Anderson-et-al-1 (1185923), страница 25
Текст из файла (страница 25)
! (дх)2 (дх)2 ' л и л 2 л б2ил ! г+! ~и~!, ! — (др)2 (др)2 (4.100) Двумерное (2-Р) уравнение теплопроводности имеет вид (4.97) Так как это уравнение отличается от одномерного (1-Р) уравнения теплопроводности, то необходимо аккуратно проанализировать возможность применения для его решения методов, описанных в предыдущих разделах. Приведем два примера, иллюстрирующих возникающие при этом проблемы. Если для решения двумерного уравнения теплопроводности применим простой явный метод, то получим следующую разностную схему: и+! и п и и и и л и4,! — и4,! „Г и4+!,! — 2и4,!+и4-!.! '4,4+! — 2иг,!+иг,у-! 1 „г + (4.98) где х = гдх, у = )ду.
Как показано в гл. 3, условие устойчивости этой схемы имеет вид !40 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений Как и в одномерном случае, схема Кранка — Николсона абсолютно устойчива, если применяется для решения уравнения с периодическими граничными условиями, К сожалению, получаю!паяся в результате система линейных алгебраических уравнений не является больше трехдиагональной, так как в разностные уравнения входят пять неизвестных и",+', и,"+!! !, ив+!! !, ив+!+„ и,"+!! !. То же самое верно и для всех описанных ранее неяв- ,)=! х г=! 2 3 4 5 6 Рис.
4.!Ь. Двумерная расчетная сетка; и = из = сова! на границе. ных разностных схем. Чтобы подробнее изучить получающуюся систему уравнений, перепишем уравнение (4.99) в виде гпт!,"!~-! + Ьи7+!, у+ си!, ! + Ьи!+ь, ! + аигЛ+ ! = А. т, (4.101) где ад! ! = — — г 2 (Ьу)а 2 ай! 1 = — — Г 2 (йя)з 2 х 1+ г„+ г„, и", +Ф(Ь'+Ья)и!.!. Используя схему (4.101) для решения уравнения на двумерной сетке 6Х6, показанной на рис. 4.16, получим, что на каждом $ 4.2.
Уравнение теплопроводности 141 (и + 1)-м шаге по времени необходимо решить систему 16 ли- нейных алгебраических уравнений „44! пг.г .ьоопо л+! нзл Ь с Ь оьсь о ь с о л+ ! 254.2 и+! Н5.2 л+ ! "г.з а 0 с Ь а л+ ! "з.з 0 и Ьсь л+! 534.3 ЬсЬ лс! сг 5, 3 Ь с 0 , 14. !02) ,лс ! нг,и 0 с Ь а л+1 "З.и а Ь с Ь лс! Н4.4 Ь с' Ь а 0 л+ ! 355.4 ьсо и+1 Н2.5 ось о а ьсьо лс! Н 3. 5 л+! Н4.5 ЬсЬ Нлс' Н5,5 ОаООЬс где и!' = с( — аи„с1" = а' — био, с("' = 51 — (а+ (г) ио.
Для решения системы уравнений, аналогичной (4.102), требуется существенно больше машинного времени, чем для решения системы уравнений с трехдиагональной матрицей. Обычно такие системы уравнений решают итерационными методами, которые мы рассмотрим в $ 4.3. Описанные в предыдущем разделе трудности, возникающие при применении обычных методов к решению двумерного уравнения теплопроводности с условно устойчивым алгоритмом, привели к созданию неявных методов переменньсх направлений, которые предложены в работах (Реасешап, КасЫогс(, 1955; 1)опа!аз, 1955).
Применяя обычный неявный метод переменных направлений, получим двухшаговую разностную схему: 4.2.9. Ненанме методы переменных направлений с22.2 с53.2 СС4. 2 СС5,2 сС2. 3 аз 3 анз Взл 3 СС2 Л ССЗ 4 В4.4 СС5.4 с 2.5 сС3.5 СС4. 5 СС5,5 142 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений Шиг 1 я+из л = а [Ь,ид ! + Ь„ид !). (4.103) я+1 л+ из = а (Ьяи~,+!' + Ь„ит,'ь!'). В результате проведенного «расщепления» задача сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. На шаге 1 такая система решается для каж- и+! п+!/ и =[Ьшо Рнс, 4.16. Схема расчета неявным методом переменных направлений.
Стрелкамн указаны направлення, по которым схема неявна. дой строки (ряда точек с фиксированным 1), а на шаге 2 — для каждого столбца (ряда точек с фиксированным 1). Схематически рассматриваемая процедура решения уравнения теплопроводности показана на рис. 4.16. Неявный метод переменных направлений обладает вторым порядком точности с погрешностью аппроксимации 0((Л!)з, (Лх)з, (Лу)з). Проанализировав выражение для коэффициента перехода [1 — тл (1 — соя[!х)1[1 — Гу (1 — соя(!у)1 тх — [1+,„(1 — соз Р„)1 [1+ ту (! — соз Руц находим, что этот метод безусловно устойчив.
Здесь необходимо отметить, что получающаяся при наиболее очевидном обобще- 4 4.2. Уравнение теплопроводвостн нии этого метода на трехмерный случай разностная схема (трех- шаговая схема, использующая значения величин на шагах по времени и, н+ 1/3, л+ 2/3, а+ 1) оказывается лишь условно устойчивой и имеет погрешность аппроксимации 0(А!, (Лх)2, (Лу)2, (Лг)2). Для того чтобы обойти это, Дуглас и Ганн [Ропд!аз, Оппп, 1904] предложили общий метод построения неявных схем переменных направлений, имеющих второй порядок точности и безусловно устойчивых. Применяя этот метод, можно обобщить схему Краина — Николсона на случай трехмерного уравнения теплопроводности.
