Anderson-et-al-1 (1185923), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Влияние днссипапии и дисперсии. (а) Точное решение. (Ь) Численное решение, полученное в том случае, когда ошибка является в основном диссипативной (такое решение типично для схем первого порядка точности). (с) Численное решение, полученное в случае, когда ошибка является в основном дисперсионной (такое решение типично для схем второго порядка точности). вводится в разностное уравнение. Искусственная вязкость сглаживает решение уравнения, уменьшая градиенты всех параметров независимо от причины возникновения этих градиентов, физической или вычислительной. Такое свойство разностной схемы, обусловленное наличием в выражении для погрешности аппроксимации производных четного порядка, называют диссипаг(ией на разностной сетке. Другое близкое к физическому свойство разностных схем называют дисперсией.
Оно непосредственно связано с производными нечетного порядка в выражении для погрешности аппроксимации. Дисперсия приводит к искажению соотношения фаз различных волн. Совместное воздействие диссипации и дисперсии на решение иногда называют дич)фрзией. Диффузия приводит к растяжению крутых линий раздела, которые могут появляться в расчетной области. На рис. 4.1 показаны эффекты диссипации и дисперсии на расчет разрыва. Обычно если главный член в выражении для погрешности аппроксимации содержит производную четного порядка, то схема обладает в основном диссипативными свойствами, а ссли производную нечетного порядка — то дисперсионными, й 4.!.
Волновое уравнение 5!3 1.50 1,00 0,50 0.00 0.50 1,00 1".! Рис. 4Д, Модуль ковффиииента перехода для схемы с разностями против потока. фазы, зная члены модифицированного уравнения с производными нечетного порядка. Прежде чем показать, как связан коэффициент перехода с видом модифицированного уравнения, запишем коэффициент перехода для рассматриваемой разностной схемы с разностями против потока в виде 6 = (1 — т + у сов )3) — 5 (т я п В). Его модуль ! 6 ! = ((1 — т -!- т соз р)0 -1- ( — и 5(п р)0) гв при различных и изображен на рис. 4.2. Из представленных на нем данных видно, что условис устойчивости Неймана ~6~(1 выполняется лишь прн и 1. Запишем коэффициент перехода в виде 6 =-(6)е"5, где ф— фазовый угол, определяемый соотношением (а! 1 г — м р ф = агс1п = а ге(п !с + (4.17) Фазовый угол точного решения волнового уравнения ф„ опрсдсляется аналогично, если извсстсн коэффициент перехода точного В гл.
3 мы показали, как можно определить относительную погрешность в амплитуде (диссипацию) и фазе (дисперсию) каждой гармоники, зная коэффициент перехода. Поэтому естественно возникает вопрос: есть ли какая-либо связь между коэффициентом перехода и видом модифицированного уравнения. Оказывается, что такая связь действительно сушествует. Уорминг и Хайет (вагш(пд, Нуе!1, 1974] описали «эвристическую» теорию устойчивости разностных схем, основанную на анализе членов модифицированного уравнения с производными четного порядка, и определили погрешность, связанную с изменением 114 Гл. 4.
Метод конечных разностей для модельных уравнений решения волнового уравнения. Для определения точного значения коэффициента перехода подставим в волновое уравнение ЕГО фУНДаМЕНтаЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ и=а Е м И НайДЕМ, ЧтО 55= Ог зв л = — й с. Тогда и=а "'-,.51 и, следовательно, коэффициент 1а-051 перехода для точного решения имеет вид гв 1я-а П+аб1 е Из последнего соотношения следует, что -Ы ООГ 14а Он=а " =Е ', где В,= — й„сгьг= — Вт, причем ~6,~=1. Итак, обусловленная диссипацией суммарная ошибка в определении амплитуды после гг шагов решения волнового уравнеЕтанненае ыррмнасве ния по схеме с разностями против потока равна (1 — ~61н)АО, где Ао — начальное значение амплитуды волны. Аналогично полную дисперсионную ошибку (искажение фазы волны) можно записать в виде п(ф, — р').
Относительная погрешность в определении смещения по фазе на одном шаге по времени равна Ф агсга(( — т 51п В)/(1 — ч+ т соа В)1 (4.18) Фа — Вч На рис. 4.3 показано отношение 44/ф, при различных т. При ма- лых волновых числах (т. е. если В мало) выражение для отно- сительной погрешности в определении фазы можно привести к виду 1 (2тз Зт+ 1) Ва. Фа б (4.19) Ь 50 1.00 0.50 0.00 0.50 1.ОО Мае Рис.
4.3. Относительная погрешность определения фазы для схемы с разностямн против потока. э 4.1. Волновое уравнение Если относительная погрешность в определении фазы при заданном р превосходит единицу, рассчитанная скорость распространения соответствующей гармонической волны оказывается больше точного значения скорости этой волны. Про такие волны говорят, что они распространяются с опережением по фазе. Аналогично, если относительная погрешность в определении фазы меньше единицы, то рассчитанная скорость распространения гармонической волны оказывается меньше точного значения скорости этой волны, поэтому говорят, что такая волна распространяется с отставанием по фазе. При использовании разностей против потока опережение по фазе возникает при 0.5 < т < 1, а отставание — если т < 0.5.
