Anderson-et-al-1 (1185923), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В более поздней работе Левина [1еч[пе, 1982), опубликованной в журнале $с!еп1!Вс Агпег!сап, рассмотрены потенциальные возможности численных методов. Как и предыдущие работы, она ускорила знакомство научной общественности с состоянием вычислительной гидромеханики и нового поколения ЭВМ. Глава 2 Уравнения в частных производных $ 2.1. Введение Многие физические проблемы сводятся к решению уравнений в частных производных, поэтому необходимо знать физические особенности решений этих уравнений. Для решения конкретных задач необходимо уметь определять тип дифференциального уравнения в частных производных и знать его основные математические особенности.
В этой главе рассмотрены математические и физические свойства уравнений с частными производными, встречающихся в газовой динамике и теплопередаче, на ряде примеров показаны наиболее важные особенности их решений. В конце главы приведены сведения, относящиеся к системам уравнений в частных производных. Выписан также ряд модельных уравнений, которые в гл. 4 используются для анализа свойств конечно-разностных схем. в 2.2.
Физическая классификация уравнений 2.2Л. Стацаоаараме задачи Задача называется стационарной, если решение уравнения в частных производных внутри некоторой области определяется лишь условиями на границе этой области (рис. 2.1). Физически стационарная задача описывает установившийся процесс, а математически сводится к решению задачи с граничными условиями (краевой задачи) для уравнения в частных производных. К стационарным задачам относится определение стационарного поля температур, расчет течения несжимаемой невязкой жидкости, нахождение упругих напряжений в твердом теле. Иногда стационарные задачи называют детерминированными, так как решение в любой внутренней точке области Р определяется условиями, заданными на ее границе В, т.
е. граничные условия полностью определяют поведение решения в Р. Установившиеся процессы описываются уравнениями в частных производных эллиптического типа. Пример 2.1. Стационарное поле температуры в проводящей среде с постоянным коэффициентом теплопроводности удовлет- 23 $ 2.2.
Физическая классификация уравнений воряет уравнению Лапласа. Рассмотрим типичную задачу расчета двумерного поля температур в твердом теле, температура на границах которого поддерживается постоянной. Эта задача сводится к решению уравнения тРтТ = —, + ~~ = О, 0 «( х «( 1, 0 «(у «(1, (2.
1) с граничными условиями Т(0, у)=0, Т(1, у)=0, Т(х, 0)=Те, Т(х, 1)=0. Расчетная область и граничные условия показаны на рис. 2.2. Рис. 22с Область для решения стационарвой'задачи. В области Р решение должно удовлетворять уравнениям в частных производных; на границе В области ьз решение должно удовлетворять граничным условиям. Х" + азХ = О, У" — аву = О, Х(0) = О, Х(1)=0, У(1)=0.
(2.2) Решение. Для решения линейных уравнений в частных производных часто применяют метод разделения переменных 9 [тлгеепзрап, 1961). Для того чтобы воспользоваться им, предположим, что искомая Т О температура является произведением двух функций, одна из которых зависит только от х, Т=О Т=О а другая — только от у: Т(х, у) =Х(х)У(у). Ж Подставив это выражение для температуры в уравнение ЛапРис. 2.2.
Единичный квадрат с заданной температурой границ. ных дифференциальных уравнения. Выпишем их вместе с однородными граничными усло- виями Гя. 2. Уравнання в частных производных Х (х) = А з! и (ах), то нетривиальное решение Х(х), удовлетворяющее условию Х(1) = О, существует лишь при а = пя, где п = 1, 2, .... 3.
Т(х, 0) = Т,. Заданное значение температуры на оси х позволяет определить, в какой комбинации собственные функции входят в решение. Запишем решение рассматриваемой задачи в виде Т(х, у) = ~ А„з(п (азах) зппп(у — 1)), а ! (2.3) т. е. как сумму собственных функций, удовлетворяющих заданному уравнению и трем граничным условиям. В общем случае решение записывается в виде суммы ряда, членами которого являются произведения синусов и косинусов на гиперболические синусы и косинусы.
Для рассматриваемой задачи четвертое гра- Штрихом здесь обозначено дифференцирование. Появление в уравнениях коэффициента аа связано с проведенным разделением переменных. Значение этого коэффициента необходимо определить в процессе решения задачи. Выпишем решения уравнений (2.2): Х (х) = А з)п (ппх), У (у) = С з)! [ип(у — 1)].
Граничные условия учитываются следующим образом: 1. Т(0, д)=0 Х(0)=0, Т(х, 1) =0 — У(1) =О. Эти условия определяют тип функций, входящих в выражение для температуры Т(х, у). Например, граничное условие Т(0, у) = =0 выполняется в том случае, когда решение уравнения для функции Х(х) удовлетворяет условию Х(0) =О. Поэтому, хотя общее решение дифференциального уравнения содержит как синусы, так и косинусы, граничное условие позволяет исключить члены, содержащие косинус.