В результате получим следующую трехшаговую схему: Шаг ! й — и" = —" Ь2 (и'+ и") + г„Ь'„и" + г,Ь',и". Шаг 2 гг й' — и" = 2" Ьл (и'+ и")+ — "Ь2 (и" + и")+ г Ь'и". (4.104) Шаг 3 й" — и"= — '," Ь.'(и*+и")+ 2" Ьг(и-+и")+ 2' Ь'(и"т1+и"). Здесь верхние индексы * и ** обозначают промежуточные зна- чения, а индексы 1, !, й опущены во всех членах уравнений. 4.2ЛО.
Методы дробных шагов, нли методы расщепления Неявные методы переменных направлений тесно связаны, а иногда и совпадают с методами расщеплгния, или, как их еще иногда называют, методами дробных шагов, которые были созданы советскими математиками примерно в то же время, когда в США были разработаны неявные методы переменных направлений. Основная идея этих методов состоит в расщеплении конечно-разностного оператора на ряд одномерных операторов. Например, к простой неявной схеме решения двумерного уравнения теплопроводности можно применить метод расщепления следующим образом: Шаг ! Па+1/2 Пв 1,/ 1,/ "2 и+!/2 а ' — — ~Ь.и/./ Шаг 2 (4.105) „е+1 „в+ ив П/,/ Н1,/ В а+1 = абги/, /.
144 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений Эта схема имеет первый порядок точности с погрешностью ап- проксимации 0(А1, (Лх)з, (Ьу)з). Подробно метод дробных ша- гов описан в монографии Н. Н. Яненко [1967]. 4.2.1!. Явные методы неременнмх направлений Для решения двумерного уравнения теплопроводности можно также воспользоваться явным методом переменных направлений. В отличие от неявного метода переменных направлений он не требует обращения трехдиагональных матриц.
Так как явный метод переменных направлений можно использовать для решения одномерного уравнения теплопроводности, для простоты ограничимся применением явного метода переменных направлений к этому уравнению. Впервые явный метод переменных направлений был предложен В. К. Саульевым [1957]. Применяя этот метод, получим двухшаговую разностную схему: Шаг 1 и" + ' — и" и! и! и+~ и+~ «+ и а и! ! — и! — и! и!+, (4.106) (дх)е Шаг 2 и+2 и+! и! и! и+~ и+~ и4т, ии+т и! ~ — и! — и! + и!+, д! (дх)з На шаге 1 разностные уравнения решаются маршевым методом от левой границы к правой.
При таком марше величина й+,' всегда известна, поэтому неизвестная и" +' определяется «явно». ! Аналогично на шаге 2 уравнения решаются маршевым методом от правой границы к левой, и схема снова является «явной», так как значение ии!+т! уже известно. При этом предполагается, что значения функцйи и на границе области известны. Хотя рассматриваемая схема является трехслойной по времени, для хранения в памяти ЭВМ величины и достаточно одного массива, благодаря тому что при расчете значение и в каждом узле сетки используется лишь один раз. Явная схема переменных направлений безусловно устойчива и имеет погрешность аппроксимации 0((Г»!)з, (Лх)з, (А!/Лх)з).
Из-за наличия в погрешности аппроксимации члена (Л!/Лх)з эта разностная схема формально имеет первый порядок точности. Другой вариант явного метода переменных направлений предложен Баракатом и Кларком [Вага(са1, С!аг(г, 1966]. Маршевым методом одновременно решаются уравнения в обоих направлениях, а полученные решения р"+' и д"+' осредняются для на- й 4.2. Уравнение теплопроводности иа+'. ! Ра+ ! — Р! а! хождения (Ьх) 1 а а а+! ! а+! ! ! ! ! 4!+! ! ,а+1 а ! ! (4.107) иа+! ! (4.108) Численные эксперименты показали, что эта схема обычно усту- пает в точности схеме Бараката и Кларка. 4.2Л2. Блочный метод )(еллера н моднфннироианный блочный метод Блочный метод Келлера !Ке!!ег, 1970) широко применяется для решения двумерных параболических уравнений в частных производных, например двумерного уравнения теплопроводности или уравнений пограничного слоя.
Оба метода — и метод Келлера, и модифицированный блочный метод — будут рассмотрены в п. 7.3.5 для решения уравнения теплопроводности. 4.2ЛЗ. Метод акласснкиа Последним из методов решения двумерного уравнения теплопроводности рассмотрим метод «классики» ()1орзсо1с)!). Это явный абсолютно устойчивый метод.
Схема расчета иллюстри- Этот метод абсолютно устойчив, а его погрешность аппрокси- мации близка к 0((!х!)е, (Лх)е), так как при одновременном расчете маршевым методом члены, содержащие (Л2/Ьх)а, имеют тенденцию к взаимному сокращению. Известны результаты, показывающие, что для двумерного уравнения теплопроводности этот метод в 18!'!6 раза быстрее неявного метода переменных направлений. Ларкин ((.агЫп, 1964] предложил слегка измененный ва- риант этого алгоритма, состоящий фактически в замене, где это возможно, р и !! на Рл а+! а а+! а+! а а Р! — И! Р! ! — Р! — И! + И!е! а! (Ьх)х ба+! иа иа иа ба+! + ба+! — а а! (ох)е иа+! — ! (Р"+' -1- да+!), 146 Гл.
4. Метод конечных разностей для модельных уравнений руется на рис. 4.17 и состоит из двух последовательных прохо- дов всей расчетной области. При первом проходе величина и",+' вычисляется в тех узлах сетки, где (с +) + п) — четное число, по простой явной схеме л+! и ис,с ис.с -з -з о = а (Ьамс, с + Ьяис, с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
