параболического уравнения существует только одно семейство характеристик, то выбор коэффициента Лз ограничивается лишь условием линейной независимости функций $ и т), Последнее эквивалентно требованию отличия от нуля якобиана: д(» ) —— ! (Л„Лз) Ф О. (2.37) Если выбрать Ля удовлетворяющим этому условию и перейти к переменным $, ть то получим каноническую форму (2.38). Параболические уравнения обычно описывают диффузионные процессы. Хотя эти уравнения являются маршевыми (эволю- ционными), т.
е. допускают ре- 1 шение последовательным продвижением по времени (или аналогичной времени марше- Ф! вой координате), зона зависимости их решений в отличие от гиперболических уравнений не ограничена. Решение параболического уравнения в любой момент времени 1! зависит от параметров во всей рассматриваемой области в предыдурис. 2.7. Область зависимости лля щие моменты времени (((т!), параболического уравнения. в том числе и от условий на боковых границах.
Мы уже отмечали это свойство решений параболических уравнений при анализе одномерного уравнения теплопроводности (пример 2.3). Пусть заданы начальное поле температуры и температура обеих границ; тогда область зависимости решения этого уравнения в момент времени г! имеет вид, показанный на рис.
2.7. Рассмотрим еще одну интересную и важную задачу, сводящуюся к решению параболического уравнения. Пример 2.7. Рассмотрим задачу о нестационарном обтекании несжимаемой вязкой жидкостью внезапно приведенной в движение пластины. Это известная задача Рэлея, допускающая точное аналитическое решение. Так как течение двумерное, то отлична от нуля лишь параллельная пластине составляющая скорости.
Выберем систему координат х, у так, чтобы ось х была параллельна, а ось у перпендикулярна пластине. Тогда скорость жидкости описывается уравнением — и —. ди дан д! дуа ' (2.38) $ 2.3. Математическая классификация уравнений 37 и(0, у)=0, и(г', 0)=У (Г) 0), и(1, оо)=0. Решение. Решение поставленной задачи описывает поле скорости, возникающее при внезапном приведении пластины в движение со скоростью У. При решении параболических уравнений часто достаточно найти их автомодельное решение ]Напзеп, 1964]. Для этого надо провести замену переменных, позволяющую понизить число независимых переменных в исходном уравнении ]С!тцгсЫ11, 1974].
В рассматриваемой задаче мы хотим свести уравнение в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению, перейдя от переменных у, 1 к переменной т1. Пусть Тогда наша задача сводится к решению уравнения й( — + 2т1 — =0 кча А) с граничными условиями 1(0) = 1, 7(оо)= О. Интегрируя обык- новенное дифференциальное уравнение, получим (2.39) Используя определение функции ошибок ег1 (т1) = = ~ е-ч' Ытп 2 о (2.40) перепишем выражение для скорости в виде и = У ]1 — ег1 (т1)]. Полученное решение показывает, что толщина слоя жидкости, приведенного в движение пластиной, растет по времени как у'тт. Отсюда следует, что рост толщины слоя определяется ~олько коэффициентом кинематической вязкости у и изменение скорости жидкости в слое обусловлено лишь диффузией скоро- Здесь т — коэффициент кинематической вязкости.
Содержащая частную производную по времени левая часть уравнения описывает ускорение жидкости, а правая часть — тормозящее воздействие вязких напряжений (т = урди/ду). Выпишем граничные и начальные условия для уравнения (2.38): Гл. 2. Уравнения в частных производных сти от пластины к неподвижной жидкости. Итак, рассмотренная задача описывает диффузионный процесс, аналогичный одномерному стационарному процессу распространения тепла. 2ЛЛ. Эллиптические уравнении в частных производных Третий тип уравнений в частных производных эллиптический.
Рассмотрим основные свойства эллиптических уравнений, которые, как отмечалось выше, описывают стационарные процессы. Если уравнение (2.18) эллиптическое, его дискриминант отрицателен, т. е. ба — 4ас < О. (2.41) В этом случае вещественных корней у характеристического уравнения (2.27) нет, а комплексные корни этого уравнения определяются соотношением Ь ~ т Ч/4ос — Ьт а 2а Итак, оба семейства характеристик эллиптического уравнения комплексные. Приведем эллиптическое уравнение к канонической форме. Для 'этого проведем комплексное преобразование координат д — Л,х = в+ тти у — Лхх = в — тт) (2. 42) и, кроме того, положим, что 4Ь = сЬ,п — е$ — Вч (2.43) Применив преобразования (2.42) и (2.43) к уравнению (2.15), можно привести его к виду ф и+ф +иф =1(5 ч)* (2.44) аналогичному (2.21), но более удобному и простому, так как функция ф, входит в уравнение явно.
Характер зависимости решения эллиптического уравнения в частных производных от граничных условий был рассмотрен в примере 2.1. Чтобы еще раз подчеркнуть это свойство, рассмотрим еще одно эллиптическое уравнение. Пример 2.8. Найти решение и (», О) уравнения Лапласа в круге единичного радиуса ухи=О, О<г<1, — те<0<я, удовлетворяющее граничным условиям ф(1,0)=1(0), — я<0'< . 4 2.4, Корректно поставленные задачи Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
