Anderson-et-al-1 (1185923), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Стоит ли тратить время и силы на поиск подходящих значений оу? Конечно, да, так как в ряде случаев время расчета удается сократить почти в 30 раз, а это существенно! Разумеется, в некоторых случаях метод последовательной верхней релаксации не дает сколь-нибудь заметного ускорения сходи- мости, но все равно его стоит попробовать применить, так как не следует игнорировать потенциальную возможность значительного уменьшения времени расчета. Рвз з 4.3.
Уравнение Лапласа Так как верхнюю релаксацию можно рассматривать как коррекцию результатов, полученных методом Гаусса — Зайделя, на основе линейной экстраполяции с предыдущих итераций, то естественно ожидать, что другие, возможно, более точные (с точки зрения погрешности аппроксимации) экстраполяционные зависимости могут быть использованы для ускорения сходимости итерационного процесса. И действительно, для этих целей успешно применяются экстраполяционные формулы Эйткена и Ричардсона. Соответствующие методы подробно описаны в книгах по вычислительной математике; мы же лишь отметим, что целесообразность использования более сложных методов экстраполяции необходимо тщательно взвесить, так как они ведут к увеличению числа алгебраических действий и требуют большей памяти ЭВМ. К преимуществам метода последовательной верхней релаксации относятся его простота и то, что при включении его в алгоритм можно обойтись без введения дополнительных массивов.
Блочные итерационные методы. Метод Гаусса — Зайделя с последовательной верхней релаксацией является лучшим из пока подробно рассмотренных в этой главе методов решения эллиптических уравнений. Обычно количество итераций можно сократить, используя блочные итерационные методы. Однако при этом увеличивается число алгебраических операций на каждой итерации, и заранее не ясно, компенсирует ли уменьшение количества итераций увеличение времени счета на каждой итерации. Этот вопрос для каждой задачи надо решать конкретно. Можно привести примеры, когда применение блочных итерационных методов позволило действительно сократить суммарное время решения задачи, поэтому эти методы заслуживают внимательного изучения. Интересное сопоставление скорости сходимости точечных (явных) и блочных итерационных методов проведено в работах [Рогзу(пе, %азо~ч, 1960; Агпсз, 1977].
Основная идея блочных (или групповых) итерационных методов состоит в том, что выделяется некоторая подгруппа неизвестных и их значения подправляются одновременно путем решения системы алгебраических уравнений методом исключения. Поэтому блочные итерационные методы носят неявный характер, иногда их называют неявными итерационными методами. В большинстве блочных итерационных методов подгруппы неизвестных выбираются так, чтобы в результате получилась система уравнений с трехдиагональной матрицгй, которую можно эффективно решить методом прогонки. Простейшим блочным итерационным методом является последовательная верхняя релаксация по строкам.
164 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений Последовательная верхняя релаксация по строкам. Хотя эта процедура применима к любому итерационному алгоритму, наиболее целесообразно использовать се совместно с методами Гаусса — Зайделя и последовательной верхней релаксации. Эту процедуру можно с равным успехом применять как к строкам, так и к столбцам. Проиллюстрируем ее на примере пятиточсчной разностной схемы решения уравнения Лапласа с граничными условиями Дирихле в квадратной области. Для большей общности рассмотрим случай, когда шаг сзх не обязательно равен тзу. Обозначая через б = Лх/тзу отношение шагов разностной сетки, запишем разностные уравнения для решения методом Гаусса — Зайделя '1 а+~ паю 1+аз — ь1 ~ и т ь1ьь+ "Ь)-1) (4.123) ь! й(1+ Ра) здесь )с — номер итерации, т — столбец, а 1 — строка.
Если мы решим начинать вычисления с нижней границы квадрата и двигаться вверх по строкам, то в произвольной точке сможем написать соотношение ил+1 — + ' ' ~ ' ~+' ' . (4.124) д/ й(1+ Ра) Если посмотреть внимательно на это соотношение, то можно заметить, что в него входят лишь три неизвестных, так как величина иа+', уже известна либо из условий на нижней границе, если уравнение записано для первой строки, либо из решения, уже полученного на ()с+ 1)-й итерации для ниже расположенной строки. В последнее соотношение входит значение неизвестной и, ь„, иа итерации с номером К а не (Й + 1), так как нашей задачей было получить уравнение с тремя неизвестными, чтобы для решения системы уравнений можно было использовать эффективный метод прогонки.
Схематически описанный алгоритм показан на рис. 4.22. Задача сводится теперь к решению системы ! — 2 линейных уравнений с 1 — 2 неизвестными значениями иа 1 на (й+ 1)-й итерации. Прежде чем перейти к следующей строкс, можно применить метод последовательной верхней релаксации так же, как это было сделано в прсдыдущем разделе. Существует несколько способов включения верхней релаксации в рассматриваемый алгоритм. Первый из них состоит в том, что после решения методом прогонки системы уравнений (4.124) для каждой " В связи с последним членом в числителе заметим, что в общем случае хоти бы одна неизвестная в каждом уравнещщ должна быть уже вычислена на (я + 1)-м слое.
165 $4.3. Уравнение Лапласа строки значения всех неизвестных в этой строке корректируются по формуле (4.!22), после чего осуществляется переход к решению для следующей строки. Другой способ состоит во включении параметра релаксации ш в алгоритм до решения уравнений прогонкой. Для этого подставим правую часть (4.124) в правую часть (4.122).