Пример 4.1. Пусть для решения волнового уравнения (с = = 0.75) с начальным условием и(х, 0)=з!п(бпх), 0((х((1, и периодическими граничными условиями используется схема с разностями против потока. Определим погрешность в определении амплитуды и фазы волны через десять шагов по времени, если Ы=0.02 и Ах=0.02. Решение. В рассматриваемой задаче можно ограничиться одним значением параметра р, так как при заданных граничных и начальном условиях решение волнового уравнения описывается одним членом ряда Фурье. Коэффициент перехода в этом случае определяется также одним членом ряда Фурье, удовлетворяющим волновому уравнению, поэтому частота точного решения совпадает с частотой, используемой для определения коэффициента перехода, т. е.
) =й /2п. Следовательно, в рассматриваемом случае волновое число задается в виде иш 6п й = — = — = бее. гв г Теперь можно вычислить р: ~ =й Ах=(бп)(0.02) =0.12п. При помощи числа Куранта легко определить модуль коэффициента перехода ! 6 ! = ((1 — т + т соз й)'+ ( — и з)п 13)а) = 0 986745 8' !!о Гл. 4.
Метод конечнык разностей для модельных уравнений ф = агс(н 1 ~ ~, .=- — 0.28359 с его точным значением ф, за один шаг ф, = — йт = — 0.28274, получим, что после выполнения десяти шагов по времени ошибка в определении фазы будет равна 10 (ф, — ф) = 0.0084465. Сопоставим теперь точное решение волнового уравнения при 1 = 10М = 0.2 с полученным численно после выполнения десяти шагов по времени. Точное решение имеет вид и(х, 0.2) = 21п [6я(х — 0.15)[, а решение, полученное численно по схеме с разностями против потока, имеет на десятом шаге по времени вид и (х, 0.2) = (0.8751) 21п [6п (х — 0.15) — 0.0084465[.
Чтобы показать связь коэффициента перехода и модифицированного уравнения (4.15), запишем это уравнение в виде азяа л2л Ь! Здесь Сз„и С2„+! — коэффициенты перед членами уравнения с производными четного и нечетного порядков по пространству. Уорминг и Хайетт показали, что необходимым условием устойчивости разностной схемы является условие ( — 1) 'С, )О, (4.21) где См — коэффициент перед низшей производной четного порядка.
Условие (4.21) аналогично требованию положительности коэффициента вязкости в уравнениях движения вязкой жидкости. В уравнении (4.15) коэффициент при низшей производной четного порядка имеет внд С2 = — (1 — т), с ах 2 2 (4.22) и, следовагельно, погрешность в определении амплитуды после десяти шагов по еремею! (1 — [6[")Ао=(! [6[!о)(1) 1 08751 0 1249 Сравнивая фазовый угол ф после выполнения одного шага по времени 4 4Л.
Волновое уравнение поэтому необходпмос условие устойчивости разностной схемы запишется в виде (сйх/2)(1 — ч) ) О, (4.23) т. е. разностная схема устойчива, если и (!. Это же условие устойчивости мы получили выше из анализа коэффициента перехода. Следует напомнить, что «энристическая» теория устойчивости, приводящая к условию (4.21), позволяет получить лишь необходимое условие устойчивости, поэтому для некоторых конечно-разностных схем информация об их устойчивости будет недостаточно полной, а для некоторых разностных схем (используемых, например, для решения уравнения теплопроводности) необходимо привлекать более сложные методы анализа устойчивости.
Уорминг и Хайетт также показали, что относительная погрешность в определении фазы для разностных схем решения волнового уравнения определяется выражением —,=1 — —,~~ ( — 1) (й ) С,лны Ф ! хл л Ел Фе л 1 (4.24) где )е = р/Лх — волновое число. Если волновое число мало, то можно ограничиться рассмотрением лишь членов ряда низшего порядка. Для схемы с разностями против потока это приводит к соотношению = 1 ( 1) ( — 1 Св=! — (2че — Зч+!)ре, (4.25) 4Л.З. Схема данса Разностную схему (4.6) (метод Эйлера ) можно сделать устойчивой, заменив и" на пространственное среднее (и!+, + + и",)/2. В результате получим широко известную схему Лакса [Ьах, 1954), которой мы уже пользовались: — ил +с еы ~ 1 =О.
(4.26) ас 2 ах Это явная одношаговая схема первого порядка точности с погрешностью аппроксимации 0(схс, (ехх)е/М). Она устойчива при которое совпадает с (4.!9). Итак, мы показали, что между коэфе фициеитом перехода и видом модифицированного уравнения су- ществует непосредственная связь. ((3 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравяепий (» ~ ( 1. Модифицированное уравнение имеет вид ив+ си, = — !ь — — ») ил„+ — (1 — »') и„„„+ .... (4.27) сах у1 ч с(л) л 2 ь» Отметим, что эта схема не всегда удовлетворяет условию согласованности, так как отношение (2ьх)з/гь! может не стремиться к нулю при 2.'ь(, йх, стремящихся к нулю.
Однако если при стремлении Ы и Лх к нулю число Куранта » сохраняется постоянным, то условие согласованности выполняется. Схема Лакса отличается высоким уровнем диссипации при» чь 1. В этом можно убедиться, сравнив коэффициент при члене и, в уравнении (4.27) » 1.0 1,00 0.00 1.0О 2.00 1,00 0.00 1,00 !а! Мье (и) (ь) Рис. 4.4. Схема Лакса. (а) Модуль коэффициента перехода; (Ь) относительная погрешность определения фазы. и в модифицированном уравнении (4.10) для схемы с разностями против потока при разных». На высокий уровень диссипации указывают и значения коэффициента перехода тт = соз () — Г» зйп р, (4.28) который был вычислен в п. 3.6.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
