Anderson-et-al-1 (1185923), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Следовательно, этот метод не обладает какими-либо особыми преимуществами, гарантирующими, например, оптимальность или устойчивость разностной схемы (для маршевой задачи). Пример 3.2. Предположим, что мы нашли решение конечноразностного аналога уравнения энергии и определили распределение температуры вблизи твердой границы. Нам надо теперь определить тепловой поток к стенке, зная распределение температуры лишь в узлах разностной сетки.
По закону Фурье тепловой поток через границу определяется выражением д = — йдТ(ду~а=о. Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо заменить производную дТ/ду(а=о ее конечноразностным аналогом, используя значения температуры в узлах 74 Гл. 3. Основы метода коаечнык разностей Т,=а, Т,= а+ ЬЛу+ с(Лу)а, Тз — — а+ Ь(2Лу)+ с(2Лу)'. ау= ссп51 Из этих соотношений находим а =Т„ — 3Т1+ 4Та — Тъ ь— Ть — 2Та+ Тв с— Рнс. 3.6.
Расположение узлов конечно-разностной сетки вблизи стенки. 2 (ау)а Следовательно, тепловой поток к стенке аппроксимируется выражением д = — й — ~ ев — ЬЬ = — (ЗТ> — 4Тз+ Тз) дТ! й ду )в о 2 ау Естественно определить погрешность аппроксимации для производной дТТду),=о. Для этого выразим Т, и Т, через разло>кения температуры в ряд Тейлора в окрестности точки, лежащей на границе и подставим полученные разложения в конечно-разностную аппроксимацию для производной дТ7ду~„=о. Можно поступить и по-другому, учтя, что интерполяционный полином совпадает с первыми тремя членами разложения в ряд Тейлора для температуры в окрестности точки у=О. Выпишем полипом второго порядка Т = а+ Ьу+ су' и ряд Тейлора разностной сетки, известные из решения уравнения энергии. Для этого можно воспользоваться интерполяционными полино- мами, предполагая, что распределение температуры вблизи границы описывается полиномом какого-либо порядка, т.
е. что оно линейное, параболическое, кубическое и т. д., причем значения полинома совпадают со значением температуры в узлах разностной сетки. Последнее условие позволяет определить коэффициенты полинома. Например, пусть распределение температуры вблизи границы описывается полиномом второго порядка вида Т = а + Ьу + суа; тогда дТ/ду~а=о = Ь.
Если сетка равномерная (рис. 3.6), то 5 Зхк Разлнчные методы ностроення конечна-разностных схем 75 Таким образом, аппроксимация Т вЂ” а+ Ьу+ суз определяется первыми тремя членами, а погрешность аппроксимации Т вЂ” последним из выписанных членов ряда Тейлора и имеет порядок 0(Лу)'. При определении производной дТ/ду)„=а проводится деление на Лу, поэтому порядок аппроксимации производной равен 0(Лу)'. Пример З.З. Пусть, как и в примере 3.2, уравнение энергии решается для распределения температуры вблизи стенки, только в этом примере задан тепловой поток на стенке в качестве граничного условия.
Мы можем теперь использовать интерполяцию полиномамн для определения температуры стенки, которая необходима для решения разностных уравнений во внутренних узлах сетки. Другими словами, если а = — ИдТ/ду)н=е задано, надо определить Т при у = О, т. е. выразить Т, через а /й, Тт, Тз и т. д. Пусть вблизи стенки Т = а -(-Ьу+ сут+ с(уз, и пусть дТ/ду~з=о=Ь= — а /й задано. Наша цель состоит в определении Ть которое в рассматриваемом случае равно а. В соответствии с обозначениями рис. 3.6 имеем Т =а — ч Лу+с(Лу)з+с1(Лу)з, Тз = а — ~~ (2 Лу) + с (2 Лу)т + Н (2 Лу)з Т,=а — чя (ЗЛу)+ с(ЗЛу)'+ д(ЗЛу)з.
Эти три уравнения можно решить относительно а, с и с( при заданных Тт, Тъ Т4, а /А и Лу. Так как Т1 = а, то, следовательно, поставленная задача решена: Т, = — (18Тт — 9Тз+ 2Т, + — ", ) + 0 ((Лу)'). (3.74) Погрешность аппроксимации в выражении (3.74) можно определить, либо разложив температуру в ряд Тейлора в окрестности точки (й)), либо заметив, что получившийся полином представляет собой усеченный ряд Тейлора. В заключение обсуждения полиномнальной аппроксимации приведем некоторые выражения для значений функции на стенке и ее производной через значения самой функции. Эти выражения используются, например, для определения значения функции на стенке по заданному на стенке значению ее первой производной. Все приведенные в табл.
3.3 формулы получены при интерполяции искомой функции на равномерной сетке (Лу = й = сопз() полиномами не выше четвертой степени. 76 Гл! 3. Основы метода конечных разностей таблица 3.3. Некоторые соотношения, полученные с использованием интерполяпионных полиномов Степень поли- нина Ураа'нение Выражение Плн функции или ее праизаепней на стенке 1 — ~~ = +0(и) дт) Т! +! — Т! / (3.75) ду (!,/ И дТ ду 2 — ~ = — ( — зт . + 4т — т. )+ о(и'> дТ! 1 ду !! / 2И !,/ !,/ь! (3.77) 2 т = ~4Т вЂ” т. — 23 — ~ 1(-О(Из> )г дт З > !,/+ !,/.