В результате получим систему уравнений иа+,' = (1 — ш)иа + , ~иа+,' + иа+,' + йа(иа +, + иа+!',)1, которая для каждой строки решается методом прогонки. При таком подходе последовательная верхняя релаксация органи- 112 1,.1 1 Направлвнив авиа ения по строкам а+! (известно) Рис. 4.22. Последовательная верхняя релаксация по строкам. К ряду, обведенному штриховой линией, применить метод прогонки, после чего перейти к следующей строке. чески включается в алгоритм решения на каждой строке, а не является отдельным шагом процедуры решения. Так как при использовании прогонки желательно обеспечить диагональное преобладание, то при втором способе включения верхней релаксации в алгоритм надо позаботиться о том, чтобы ш ( 1 + (!'.
Прн последовательной верхней релаксации по строкам один цикл итерации заканчивается после того, как системы уравнений с трехдиагональной матрицей решены для всех строк. После этого процесс повторяется до тех пор, пока нс будет выполнено условие сходимости итераций. Эймс [Ашез, 1977] показал, что при решении задачи Дирихле рассматриваемым методом требуется в х72 раз меньше итераций, чем при решении той же задачи методом Гаусса — Зайделя с последовательной верхней релаксацией (для одинакового уменьшения начальной ошибки).
С другой стороны, применение метода прогонки ведет к некоторому увеличению времени расчета одной итерации, 166 Гл 4. Метод конечных разностей для модельных урааненнй Ускорение сходимости итераций при использовании блочных итерационных методов по сравнению с точечно-итерационными методами связано, по-видимому, с более сильным влиянием граничных условий на каждой итерации. Например, при последовательной верхней релаксации по строкам значения неизвестных определяются сразу во всей строке, поэтому на каждой итерации граничные условия могут влиять на значения сразу всех неизвестных в строке. Совсем иная картина наблюдается при решении разностных уравнений, получаемых при применении точечно-итерационной схемы, методом Гаусса — Зайделя, так как существует хотя бы одна граничная точка (какая именно, зависит от выбранной последовательности прохождения точек), которая на первой итерации влияет на решение лишь в соседних с ней точках.
проводится релаксация по столбцам. Так завершается одна итерация, а верхняя релаксация проводится во всех узлах сетки по формуле (4.122) в качестве второго шага перед второй итерацией. Гзсрхняя релаксация может быть и сразу вкл!очена в алгоритм расчета, если итерации по строкам проводить в соответствии с формулами цае!/2 — (1 оз) ца 1 Гца+!!2 + цее!Р + 1,/ 1/ 2(1+()2) ! 1+' ! ()2(це 1 /а+!!2)] (4.125а) а по столбцам — в соответствии с формулами ца+! =(1 — оз) ца+!/2+ " — Гца+!/2. + иа+' + Д/ 1,/ 2(1+62)! 1+!,/ 1-!,/ + ан2 (ца+! +цее!)] (4,125Ь) Неявный метод переменных направлений.
Прн последовательной верхней релаксации по строкам строки перебираются одна за другой, и эта процедура все время повторяется. Сходимость метода часто можно улучшить, чередуя движение по строкам и движение по столбцам. Тогда одна итерация будет состоять в последовательном прохождении сначала всех строк, а потом всех столбцов. Известно несколько очень похожих друг на друга вариантов неявного метода переменных направлений. Простейшей процедурой является применение сначала соотношения (4.124) для движения по строкам.
Определенные таким образом величины будем обозначать индексом /2 + 1!2. После этого в соответствии с формулой иа+!М + иа+! + а2/иа+! + иа+! ! е!! (+! / 1-!,/ !' ! 1,/+! 1,/) 1,/ 2 (! + ()2) й 4.3. уравнение Лан»всв 167 Для обеспечения диагонального преобладания в методе прогонки требуется, чтобы в» (1+ Р» при проведении итераций по строкам и ы ((1+ р')7р' при проведенииитерацийпостолбцам.
Разностные схемы, получающиеся при применении неявных методов переменных направлений для решения двумерного уравнения теплопроводности (4.97), также довольно часто используются для решения уравнения Лапласа. Возможность применения такого подхода объясняется тем, что если в описываемой уравнением (4.97) нестационарной задаче граничные условия не зависят от времени, то решение асимптотически стремится к стационарному решению, удовлетворяющему уравнению Лапласа. Так как нас интересует лишь стационарное решение, то размер шага по времени можно выбрать, исходя из условий наиболее быстрой сходимости итерационного процесса. Положив в соотношениях (4.103) аМ/2 = рм запишем двухшаговую неявную схему Писмена — 1такфорда для решения уравнения Лапласа: Шаг 1 ис~~п~ = ис,1+ р»(б»и~,+~п + бги~ Д.
(4,126а) Шаг 2 »»~ »+па 1 (б»»+Пв [ б»»+~) (4 1265) Разностные операторы б, и Ь„определены соотношениями "2 *2 (4.100). На шаге 1 проводится прогонка по строкам, а на шаге 2— прогонка по столбцам. Коэффициенты р» называются итерационными параметрами. Митчелл и Гриффитс [М1(с)»е11, бг11- 111(тз, 1980[ показали, что при решении уравнения Лапласа в квадратной области итерационный процесс Писмена — Ракфорда сходится для любых фиксированных значений р». С другой стороны, наибольшая вычислительная эффективность алгоритма достигается в тех случаях, когда итерационные параметры изменяются вместе с А, а в течение одной итерации коэффициенты р» должны быть одинаковы на обоих шагах итерации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
