Anderson-et-al-1 (1185923), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Некоторые преимущества и недостатки всех трех рассмотренных подходов показаны в табл. !.1. В заключение следует заметить, что в некоторых ситуациях сложно провести границу между различными подходами. Например, модели турбулентной вязкости, которые обычно используются в расчетах, получаются на основе анализа результатов измерений. Аналогично многие теоретические методы, которые требуют численных расчетов, могут быть отнесены к численным методам. !в Гл. 1. Введение Таблица 1.1. Сравнение различных подходов Поххок Прсвиущаства Недостатки Эксперимен- тальный !. Получение наиболее близких к реальности резуль- татов 1.
Сложное оборудование 2. Проблемы моделирования 3. Коррекция измеренных значений 4. Сложность измерений 5. Стоимость 1. Ограничен простыми геометрическими конфигурациями и физическими моделями 2. Обычно применим лишь к линейным задачам 1. Погрешности округления Теоретиче- ский 1. Получение «чистой» информации общего характера, обычно в виде фор- мул !. Нет ограничений, связанных с линейностью 2. Описание сложных физических процессов 3. Описание эволюции течения во времени Численный 2. Проблема задания граничных условий 3. Стоимость ЭВМ й 1.3.
Исторический обзор Естественно, что история вычислительной гидромеханикн тесно связана с историей развития ЭВМ. До конца второй мировой войны большинство задач решалось аналитическими и эмпирическими методами. До этого времени лишь отдельные пионеры применяли численные методы для решения задач. Расчеты выполнялись вручную и каждое отдельное решение получалось в результате очень большой по обьему работы. С тех пор как были созданы ЭВМ, рутинная работа, связанная с получением результатов при численном решении, проводится довольно просто.
Когда появилась вычислительная гидромеханика или когда были созданы методы, которые можно без сомнения отнести к методам вычислительной гидромеханики, можно лишь предполагать. Большинство считает, что первой значительной работой в этом направлении была работа Ричардсона [зт!сЬагЖоп,1910), где была предложена итерационная схема решения уравнения Лапласа и бигармонического уравнения. Ричардсон провел вычисления для определения напряжений в каменной дамбе, Кроме того, он четко сформулировал различия между задачами, которые надо решать релаксациоиными методами, и задачами, которые мы называем маршевыжи.
Ричардсон разработал релаксационный метод решения уравнения Лапласа. В этом методе все величины на новой итерации $1.3. Исторический обзор 19 вычисляются по значениям неизвестных на предыдущей итерации. В 1918 г. Либман предложил улучшенный вариант метода Ричардсона.
В методе Либмана при каждом проходе разностной сетки используются значения неизвестных как на предыдущей, так и на текущей итерациях. Эта простая процедура «непрерывного замещения» неизвестной позволяет существенно уменЬшить количество итераций, необходимых для решения уравнения Лапласа. Методы Ричардсона и Либмана часто приводят в элементарных курсах теплопередачи для того, чтобы показать, как небольшое изменение численного метода может существенно повысить его эффективность. Иногда начало современного численного анализа (вычислительной математики) связывают с появлением знаменитой работы Куранта, Фридрихса и Леви [Солтан!, Гг!едг)с!1з, Ьетчу, 1928).
Часто встречающаяся в литературе аббревиатура КФЛ заменяет фамилии этих авторов. В их работе были поставлены вопросы о существовании и единственности решения уравнений в частных производных. Об огромной роли этой работы свидетельствует ее повторное опубликование в журнале 1ВМ )оигпа! о1 йезеагс)1 апд Рече!оршеп! в 1967 г. В этой работе впервые сформулировано условие КФЛ устойчивости разностных схем, используемых для численного решения уравнений в частных производных гиперболического типа. В 1940 г. Саусвелл [Воц!)ттчеП, 1940) предложил релаксационную схему, которая широко использовалась при решении задач гидромеханики и строительной механики в тех случаях, когда требовалось улучшить сходимость релаксационной схемы.
Его метод был создан для расчетов, проводимых вручную. Для применения его необходимо вычислить невязку во всех узлах разностной сетки и найти ее наибольшее значение. На следующем шаге релаксация начинается с узла, в котором невязка максимальна. В течение двух десятилетий на протяжении 1940-х и 1950-х гг. метод Саусвелла был первым численным методом, с которого студенты инженерных специальностей начинали изучение численных методов.
В 1955 г. Аллен и Саусвелл [А1!еп, Зоц1)ттче11, 1955) применйли метод Саусвелла к решению задачи об обтекании цилиндра несжимаемой вязкой жидкостью. Решение было найдено вручную, что связано с проведением очень большой вычислительной работы. Полученные результаты дали дополнительную информацию о вязких течениях, первые результаты для которых начали появляться с середины 30-х годов. В течение второй мировой войны и сразу после ее окончания многие исследования были посвящены применению численных методов к решению задач гидромеханики. Именно в эти годы 20 Гл. !.