ду,, ( — 1/Т .+18Т вЂ” 97 .1-2Т ) ! О(/э) дТ! ! ду )/ ! 6И ! / ! /+! !,/тз ! /ьз (3.79) 3 Т вЂ” ) !8Т. — 9Т +2Т вЂ” 6И вЂ” ~ )+ 0(И') 1 г дТ !/ !(~э/+!!/+2!/+аду (3.80) 4 — ~ = — ( — 26Т + 48Т. — 36Т.. +Т . — ЗТ )+ дТ! 1 ду >!,/ 12И !,/ э,/Ь! э, !+2 !, !+3 !,/+4 + о(и4> (з.зц ! — 12И вЂ” ~ ~+ 0 (Из) (3.82) ду э! / (3.76) (3.78) 3.4.3. Интегральный метод Для построения конечно-разностных аналогов уравнений в частных производных можно использовать интегральные методы, основанные на интегрировании этих уравнений.
Рассмотрим уравнение теплопроводности ди дзи — =а —. д/ дхз ' Попробуем построить разностную схему путем интегрирования уравнения теплопроводности по / и х в окрестности узла (и,!) разностной сетки. Этот узел будем иногда также обозначать как точку (/о, хо). Шаги разностной сетки обозначим Лх и Л/. Так как выбор области интегрирования произволен, то проинтегрируем уравнение (3.83) от !о до /о+ Л/ и от хо — />х/2 до хп + /хх/2.
Выбор интервала интегрирования от !, — М/2 до /о + Л!/2 приведет к абсолютно неустойчивой разностной $ 3 4. Различные методы построения конечно-разностнык схем 77 схеме. К сожалению, на этом этапе построения разностиой схемы для решения уравнения в частных производных нельзя сказать, какие интервалы интегрирования целесообразно выбрать для обеспечения устойчивости численного метода. На этот вопрос можно ответить, либо проведя расчеты, либо проанализировав устойчивость уже построенной разностной схемы методами, описанными в $ 3.6. Порядок интегрирования в каждой части уравнения выбирается так, чтобы использовать точные дифференциалы; х +лх12 Ьчде ЬтЛг х,+Лх1а — "ж)х — ] ( ] х )й.
~384) х,-дх1 х,-лхы Взяв точно внутренние интегралы, получим х +Лх12 (и(Ее+ адЕ, х) — и(Е,, х)]ч(х= х,-ах12 ьтле [ф(Е, хо++) о" (Е хо ф)1 ЕЕ (386) Для вычисления оставшихся интегралов воспользуемся теоремой о среднем значении. Из этой теоремы следует, что для любой непрерывной функции Е(у) у~+до (3.86) 1 Ы Еу = ) (у) бу где ЕŠ— некоторое значение у из интервала у~ - у ( у~ + Лу. В соответствии с этой теоремой любое у из указанного интервала позволяет получить приближенное значение интеграла от непрерывной функции: о, +ло Е(р)(у=у(б)бу, у,<д<у,+бр. Для дальнейшего упрощения интеграла (3.85) при помощи теоремы о среднем значении возьмем значение подынтегральной функции при х = х,, а при вычислении интеграла в правой части — при Е = Ео+ М. Тогда получим (и (Ео + ЕлЕ, хо) — и (Ео, хо)] Лх = лх (Е~+ лЕ, хо+ о ),Ух зе,Ео+ ЛЕ, хо З )~ЛЕ. (3.87) 78 Гл.
3. Основы метода конечных разностей Для выражения результата в алгебраической форме выразим производную ди/дх через значения функции и в узлах разностной сетки. Для этого можно использовать уже известные нам аппроксимации, например центральные разности. С другой стороны, мы можем придерживаться чисто интегрального метода и на основе теоремы о среднем значении получим х,+ох и((о+ Ы, хо+ Лх) = и((о+ Л), хо)+ ~ — "()о+ Л(, х) о(х = =и((о+Л(, хо)+ д„()о+Я, хо+ йх)Лх.
(3.88) Из последнего соотношения следует ди т(, Л, ьх т и()о+м, ха+ьх) — и(та+ И хо) р 89) Ьх При вычислении интеграла в правой части (3.88) по теореме о среднем значении мы произвольно выбрали х = хо+ Лх/2 (средняя точка интервала), поэтому интеграл в правой части вычисляется приближенно. Найдя аналогично конечно-разностные аппроксимации остальных первых производных, получим конечно-разностный аналог уравнения теплопроводности (и ((о + Л(, х,) — и ((„хо)) Лх = = — „(и((о+Л(, х,+Лх) — 2и(зо+Лт', хо)+ + и ((о+ Л(, хо — Лх)) ЛЛ (3.90) Обозначая значения функций в узлах индексами п, ), где и— номер шага по времени, а ) — номер шага по пространственной координате, перепишем (3.90) в виде и+1 и Ь~ ' =(йх)*(~.м- ) I ! тыл+1 2ил+ ~ + ив+1'1 (3.91) Последнее выражение совпадает с полностью неявной схемой для уравнения теплопроводности, приведенной в п.
3.4.1. Неявная разностная схема получена благодаря тому, что интеграл в правой части вычислялся по теореме о среднем при значении подынтегральной функции в момент времени (о+ Лй Если бы при вычислении этих интегралов были использованы значения подынтегральной функции при т'= го, то мы получили бы явную схему. Отметим, что при применении описанного в этом разделе метода построения разностных схем погрешность аппроксимации в явном виде не получается и должна быть найдена.
й 3.4. Различные методы построении конечно-разиостных схем 79 3.4.4. Метод контрольного объема Метод контрольного объема принципиально отличается от уже рассмотренных методов построения разностных схем для уравнений в частных производных. Используя методы, основанные на разложении функций в ряд Тейлора, и интегральные методы, мы предполагали, что уравнения в частных производных корректно и в соответствующей форме описывают законы сохранения, поэтому при построении разностной схемы мы просто обращались к математическим средствам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