Аналогичную роль для второго обыкновенного дифференциального уравнения играет граничное условие Т(х, 1)=0, приводящее к условию У(1) =О. 2. Т (1, у) = 0 -~ Х(1) = О. Это условие позволяет определить собственные значения, т. е. такие значения коэффициента а, при которых существует нетривиальное (отличное от тождественного нуля) решение обыкновенного дифференциального уравнения с однородными граничными условиями.
Так как решение первого из уравнений (2.2) имеет вид 25 $2.2. Физическая классификация уравнений ничное условие, заданное на нижней границе области, имеет вид Т(х, О)= То. Используя это выражение для определения коэффициентов А„в соотношении (2.3), получим (см. задачу 2.1) 2То [( — 1)" — Ц А„= — „ Найденное решение Т(х, у) уравнения описывает распределение температуры в твердом теле.
Очевидно, что значение температуры в любой внутренней точке области зависит от условий, заданных на всей границе этой области. Такая зависимость решения от граничных условий характерна для всех стационарных задач математической физики. Пример 2.2. Безвнхревое течение несжимаемой невязкой жидкости описывается уравнением Лапласа. Найдем поле скорости, возникающее прн обтекании изображенного на рнс. 2.3 цилиндра Рнс. 2.3.
Схема двумерного оотекання цилиндра. потоком несжимаемой невязкой жидкости. Введем потенциал скорости 2), т. е. такую функцию ф, что 7Р= Ч, где Ч вЂ” вектор скорости. Тогда течение несжимаемой невязкой жидкости описывается уравнением Чаф = О. На поверхности цилиндра задается граничное условие (2.4) где Р(г, О) = 0 — уравнение, описывающее поверхность цилиндра. При удалении от цилиндра скорость должна стремиться к скорости набегающего потока, т. е. при х, у-~ оо Чф=Ч (.2.5) Решение. Будем искать решение поставленной задачи в виде суммы двух простых частных решений уравнения Лапласа.
Сумма двух решений будет также решением уравнения вследствие линейности уравнения Лапласа, для которого любая линейная комбинация его решений является решением этого уравнения Гл. 2. Уравнения в частных пронзводных 1СЬцгсЫ11, 194Ц. ц случае обтекания кругового цилиндра потенциал искомого решения является суммой потенциалов однородного потока и диполя 1Кагашо)зе(1, 1966): Чгкз+ рз кз+ уа Первое слагаемое описывает однородный поток, а второе — диполь интенсивности 2яК. (2.6) 2.2.2.
Маршевые задачи Марпгевой или эволюционной (или задачей распространения) называется задача, в которой требуется найти решение уравнения в частных производных в незамкнутой области при заданных граничных и начальных условиях. Расчетная область и маршевое направление (в этом направлении область не замкнута) 4 ввп у Рнс. 2Л.
Область для решения маршевой (зволюцнонной) задачи. В облз- стн 0 решение должно удовлетворять уравнениям в частных производных; на границе В решение должно удовлетворять граничным условвям; на по- верхностн В' задаются начальные данные. показаны на рис. 2.4. Математически задачи такого типа являются задачами с начальными условиями или задачами с начальными и граничными условиями. Решение такихзадачдолжно быть найдено последовательным движением в маршевом направлении наружу от поверхности, на которой заданы начальные условия, при этом необходимо удовлетворить также граничным условиям. Такие задачи описываются уравнениями в частных производных гиперболического илн параболического типа.
Пример 2.3. Определить нестационарное поле теыпературы в одномерном твердом теле (рнс. 2.5) с коэффициентом тепло- $2.2. Физическая класснфнкапия уравнений 27 В рассматриваемом случае решение должно удовлетворять граничным условиям Т(0 !) = 0 Т (! !) = То (2 8) т=п т=т, и начальному условию Т(х, 0)=0. (2.9) я=О х-1 Рис, 2.5. Схема задания граничных условий для одномерного уравнения теплопроводности. Проще всего получить решение поставленной задачи, введя новую искомую переменную и = Т вЂ” Тох. Тогда для функции пение и получается однородное урав- ди даи — =ив де дха с однородными граничными условиями и(0, !) =О, и(1, г) =0 и начальным распределением и(х, 0) = — Т,х.
Теперь мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Будем искать решение уравнения в виде и(х, !) = = У(!)Х(х). Обозначим возникающую при разделении переменных константу через — ра и сведем решение поставленной задачи к решению обыкновенных дифференциальных уравнений У'+ а()тУ = О, Х" + фХ = О, Х (0) = Х (!) = О. В результате получим, что удовлетворяющее начальному рас- пределению для функции и решение уравнения в частных произ- водных имеет вид 2Т ( — Ви и(х, !)=7 ' е-"'"*"в(п(них)=Т вЂ” Т,х, лм в проводности а, если начальная температура тела равна нулю, а в последующие моменты времени температура левой границы остается равной нулю, а температура правой границы поддерживается равной То. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