Введение проф. фон Нейман создал свой метод анализа устойчивости разностных схем решения нестационарных (маршевых по времени) задач. Интересно, что Нейман в полном объеме свой метод не опубликовал. Метод Неймана был несколько позже подробно изложен в работе [О'Вг!еп, Нушап, Кар!ап, 1950). Последняя работа чрезвычайно важна, так как в ней описан практический метод анализа устойчивости, который понятен инженерам и научным работникам и мог быть ими использован. Метод Неймана — наиболее широко применяемый в вычислительной гидро- механике метод анализа устойчивости разностных схем. Примерно в то же время была опубликована статья Лакса [1ах, 1954). Лаке разработал метод расчета газодинамических течений с ударными волнами, которые являются поверхностями разрыва газодинамических параметров.
При этом для расчета ударных волн не требовалось задание каких-то дополнительных условий. Такие свойства схемы Лакса были обусловлены использованием дифференциальных уравнений, записанных в дивергентной форме. Параллельно развивались методы решения эллиптических и параболических уравнений. Франкел [Ргапке!, 1950] предложил первый вариант метода последовательной верхней релаксации для решения уравнения Лапласа, который позволил существенно улучшить скорость сходимости численных методов. Писмен и Ракфорд [Реасетап, цасЫогп', 1955], Дуглас и Ракфорд [Ропп!аз, масЫогб, 1956] предложили новый класс неявных методов решения параболических и эллиптических уравнений, которые назвали неявными методами переменных направлений. При использовании этих методов шаг по времени не ограничен; они широко используются и в настоящее время.
Книги, посвященные отдельным вопросам вычислительной гидромеханики, начали появляться в конце пятидесятых — начале шестидесятых годов. В ранней книге Рихтмайера [[х!сЫ- гпуег, 1957) и более поздней Рихтмайера и Мортона [ц!сЫшуег, Мог!оп, 1967) освещены в основном вопросы, связанные с решением маршевых задач, а в книге Форсайта и Вазова [Рогзу!!!е, Мазо!ч, 1960] — с решением эллиптических задач. Быстрое развитие вычислительной гидромеханики продолжалось и в шестидесятые годы. В ранних работах расчет течений с ударными волнами пытались проводить .либо по схеме Лакса, либо по схеме с искусственной вязкостью, предложенной Нейманом и Рихтмайером. Среди выполненных в Лос-Аламосской лаборатории ранних работ по вычислительной гидромеханике отметим работы по методам типа «частиц в ячейке», которые используют диссипативные свойства разностных схем для «размазывания» з !.3, Исторический обзор 21 ударных волн на несколько шагов разностной сетки [Ечапз,.
Наг1ош, 1957]. В 1960 г. Лаке и Вендрофф [Еах, Фепбго!1, 1960) предложили новый метод расчета газодинамических течений с ударными волнами, позволяющий строить разностные схемы второго порядка точности, существенно меньше размазывающие ударные волны, чем использовавшиеся ранее конечно-разностные методы. Предложенный Мак-Кормаком [МасСогшас1<, 1969] вариант этого метода является и сейчас одним из наиболее популярных методов расчета течений с ударными волнами. Чтобы избежать размазывания скачков уплотнения, можно использовать разностные схемы с выделением скачков. Одной из ранних была работа Гари [Оагу, 1962), в которой этот подход использован для расчета движущихся скачков.
В работах Моретти с соавторами [Моге111, АЬЬе!1, 1966; Моге!!1, В!е!сЬ, 1968) схемы с выделением скаяков применены для расчета многомерного сверхзвукового обтекания с ударными волнами тел различной формы. Одна из первых схем с выделением скачка описана Гихтмайером и Мортоном. И сегодня для расчета течений с ударными волнами используются разностные схемы как с выделением, так и с размазыванием скачков. В последние пятнадцать лет прогресс в вычислительной гидромеханике продолжался, а количество исследователей, работающих в этой области, увеличивалось со все возрастающей скоростью.
Поэтому трудно дать краткий обзор истории этого периода и указать всех, чей вклад был значителен. Для интересующихся этим вопросом мы рекомендуем работу Холла [НаП, 1981), в которой подведены итоги развития вычислительной гидромеханики начиная с 1950 г. В заключение отметим еще три работы, целью которых было проинформировать мировую научную общественность о достижениях вычислительной гидромеханики. Работы [Масадпо, 1965) и [Наг!отч, Ргоппп, 1965] были опубликованы во французском журнале 1а Нош!!е В!апсЬе и в американском журнале Яс!еп1!!!с Атег!сап соответственно. В них объяснена полезность численных методов для решения задач гидромеханики и приведен ряд численных примеров, иллюстрирующих достигнутые результаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
